高二选修三个正数算术几何平均不等式讲义

1、高二选修三个正数算术几何平均不等式讲义类比基本不等式的形式，猜想对于类比基本不等式的形式，猜想对于3个正个正数数a，b，c，可能有，可能有类比基本不等式的形式，猜想对于类比基本不等式的形式，猜想对于3个正个正数数a，b，c，可能有，可能有 ，那么，那么 ，当且仅当，当且仅当a=b=c时，等时，等号成立号成立 Rcba,33abccba .,3,:333等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当则则若若证明证明cbaabccbaRcba 和的立方公式：3223333)(yxyyxxyx 立方和公式：)(2233yxyxyxyx 定理定理 如果如果 ，那么，那么 当且仅当当且仅当a=b=c时，等号成立时

2、，等号成立 Rcba,33abccba （）若三个正数的积是一个常数，那么（）若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值最小值（）若三个正数的和是一个常数，那么（）若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值最大值 n个正数的算术个正数的算术几何平均不等式：几何平均不等式：.,321321321321等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当则则若若nnnnnaaaaaaaanaaaaRaaaa 例例 求函数的最小值求函数的最小值下面解法是否正确？为什么？下面解法是否正确

3、？为什么？)0(322 xxxy解法：由解法：由 知知 ，则，则 当且仅当当且仅当0 x03, 022 xxxxxxxy623223222 33min321822362,2332 yxxx时时即即解法解法2：由：由 知知 ，则，则 例例 求函数的最小值求函数的最小值下面解法是否正确？为什么？下面解法是否正确？为什么？)0(322 xxxy0 x02, 01, 022 xxx3322243212321232 xxxxxxxxy3min43 y例例 求函数的最小值求函数的最小值)0(322 xxxy解法：由解法：由 知知 则则 0 x, 023, 022 xx3322229323232323232

4、32 xxxxxxxxy33min32362329343232 yxxx时时即即当且仅当当且仅当的最小值是的最小值是、函数、函数)0(12312 xxxyA、6B、C、9D、1266 （）变式：变式：C_)1(1642222的的最最小小值值是是、函函数数 xxy8例例2如下图，把一块边长是如下图，把一块边长是a的正方形铁的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子子,问切去的正方形边长是多少时，才能使问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？盒子的容积最大？ax解：设切去的正

5、方形边长为解：设切去的正方形边长为x，无盖方底，无盖方底盒子的容积为盒子的容积为V，则，则xxaV2)2( xxaxa4)2)(2(41 27234)2()2(4133axxaxa 当且仅当即当当且仅当即当时，不等式取等号，此时取最大值时，不等式取等号，此时取最大值 即当切去的小正方形边长是原来正方形边即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的长的 时，盒子的容积最大时，盒子的容积最大xxaxa422 6ax 2723a61练习：练习：的最大值是的最大值是、函数、函数)20)(2(124 xxxyA、0B、1C、D、（）（）27162732D_)(1,2 bbaabaRba则则且且、若、若3的最

6、小值是的最小值是则则、若、若yxxyRyx24,32 A、4B、C、6D、非上述答案、非上述答案343（ ）B_111, 1,4的的值值不不小小于于则则且且、已已知知cbacbaRcba 929)111)(,. 5 accbbacbaRcba求证求证 , 8 81, 1 1 ,81B. 810,A.) (),( 1)11)(11)(11(. 6DCMRcbacbacbaM的的取取值值范范围围是是则则且且设设D.)2, 0(,cossin. 72的的最最大大值值求求函函数数 xxxy小结：小结：这节课我们讨论了利用平均值定理求某些这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值问题。现在，我们又多

7、了一种函数的最值问题。现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法。这是平均值定理的一个重要应用的方法。这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容，应用定理时需注意也是本章的重点内容，应用定理时需注意“一正二定三相等一正二定三相等”这三个条件缺一不可，这三个条件缺一不可，不可直接利用定理时，要善于转化，这里不可直接利用定理时，要善于转化，这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到化归的目的。变形的具体方法，以达到化归的目的。思考题：思考题：已知：长方体的全面积为定值，试问这已知：长方体的全面积为定值，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值体积最大，求出这个最大值解：设长方体的体积为解：设长方体的体积为V，长、宽、高分别，长、宽、高分别是是a，b，c，则，则V=abc，S=2ab+2bc+2ac22)(abcV )()(acbcab 21663333SSacbcab 66