3数列十年高考题带详细解析

1、第三章 数 列考点阐释数列是高中代数的重点之一，也是高考的考查重点，在近十年高考试题中有较大的比重.这些试题不仅考查数列，等差数列和等比数列，数列极限的基础知识、基本技能、基本思想和方法，以及数学归纳法这一基本方法，而且可以有效地测试逻辑推理能力、运算能力，以及运用有关的知识和方法，分析问题和解决问题的能力.重点掌握的是等差、等比数列知识的综合运用能力.试题类编一、选择题1.（2003京春文，6）在等差数列an中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3等于（ ）A.4 B.5 C.6 D.72.（2002上海春，16）设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S

2、7S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值3.（2002京皖春，11）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项4.（2001京皖蒙春，12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=（21nn25）（n=1，2，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）A.5月、6月B.6月、7月C7月、8月D.8月、9月5.（2001全国理，3）设数列an是递增等差数列，前三项的和为12，前三

3、项的积为48，则它的首项是（ ）A.1 B.2 C.4 D.66.（2001上海春，16）若数列an前8项的值各异，且an+8=an对任意nN*都成立，则下列数列中可取遍an前8项值的数列为（ ）A.a2k+1 B.a3k+1 C.a4k+1 D.a6k+17.（2001天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列8.（2000京皖春，13）已知等差数列an满足a1+a2+a3+a1010，则有（ ）A.a1a1010B.a2a1000C.a3a990D.a

4、51519.（1998全国文，15）等比数列an的公比为，前n项和Sn满足，那么a1的值为（ ）A.± B.± C.± D.±10.（1998全国理，15）在等比数列an中，a11，且前n项和Sn满足，那么a1的取值范围是（ ）A.（1，） B.（1，4） C.（1，2） D（1，）11.（1997上海文，6）设f（n）=1+（nN），那么f（n+1）f（n）等于（ ）A. B. C. D.12.（1997上海理，6）设f（n）=（nN），那么f（n+1）f（n）等于（ ）A. B. C. D.13.（1996全国理，10）等比数列an的首项a11，前n

5、项和为Sn，若，则Sn等于（ ）A. B. C.2 D.214.（1994全国理，12）等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.26015.（1995全国，12）等差数列an，bn的前n项和分别为Sn与Tn，若，则等于（ ）A.1 B. C. D.16.（1994全国理，15）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂二个）经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（ ）A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个17.（1994上海，20）某个命题与自然数n有关，若n=k（kN）时该命题成立，那么可推得

6、当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立二、填空题18.（2003京春理14，文15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_）内.19.（2003上海春，12）设f（x）=.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为_.20.（2002北京，14）等差数列an中，a12，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三

7、项，那么该等比数列公比的值等于 21.（2002上海，5）在二项式（13x）n和（2x5）n的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn（n是正整数），则= 22.（2001全国，15）设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q=_.23.（2001上海文，2）设数列an的首项a17，且满足an1an2（nN），则a1a2a17 .24.（2001上海，6）设数列an是公比q0的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn7，则此数列的首项a1的取值范围是 .25.（2001上海理，2）设数列an的通项为an2n7（nN*），则|a1|a2|a15| 26.（2001上海春，

8、7）计算=_.27.（2000上海春，7）若数列an的通项为（nN*），则（a1+n2an） 28.（2000全国，15）设an是首项为1的正项数列，且（n+1）an12nan2+an1an0（n1，2，3，），则它的通项公式是an 29.（2000上海，12）在等差数列an中，若a100，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN成立.类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式 成立.30.（2000上海，4）计算=_.31.（1999上海，10）在等差数列an中，满足3a4=7a7，且a1>0，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n=_.3

9、2.（1998上海文、理，10）在数列an和bn中，a1=2，且对任意自然数n，3an+1an=0，bn是an与an+1的等差中项，则bn的各项和是_.33.（1997上海）设0<a<b，则=_.34.（1997上海）=_.35.（1995上海）若1+（r+1）n=1，则r的取值范围是_.36.（1995上海）（1+）n2=_.37.（1995上海，12）已知log3x=，那么x+x2+x3+xn+=_.38.（1995上海理，11）1992年底世界人口达54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y（亿），那么y与x的函数关系式是_.图31三、解答题39.（2

