力学量的算符表示

1、 第三章 力学量的算符表示1如果算符、满足条件，求证：，证 利用条件，以左乘之得则有 最后得 。再以左乘上式得， 即则有 最后得 应用数学归纳法可以证明 ：先设 成立，以左乘上式得则有 最后得 2证明证 应用 及，则 同理可证 则 3若算符满足，求证：其中， 证 方法一：把直接展开，比较系数法。而 因此，把展开式的的同次幂的系数合并之后，我们容易得到：方法二：定义算符 其中S是辅助参数。则算符对S的微商给出取，得将展开为麦克劳林级数按定义，所以我们最后得到4如果都是厄密算符，但，向：（1）是否厄密算符？（2）是否厄密算符？解 利用厄密算符具有的性质 及 （1）令则 当 时，故不是厄密算符。（2

2、）因，故因此 是厄密算符。例如，和都是厄密算符，且，所以不是厄密算符，事实上显然不可能是厄密的。但是在 中，把它改写为，显然左方是厄密算符。5如果都是厄密算符，而算符，求证：。证 。6试证明力学量所对应的算符是，并进一步用数学归纳法证明力学量所对应的算符是。证 先证明一维情况，按定义而 ，利用恒等式故 由于：故 同理 故 对于，可先设成立，然后写出的表示式，进行一次分部积分后，不难得出7求：并由此推出、分别与的对易关系。解 ，且 以及 之间均可对易。故 同理 同理可证，对于分别有，及 ，一般地，我们可以将上述各式合并写为：其中为循环指标，而8求 并由此推出分别与的对易关系。解 同理可证： ，

3、，一般地，可以把上面的式子合并为9一维谐振子处于基态，其中 求 解 。利用第二章第3题的结果，我们知道是已归一化了的，故同理，注意到一维情况下，只须考虑，因此最后得 讨论：通过上面的计算看到，在一维谐振子的特殊情况下，其结论与测不准关系一致。的结论，可以从动量几率分布函数得出，利用第二章第3题的结果，处于基态的一维谐振子的动量几率分布函数为，它是的偶函数，这从物理上看是很清楚的。这种对称性（坐标空间和动量空间）是一维谐振子的主要特征之一。也可以从动量空间中求平均而得到。在以为自变量的表示式中，一维谐振子的薛定谔方程为，令 代入上式可得在以为自变量的表示式中，考虑到算符，故薛定谔方程为同理可令

4、，于是有显然的解只须在中以代替即得：而 故 和上面得出的结果一致。10一维运动的粒子处在 ， 求 解由第二章第1题知归一化系数为在上面的计算中利用了积分公式最后得 讨论：，满足测不佳关系。用及求得的结果也和上面的结果一致。显然，在已知的情况下，把用算符代替，直接用坐标几率分布函数表计算或，比先由求动量几率分布函数，再由来或简单得多，由此可见，力学量用算符表示，非但有深刻的物理意义，而且也给计算带来方便。在第四章将看到，一个力学量，不管用作自变数，还是用或其它量作自变数，计算出来的平均值都相同。从物理上看来，这也是明显的，因为平均值正是实验测量的值，它不应当和计算方法有关。11求粒子处在态时角动

5、量的分量和角动量分量的平均值；并证明：解（1）先证明两个普遍的关系：可以用两种方法来证明。（a）从角动量算符所满足的对易关系出发：或 由一式与二式乘i后相加减可得：或 用算符对运算得：另外，注意到和均可对易，故有：所以 从上面二式可见既是的本征函数，本征值为，又是的本征函数，本征值为，亦即，具有的形式。令 它的共轭复式是二式相乘，对积分，再注意到的正交性，得：（b）用直接求微分的方法证明而 ；其中 故 同样，对也有 其中 可证明如下：因为勒襄德多项式满足方程对上式求微商次后得到或 故有（2）现在来求和注意到的正交性，亦即令 同理可知 故 （3） 注意到的正交性，得：同理可证： 故 方法三：在固

