21 随机变量及其概率分布

1、2.1随机变量及其概率分布1了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列(重点、难点)2掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征(重点)基础·初探教材整理1随机变量阅读教材P49“例1”以上部分，完成下列问题如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母，)等表示判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个()(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量()(3)随机变量是

2、用来表示不同试验结果的量()(4)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值()【解析】(1)因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个(2)因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，的取值是0,1.(3)因为由随机变量的定义可知，该说法正确(4)因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2概率分布列阅

3、读教材P50P51“例2”以上部分，完成下列问题假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，xn，且P(Xxi)pi，i1,2，n，则称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列称表Xx1x2xnPp1p2pn为随机变量X的概率分布表，它和都叫做随机变量X的概率分布显然，这里的pi(i1,2，n)满足条件：pi0(i1,2，n)；p1p2pn1.判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数()(2)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等()(3)在概率分布列中，所有概率之和为1.()【解析】(1)×因为在

4、概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在0,1范围内(2)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件(3)由分布列的性质可知，该说法正确【答案】(1)×(2)×(3)教材整理3两点分布阅读教材P51，完成下列问题如果随机变量X的分布表为X10Ppq其中0<p<1，q1p，这一类分布称为0­1分布或两点分布，并记为X0­1分布或X两点分布设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X0为试验失败，记X1为试验成功)，则P(X0)等于_【解析】设试验失败的概率为p，则2pp1，

5、p.【答案】质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型随机变量的概念 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由(1)北京国际机场候机厅中2018年5月1日的旅客数量；(2)2018年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2018年6月1日济南到北京的某次列车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长【精彩点拨】利用随机变量的定义判断【自主解答】(1)旅客人数可能是0,1,2，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，出现

6、哪一个结果是随机的，因此是随机变量(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量随机变量的辨析方法1随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同2随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量再练一题1(1)下列变量中，是随机变量的是_(填上所有正确的序号)某人掷硬币1次，正面向上的次数；某音乐网站歌曲小苹果每天被点播的次数；标准大气压下冰水混合物的温度；你每天早

7、晨起床的时间(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合_事件Xk表示取出_个红球，_个白球，k0,1,2,3,4.【解析】(1)中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ，是必然的，不具有随机性(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.Xk表示取出的4个球中含k个红球，4k个白球【答案】(1)(2)0,1,2,3,4k4k随机变量的分布列及应用一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量的概率分布【精彩点拨】由本例中的

8、取球方式可知，随机变量与球的顺序无关，其中球上的最大号码只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率【自主解答】随机变量的可能取值为3,4,5.当3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(3)；当4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(4)；当5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(5).因此，的分布列为345P利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的.(2)不仅要注意1，而且要注意pi0，i1，2，

9、n.再练一题2设随机变量的概率分布为Pak(k1,2,3,4,5)求：(1)常数a的值；(2)P；(3)P.【解】题目所给的的概率分布表为Pa2a3a4a5a(1)由a2a3a4a5a1，得a.(2)PPPP或P1P1.(3)因为<<，所以，.故PPPPa2a3a6a6×.探究共研型随机变量的可能取值及试验结果探究1抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果这种试验结果能用数字表示吗？【提示】可以用数字1和0分别表示正面向上和反面向上探究2在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？【提示】X0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

10、探究3抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为，则“4”表示的随机事件是什么？【提示】“4”表示出现的点数为4点，5点，6点写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和【精彩点拨】【自主解答】(1)设所需的取球次数为X，则X1,2,3,4，10,11，Xi表示前i1次取到红球，第i次取到白球，这里i1,2，11.(2)设所取卡片上的数字和为X，则X3,4,5，11.X3，表示“取出标

11、有1,2的两张卡片”；X4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；X5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两张卡片”；X6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；X7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；X8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；X9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；X10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；X11，表示“取出标有5,6的两张卡片”用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点1关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果2注意点：解答过程

12、中不要漏掉某些试验结果再练一题3写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)在2019年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用表示【解】(1)X可能取值0,1,2,3,4,5，Xi表示面试通过的有i人，其中i0,1,2,3,4,5.(2)可能取值为0,1，当0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当1时，表明该射手在本次射击中击中目标构建·体系1袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出

13、两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是_. 【导学号：29440035】【解析】由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种【答案】92甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为，则的可能取值为_【解析】甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次【答案】0,1,2,33随机变量的分布列如下：123456P0.2x0.350.10.150.2则x_，P(3)_.【解析】由分布列的性质得02x0.350.10.150.21，解得x0.故P(3)P(1)P(2)P(3)0.20.350.55.【答案】00.554一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为_【解析】