10、003京春，21）如图31，在边长为l的等边ABC中，圆O1为ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为an（nN*）.（）证明an是等比数列；（）求（a1+a2+an）的值.40.（2003上海春，22）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作

11、n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元）并说明理由.41.（2002上海春，21）某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工.奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金.（）设ak（1kn）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3

12、，并用k、n和b表示ak；（不必证明）（）证明akak1（k1，2，n1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；（）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）对常数b，当n变化时，求Pn（b）42.（2002北京春，21）已知点的序列An（xn，0），nN，其中，x10，x2a（a0），A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点，（）写出xn与xn1、xn2之间的关系式（n3）；（）设anxn1xn计算a1，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明；（）（理）求xn43.（2002全国文，18）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动.甲第1

13、分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m（）甲、乙开始运动后几分钟相遇?（）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇?44.（2002全国理，20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?45.（2002全国理，21）设数列an满足an1an2nan1，n1，2，3，（）当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；（）当

14、a13时，证明对所有的n1，有（）ann2；（）46.（2002北京，19）数列xn由下列条件确定：x1a0，xn1（xn），nN*（）证明：对n2，总有xn；（）证明：对n2，总有xnxn1；（）（理）若数列xn的极限存在，且大于零，求xn的值.47.（2002江苏，18）设an为等差数列，bn为等比数列，a1b11，a2a4b3，b2b4a3分别求出an及bn的前10项的和S10及T1048.（2002上海，21）已知函数f（x）abx的图象过点A（4，）和B（5，1）（）求函数f（x）的解析式；（）记anlog2f（n），n是正整数，Sn是数列an的前n项和，解关于n的不等式anSn0；

15、（）（文）对于（）中的an与Sn，整数96是否为数列anSn中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.49.（2002北京，20）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n个不同的数v1，v2，vn的和v1v2v3vn计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数.计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：机器号初始时第一单位

16、时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1v12v1+v2v1+v2v21v2+v1（）当n4时，至少需要多少个单位时间可完成计算?把你设计的方法填入下表机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1v12v23v34v4（）当n128时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算?（结论不要求证明）50.（2002天津理，22）已知an是由非负整数组成的数列，满足a10，a23，an1an（an12）（an22），n3，4，5，（）求a3；（）证明anan22，n3，4，5，；（）求an的通项公式及其前n项和Sn51.

17、（2001全国春季北京、安徽，20）在1与2之间插入n个正数a1，a2，a3，an，使这n2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，bn，使这n2个数成等差数列.记Ana1a2a3an，Bnb1b2b3bn.（）求数列An和Bn的通项；（）当n7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论.52.（2001全国理，21）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.（）设n年内（本年度

18、为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an，bn的表达式；（）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?图3253.（2001上海，22）对任意函数f（x），xD，可按图示32构造一个数列发生器，其工作原理如下：输入数据x0D，经数列发生器输出x1f（x0）；若x1D，则数列发生器结束工作；若x1D，则将x1反馈回输入端，再输出x2f（x1），并依此规律继续下去现定义f（x）=（）若输入x0，则由数列发生器产生数列xn请写出数列xn的所有项；（）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；（）（理）若输入x0时，产生的无穷数列xn满足：对任意正整数n,均有

19、xnxn1，求x0的取值范围54.（2001上海春，22）已知an是首项为2，公比为的等比数列,Sn为它的前n项和.（1）用Sn表示Sn+1；（2）是否存在自然数c和k，使得>2成立.55.（2001全国文，17）已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2550.（1）求a及k的值；（2）求.56.（2000京皖春理，24）已知函数f（x）=其中f1（x）2（x）21，f2（x）2x2（）在图33坐标系上画出y=f（x）的图象；（）设y=f2（x）（x，1）的反函数为y=g（x），a11，a2g（a1），ang（an1）；求数列an的通项公式，并求an；（）若x00，），

20、x1f（x0），f（x1）x0，求x057.（2000京皖春文，22）已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比相等，且都等于d（d0，d1）.若a1=b1，a3=3b3，a5=5b5，求an，bn58.（2000全国理，20）（）已知数列cn，其中cn2n3n，且数列cn1pcn为等比数列，求常数p；（）设an、bn是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列cn不是等比数列.59.（2000全国文，18）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn60.（2000上海，21）在XOY平面上有一点列P1（a1，b1），P2（a2，