6、定z轴不变的情况下，进行坐标旋转，把原来的y轴变为x轴，仍然保持右旋坐标，这时角不变，唯一的改变是变为，注意到和的对称性，不难由在球坐标中的算符表示式看出而 讨论：为了证明，我们还可以用下面两种简并方法：（a）设为的本征态，则有而 故同理，因为，可以证明（b）利用本章第12题的结论来证明令 则显然都是厄密算符，的对易关系为：就是角动量分量之间所必须满足的对易关系利用12题的结论得出由于态是的本征态，在本片态中测量力学量有确定值，即力学量在态在平均平方偏差必须为零。故有要保证不等式成立，考虑到为非负的数，所以必须是。同理，只须利用，也可以证明在方法三中，不从物理上考虑，直接从对易关系出发，也很容

7、易证明注意到 即 左乘 得：利用 右乘得：比较 和可见，。再利用，按照方法三的讨论，很容易证明。12若都是厄密算符，且，证明：证 引入积分 其中为实参数，显然 这是关于的二次三项式，要它大于零，其判别式必须小于或等于零，即故 B若，且，证明，若为的本征函数，对应的本征值为，则也是的本征函数，对应的本征值为；也是的本征函数，对应的本征值为。解 依题意 则 故是的本征函数，对应的本征值为，故也是的本征函数，对应的本征值为。14证明狄拉克函数的下述性质：（1）；（2）；（3）证（1）方法一：方法二：左右二端相比较可得：（2）上面令。而 故 （3） 令则注意：函数在运算时还有其他重要性质，例如：等等。

8、用相似的方法也可以证明。15利用测不准关系估计氢原子基态能量。解 若电子的质量为，电子离核的距离为，则氢原子的平均能量为式中是电子的动量。利用测不准关系对氢原子的基态，由于其对称性，故 ，而电子和核的距离在数量级内，其误差不会大于本身，即所以得到 若在能量表示式中，以代替，由于，故基态的能量最小，故故 对类氢原子则有 z为原子序数。上述结果和用精确方法求得的氢原子基态能量相符，这里的，就是第一玻尔轨道。16设体系处在态中，求：（1）力学量的可能值和平均值；（2）力学量的本征值；（3）力学量和的可能值。解（1）因为和都是的本征函数。对应于态，的本征值为；对应于态，的本征值为。因此，对态来说，的可

9、能值是0，。力学量的平均值为（2）因为和也都是的本征函数，对应的本征值是，故 故对应于态，的本征值为，平均值也是。（3）根据教材26的讨论，和不再是力学量和的本征函数。并且，对于来说，和的可能值均为；对于来说，和的可能值也是。因此对于态来说，和的可能值仍是。17设体系处在某一状态，在该状态中测量力学量得到的值是，测量力学量得到的值是，求测量力学量和可能得到的值。解 设体系所处的状态为，由于力学量和能同时测量，所以必是和的共同本征函数，且具有球谐函数的形式。，故，故因此态就是态。把按的本征函数，展开。因为不随坐标选择而变，因此在系中，仍为1，而可能取。故在态可能测得的值为。同理在态测量的可能值也

10、是。18荷电为的粒子在恒定磁场中运动，让明粒子速度分量之间的对易关系是：证 按定义：而 与无关，故算符和对易，则有考虑到：事实上，在有磁场存在的情况下，广义动量为，这一结论从物理上看是显然的。同理，只须轮换脚标，不难得出其余两式可把上三式合写为 讨论：下面求荷电为的粒子在恒定磁场中的能量。为此，可令的方向沿轴方向，亦即利用上面的结果，有体系的哈密顿为：令 则 由于哈密顿算符可以分离变量，因此，根据第二章第8题，第9题等的结论，哈密顿算符的本征值就是的本征值和的本征值之和。现在我们来求算符的本征值，这里要指出，由于和不可对易，它们满足对易关系式因此绝不能得出哈密顿算符的本征值是连续谱，本征函数是平面波的结论。引进代换 其中 则： 而对易关系把和线性谐振子的哈密顿算符振子比较，而式中令 线性谐振子的定态薛定谔方程为即 亦即算符的本征值为利用对易关系 ，易得其对易关系与的对易关系一致。因此算符的本征值也是的本征值是对于，考虑到和；都对易，因此的本征值是连续谱为。总起来，我们最后得到：哈密顿算符的本征值为：19证明：证 方法一：因为势能和对易，故上式中含势能部分消去，可得：利用教材中的公式（2815）和