84直线与圆锥曲线的综合应用

1、直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的

2、判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等1：已知椭圆过点，且离心率。 （）求椭圆方程； （）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。解：（）离心率，即（1）；又椭圆过点，则，（1）式代入上式，解得，椭圆方程为。（）设，弦MN的中点A由得：，直线与椭圆交于不同的两点，即（1）由韦达定理得：，则，直线AG的斜率为：，由直线AG和直线MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，则。题型：动弦过定点的问题例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，

3、椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（）求椭圆C的标准方程；（）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。解（I）由题意设椭圆的标准方程为，（II）设，由得，（注意：这一步是同类坐标变换）（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，解得，且满足当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知

4、，直线过定点，定点坐标为练习2（2009辽宁卷文）已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（1，0）（1，0）。（1） 求椭圆C的方程；（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，将点A的坐标代入方程： ，解得 ， （舍去）所以椭圆方程为 。 （）设直线AE方程为：，代入得 设,因为点在椭圆上，所以 8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。 12分题型：共线向量问题解析几何中的向量共线，就是将向量问

5、题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理-同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：于P、Q两点，且,求实数的取值范围。解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即 方法一：方程组消元法又P、Q是椭圆+=1上的点消去x2，可得即y2=又2y22，22解之得：则实数的取值范围是。方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：，由消y整理后，得P、Q是曲线M上的两点，即 由韦达定理得：即 由得，代入，整理得，解之得当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或。 总之实数的取值范围是。方法总结：通过比较本题的第二步

6、的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。（07福建理科）如图，已知点（1，0），直线l：x1，P为平面上的动点，过作直线l的垂线，垂足为点，且（）求动点的轨迹C的方程；（）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，求的值。小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征

7、的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.解法一：（）设点，则，由得：，化简得.（）设直线的方程为： . 设，又，联立方程组，消去得：，故 由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：.（）由已知，得.则：. 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：.由得：，即.题型：面积问题练习2、（山东06文）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。()求椭圆的方程；()直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程。解：设椭圆方程为（I）由已知得 所

8、求椭圆方程为（II）解法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，由 消去y得关于x的方程：由直线l与椭圆相交A、B两点，解得，又由韦达定理得 .原点O到直线l的距离 解法1：对两边平方整理得： （*） ， 整理得：又，.从而的最大值为，此时代入方程（*）得 所以，所求直线方程为： .解法2：令，则， .当且仅当即时，此时.所以，所求直线方程为 .§8.4 直线与圆锥曲线的综合应用一、选择题(每小题7分，共35分)1AB为过椭圆1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则FAB的最大面积为()Ab2 Bab Cac Dbc2过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这

9、样的直线有()A1条 B2条 C3条 D4条3过抛物线y22px (p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于()A5 B4 C3 D24已知椭圆C的方程为1 (m>0)，如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A2 B2 C8 D25已知双曲线1(a>0，b>0)的左焦点为F1，左、右顶点为A1、A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为()A相交 B相切C相离 D以上情况都有可能二、填空题(每小题6分，共24分)6直线ykx1与

10、椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是_7设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为_8如图所示，过抛物线y22px (p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于A，B，C三点，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_9如图，在平面直角坐标系xOy中，A1、A2、B1、B2为椭圆1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_三、解答题(共41分)10(13分)设AB是过椭圆1的一个焦点的弦，若

11、AB的倾斜角为60°，求弦AB的长11(14分)已知直线ykx1与双曲线x2y21的左支交于A、B两点，若另有一条直线l经过P(2,0)及线段AB的中点Q.(1)求k的取值范围；(2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围12(14分)已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A(0,2)，离心率为.(1)求椭圆P的方程；(2)是否存在过点E（0，-4）的直线l交椭圆P于点R，T，且满足.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由答案1. D 2. C 3. C4. B 5. B 6. m1且m5 7. y2±8x 8. y23x 9.25 10解依题意，椭圆的一个

12、焦点F为(1,0)，则直线AB的方程为y(x1)，代入4x25y220，得19x230x50.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|.弦AB的长为.11. 解(1)将ykx1代入双曲线方程x2y21，化简，整理，得(1k2)x22kx20.由题设条件<k<1.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x，y)，则x，y，直线l的方程为y(x2)令x0，得b.<k<1，u2k2k2在(，1)上为减函数，1<u<2.又u0，b<2或b>2.12. 解(1)设椭圆P的方程为1 (a>b>0)，由题意得b2，e，a2c，b2a2c23c2，c24，c2，a4，椭圆P的方程为1.(2)假设存在满足题意的直线l.易知当直线l的斜率不存在时，<0不满足题意故可设直线l的方程为ykx4，R(x1，y1)，T(x2