21、b2），Pn（an，bn），对每个自然数n，点Pn位于函数y=2000（）x（0a10）的图象上，且点Pn、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.（）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（）若对每个自然数n，以bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（）（理）设Bnb1，b2bn（nN）.若a取（）中确定的范围内的最小整数，求数列Bn的最大项的项数.（文）设cnlg（bn）（nN）.若a取（）中确定的范围内的最小整数，问数列cn前多少项的和最大?试说明理由.61.（2000上海春，20）已知an是等差数列，a1393，a2a3768，bn是公比为q（0q

22、1）的无穷等比数列，b12，且bn的各项和为20.（）写出an和bn的通项公式；（）试求满足不等式160b2的正整数m.62.（2000广东，18）设an为等比数列，Tn=na1+（n1）a2+2an1+an，已知T1=1，T2=4.（1）求数列an的首项和公比；（2）求数列Tn的通项公式.63.（1999全国理，23）已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线.当nyn+1（n=0，1，2，）时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b1），该数列xn由f（xn）=n（n=1，2，）定义.（）求x1、x2和xn的表达式；（）求f（x）的表达式，并写出其定义域；（）证明：y=f（x）的图象

23、与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.64.（1999全国文，20）数列an的前n项和记为Sn已知an5Sn3（nN）求（a1a3a2n1）的值.65.（1999上海，18）设正数数列an为一等比数列，且a2=4，a4=16，求.66.（1998全国理，25）已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=145.（）求数列bn的通项bn；（）设数列an的通项an=loga（1+）（其中a0，且a1），记Sn是数列an的前n项和.试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.67.（1998全国文，25）已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求数列bn的

24、通项bn；（）设数列an的通项an=lg（1+），记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与lgbn+1的大小，并证明你的结论.68.（1998上海，22）若An和Bn分别表示数列an和bn前n项的和，对任意正整数n，an=，4Bn12An=13n.（1）求数列bn的通项公式；（2）设有抛物线列C1，C2，Cn，抛物线Cn（nN*）的对称轴平行于y轴，顶点为（an，bn），且通过点Dn（0，n2+1），求点Dn且与抛物线Cn相切的直线斜率为kn，求极限.（3）设集合X=x|x=2an，nN*，Y=y|y=4bn，nN*.若等差数列Cn的任一项CnXY，C1是XY中的最大数，且265<C10

25、<125.求Cn的通项公式.69.（1997全国理，21）已知数列anbn都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中pq，且p1，q1，设cn=an+bn，Sn为数列cn的前n项和，求.70.（1997全国文，21）设Sn是等差数列an前n项的和，已知S3与S4的等比中项为的等差中项为1，求等差数列an的通项an.71.（1997上海理，22）设数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn（2t+3）Sn1=3t（t>0，n=2，3，4，）（1）求证：数列an是等比数列；（2）设数列an的公比为f（t），作数列bn，使b1=1，bn=f（）（n=2，3，4，），求

26、数列bn的通项bn；（3）求和：b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1.72.（1996全国文，21）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q.73.（1996上海，24）设An为数列an的前n项和，An=（an1）（nN*），数列bn的通项公式为bn=4n+3（nN）.（）求数列an的通项公式；（）若da1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn，则称d为数列an与bn的公共项，将数列anbn的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列dn，证明数列dn的通项公式为dn=32n+1（nN*）；（）设数列dn中第n项是数列bn中的第

27、r项，Br为数列bn的前r项的和，Dn为数列dn的前n项和，Tn=Br+Dn，求.74.（1995全国理，25）设an是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和.（）证明：lgSn1；（）是否存在常数C0使得=lg（Sn+1C）成立?并证明你的结论.75.（1994全国文，25）设数列an的前n项和为Sn，若对于所有的正整数n，都有Sn=.证明：an是等差数列.76.（1994全国理，25）设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.（）写出数列an的前三项；（）求数列an的通项公式（写出推证过程）；（）令bn=（nN*），求（b1+b2

28、+bnn）.77.（1994上海，26）已知数列an满足条件：a1=1，a2=r（r0）且an·an+1是公比为q（q0）的等比数列，设bn=a2n1+a2n（n=1，2，）（）求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+2（nN*）成立的q的取值范围；（）求bn和，其中Sn=b1+b2+bn；（）设r=21921，q=，求数列的最大项和最小项的值.答案解析1.答案：A解法一：因为an为等差数列，设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，a1+2d=4，即a3=4解法二：在等差数列中a1+a5=a2+a4=2a3.所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a

29、3=20，a3=4.评述：本题考查数列的基本知识，在解析二中，比较灵活地运用了等差数列中项的关系.2.答案：C解析：由S5<S6得a1+a2+a3+a5<a1+a2+a5+a6，a6>0又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0.由S7>S8，得a8<0，而C选项S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0.由题设a7=0，a8<0，显然C选项是错误的.3.答案：A解析：设这个数列有n项n134.答案：C解析：n个月累积的需求量为Sn第n个月的需求量为anSnSn1（21nn25）21（n1）（n1）2

30、5（n215n9）an15即满足条件，（n215n9）1.5，6n9（n1，2，3，12），n=7或n=85.答案：B解析：前三项和为12，a1a2a312，a24a1·a2·a348，a24，a1·a312，a1a38，把a1，a3作为方程的两根且a1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36，选B.6.答案：B解析：kN*，当k=0，1，2，7时，利用an+8=an，数列a3k+1可以取遍数列an的前8项.评述：本题考查了数列的基本知识和考生分析问题、解决问题的能力.7.答案：B解法一：an=an=2n1（nN）又an+1an=2为常数，常数an是等

31、差数列，但不是等比数列.解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列.评述：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=SnSn1的推理能力.但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活.8.答案：C解析：a1+a2+a3+a1010即（a3a99）0，a3a9909.答案：D解析：，a12=1q，a12=，a=±.10.答案：D解析：由题意得：且0|q|1q=a121 0|a121|1又a11 1a1，故选D.评述：该题主要考查了无穷等比数列各项和公式的应用，挖掘了公式成立的条件.11.答案：D解析：f（n）=1

32、+f（n+1）=f（n+1）f（n）=12.答案：D解析：f（n）为n个连续自然数的倒数之和f（n+1）=f（n+1）f（n）=.13.答案：B解析：，又a1=1，故，故选B.评述：本题主要考查等比数列前n项和求和公式的灵活运用，较好地考查了基本知识以及思维的灵活性.14.答案：C解法一：由题意得方程组视m为已知数，解得解法二：设前m项的和为b1，第m+1到2m项之和为b2，第2m+1到3m项之和为b3，则b1，b2，b3也成等差数列.于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40.b3=b2+d=70+40=110前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1

33、，则a1=S1=30，a2=S2S1=70，从而d=a2a1=40.于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210.评述：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m，题给数列前3m项的和是与m无关的不变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影.15.答案：C解法一：应用等差数列中，若m+n=p+q，有am+an=ap+aq这条性质来解.，所以解法二：设数列an的首项为a1，公差为d，bn的首项为b1，公差为m，则注

34、意n是极限中的变量有.解法三：不妨令Sn=2n2，Tn=3n2+nan=SnSn1=2n22（n1）2=4n2（n=1时成立），bn=TnTn1=6n2（n=1成立）评述：该题的形式新颖，其考查目的也明确，正确解答，可考查其数学能力，要是在题型的选用上，采用解答题的形式，那将是一道十分理想的中等难度的试题.可是作为选择题，其考查的有效性大打折扣，因为有相当一部分考生，并没有用正确的方法却也得出了正确答案C.16.答案：B解析：由题意知细菌繁殖过程中是一个公比为2的等比数列，所以a10a1q9=29=512.评述：该题作为数学应用题，又是选择题，问题的实际背景虽然简单，考查的知识点也集中明确，但

35、也有一定的深刻性.解决本题，应搞清题意，应求的是a9的值，而不是求和.从题型设计的角度，本题的立意、取材和构题都是不错的.17.答案：C解析：因为当n=k时，命题成立可推出n=k+1时成立，所以n=5时命题不成立，则n=4时，命题也一定不成立，故应当选C.18.答案：140 85解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140；85.评述：本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地

36、把数学过程实施为数学思维活动.19.答案：3解析：因为f（x）=，f（1x）=f（x）+f（1x）=.设S=f（5）+f（4）+f（6），则S=f（6）+f（5）+f（5）2S=（f（6）+f（5）+（f（5）+f（4）+（f（5）+f（6）=6S=f（5）+f（4）+f（0）+f（6）=3.评述：本题利用课本中等差数列倒序求和为考生提供了一个思维模式，但发现f（x）+f（1x）=有一定难度，需要考生有一定的观察能力、思维能力及解决问题的能力.20.答案：4解析：设a1，a3，a11组成的等比数列公比为qa3a1q2q，a11a1q22q2又 数列an是等差数列a11a15（a3a1）2q2a

37、15（2qa1） 2q225（2q2），解得q421.答案：解析：由二项式定理，得：an4n，bn7n22.答案：1解析：方法一：SnSn1an，又Sn为等差数列，an为定值an为常数列，q1方法二：an为等比数列，设ana1qn1，且Sn为等差数列，2S2S1S3，2a1q2a12a1a1a1qa1q2，q2q0，q0（舍）q=1.23.答案：153解析：an1an2，an为等差数列an7（n1）·2，a17716×22524.答案：（0，7）解析：Sn7，an是一个无穷递缩等比数列，0q1，且7，a17（1q），又0q1，11q0，07（1q）7，即7a1025.答案：

38、153解析：|a1|a2|a15|5311352315326.答案：e2解析：27.答案：解析：28.答案：解析：将（n+1）an12nan2+an1an0化简得（n1）an1nan当n=1时，2a2=a1=1，a2，n=2时，3a3=2a2=2×1，a3，可猜测an，数学归纳法证明略.29.答案：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）解析：在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1a1a2ana19a18an1a1a2a19n若

39、a90，同理可得a1a2ana1a2a17n相应地等比数列bn中，则可得：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）30.答案：e2解析：.评述：本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力及代数式的变形能力.31.答案：9解法一：设公差为d，由题设有3（a1+3d）=7（a1+6d），解得d=a1<0，解不等式an>0，即a1+（n1）（a1）>0得n<，则n9.当n9时，an>0，同理可得n10时an<0.所以n=9时，Sn取得最大值.解法二：d=a1Sn=na1+=<0，（n）2最小时，Sn最大.又nN，n=9.评述：本题考查等差数列的基本知识，解

40、法二的计算量太大.32.答案：2 解析：bn=，3an+1=an bn=2an+1，b1+b2+bn=2（a1+a2+an）2a1an是首项为2，公比为的等比数列（b1+b2+bn）=2（a1+a2+an）2a1=2×2×2=2.33.答案：4解析：34.答案：e4解析：.35.答案：2<r<0解析：1=1，又1+（r+1）n=1， 1+（r+1）n=11=0，即（r+1）n=0.则1<r+1<1，因此2<r<0.36.答案：e解析：.37.答案：1解析：log3x=log32=log3，故x=，于是x+x2+x3+xn+=.38.答案：

41、y=54.8（1+x%）8解析：因为y1=54.8，y2=54.8（1+x%），y3=54.8（1+x%）2从1992年底到2000年底共经过8年，因此有：y=54.8（1+x%）839.（）证明：记rn为圆On的半径，则r1=tan30°=.=sin30°=，所以rn=rn1（n2）于是a1=r12=故an成等比数列.（）解：因为an=（）n1a1（nN*）所以（a1+a2+an）=.评述：本题主要考查数列、数列极限、平面几何、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力与解决问题的能力.40.解：（1）此人在A、B公司第n年的月工资数分别为：an=1500+230×（

42、n1） （nN*）bn=2000（1+5%）n1（nN*）（2）若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（a1+a2+a10）=（元）若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（b1+b2+b10）（元）因为在A公司收入的总量高些，因此该人应该选择A公司.（3）问题等价于求Cn=anbn=1270+230n2000×1.05n1（nN*）的最大值.当n2时，CnCn1=230100×1.05n2当CnCn1>0，即230100×1.05n2>0时，1.05n2<2.3，得n<19.1因此，当2n19时，Cn1<

43、;Cn；于是当n20时，CnCn1.C19=a19b19827（元）即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.评述：本题主要考查数列等知识，考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.41.（）解：第1位职工的奖金a1，第2位职工的奖金a2（1）b，第3位职工的奖金a3（1）2b，第k位职工的奖金ak（1）k1b（）证明：akak1（1）k1b0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则.（）解：设fk（b）表示奖金发给第k位职工后所剩余款，则f1（b）（1）b，f2（b）（1）2b，fk（b）（1）kb，得Pn（b）fn（b）（1）nb，则42.（）解：

44、当n3时，xn（）解：a1x2x1a，a2x3x2由此推测an（）n1a（nN*）.用数学归纳法证明.（）当n1时，a1x2x1a（）0a，公式成立（）假设当nk时，公式成立，即ak（）k1a成立.那么当nk1时，公式仍成立根据（）与（）可知，对任意nN，公式an（）n1a成立（）解：当n3时，有xn（xnxn1）（xn1xn2）（x2x1）x1an1an2a1，由（）知an是公比为的等比数列，43.解：（）设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n5n70，整理得n213n1400解得n7，n20（舍去）第1次相遇是在开始运动后7分钟（）设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n5n3×70整

45、理得n213n6×700解得n15，n28（舍去）第2次相遇是在开始运动后15分钟44.解：2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，每年新增汽车x万辆，则b130，b2b1×094x对于n1，有bn1bn×094xbn1×0942（1094）x，bn1b1×094nx（1094094n1）b1×094n当0，即x18时，bn1bnb130当0，即x18时，并且数列bn逐项增加，可以任意靠近因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即bn60（n1，2，3，）则60，即x36（万辆）综上，每年新增汽

46、车不应超过36万辆45.（）解：由a12，得a2a12a113，由a23，得a3a222a214，由a34，得a4a323a315由此猜想an的一个通项公式：ann1（n1）（）证明：（）用数学归纳法证明：当n1，a1312，不等式成立.假设当nk时不等式成立，即akk2，那么，ak1ak（akk）1（k2）（k2k）1k3，也就是说，当nk1时ak1（k1）2根据和，对于所有n1，有ann2（）由an1an（ann）1及（），对k2，有aiak1（ak1k1）1ak1（k12k1）12ak11，ak2k1a12k2212k1（a11）1于是，k246.（）证明：由x1a0，及xn1（xn），

47、可归纳证明xn0从而有xn1（xn）（nN），所以，当n2时，xn成立（）证法一：当n2时，因为xn0，xn1，所以xn1xn0，故当n2时，xnxn1成立证法二：当n2时，因为xn0，xn1，所以=1，故当n2时，xnxn1成立注：第（）问文科不做理科做（）解：记，则=A，且A0由，得，即A（A）由A0，解得A，故47.解：an为等差数列，bn为等比数列，a2a42a3，b2b4b32已知a2a4b3，b2b4a3，b32a3，a3b32得 b32b32b30 b3，a3由a11，a3知an的公差为d，S1010a1由b11，b3知bn的公比为q或q当q时，当q时，48.解：（）由a

48、3;b4，1a·b5，得b4，a，故f（x）4x（）由题意anlog2（·4n）2n10，Sn（a1an）n（n9），anSn2n（n5）（n9）由anSn0，得（n5）（n9）0，即5n9.故n5，6，7，8，9（）a1S164，a2S284，a3S372，a4S440当5n9时，anSn0当n10时，anSna10S10100因此，96不是数列anSn中的项49.解：（）当n4时，只用2个单位时间即可完成计算方法之一如下：（）当n12827时，至少需要7个单位时间才能完成计算.50.（）解：由题设得a3a410，且a3、a4均为非负整数，所以a3的可能的值为1，2，5，

49、10若a31，则a410，a5，与题设矛盾若a35，则a42，a5，与题设矛盾若a310，则a41，a560，a6，与题设矛盾.所以a32.（）用数学归纳法证明：当n3，a3a12，等式成立假设当nk（k3）时等式成立，即akak22,由题设ak1ak（ak12）·（ak22），因为akak220，所以ak1ak12，也就是说，当nk1时，等式ak1ak12成立根据和，对于所有n3，有an+1=an1+2.（）解：由a2k1a2（k1）12，a10，及a2ka2（k1）2，a23得a2k12（k1），a2k2k1，k1，2，3，即ann（1）n，n1，2，3，.所以Sn评述：本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决问题的能力51.解：（）设公比为q，公差为d，等比数列1，a1，a2，an，2，等差数列1，b1，b2，bn，2则A1a11·q A21·q·1·q2 A31·q·1·q2·1·q3又an21·qn12得qn12Anq·