方向倒数与梯度

1、Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-181第八节第八节方向导数与梯度方向导数与梯度结束结束方向导数方向导数 学习要求学习要求 例例12 梯度梯度例例3 exe3 exe12 方向导数的计算方向导数的计算Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-182 在一元函数中在一元函数中,我们知道函数的导数就是函数我们知道函数的导数就是函数的变化率！的变化率！比如, y = f (x),xyxxfxxfxfxx00000lim)()(lim)(如图. ., 平均变化率即就是平均改变量是函数改变量其中xyyxoyx0 x0+xx0+xyx

2、0y = f (x)Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-183xxfxxfxfx)()(lim)(0000表示在 x0处沿 x 轴正方向的变化率.xxfxxfxfx)()(lim)(0000表示在 x0处沿 x 轴负方向的变化率.xoyx0 x0+xx0+xyx0y = f (x)Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-184又比如, z = f (x, y), 偏导数分别表示函数在点 (x0, y0)沿 x 轴方向,沿 y 轴方向的变化率.0000000(,)(,)(,)limyyf xyyf xyfxyy 000000

3、0(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1850000(,)( ,)xzf xx yf x y),(0yxfz 00(,)xx y xoyzx0(x0, y0)0 xxy0如图:只在x方向有增量Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-186xoyzx0(x0, y0)y00yy如图:只在y方向有增量),(00yyx),(0yxfz ),(),(0000yxfyyxfzyCopyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-187yyxfyyxfyz

4、yyy),(),(limlim,000000特别表示在 (x0, y0)处沿 y 轴正方向正方向的变化率.表示在 (x0, y0)处沿 y 轴负方向负方向的变化率.yyxfyyxfyzyyy),(),(limlim,000000而Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-188但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何沿任何方向方向的变化率.沿某一给定方向的变化率问题再如, 2008年5月12大地震(8级)的汶川大地震,地震波先到达的地方先感应到地震来了！离震源很远的地方随着波传播的削弱,都感应不到了.2011年3月11大地震(9级)中引发的日本

5、福岛核电站的泄露,核辐射的扩散速度,与风向和洋流都有关系,在某些方向上会很快！函数f(X)在X0沿某一给定方向的变化率.变化的快慢我们常用变化率来描述.因此有必要引进比如热的传播,金属材质比朔料传播快.Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-189当限制t0,(1)成为射线l(过定点,指向e)并且可以将射线写X=X0+te的形式,称函数沿射线的变化为函数沿方向l的改变量.3R)cos,cos,(coscos) 1 (coscos000tzztyytxx空间中过点X0以方向e=X0e为 方向的直线l方程的参数形式：lCopyright 数学与计量经济学院ZHOU

6、JINHUA 2022-2-1810 定义定义1:若函数u = f (X) = f (x, y,z)沿着方向l: X=X0+te(t0)的改变量 f(X0+te)-f(X0) 与t的比值的极限tXfteXft)()(lim000记作:）和（或和)()()()(0000XfDeXfXfDlXfel一、方向导数一、方向导数存在,则称该极限为函数f(x,y,z)在X0 处沿方向l(e)的方向导数.Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-18111. 定义中要求点 X 只取在 l 的正向上,且X沿|)()(00XXXfXf的分母大于0.如图另外比值xoyX0=(x0,

7、 y0)lX = (x0+x, y0+y)yx特别地,取e=i(或者j,k)时,我们就得到函数沿坐标轴正向的方向导数.当取e=-i(或者-j,-k)时,我们就得到函数沿坐标轴负向的方向导数.l 趋向于X0 . Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-18122. 若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在.则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数,),0, 0(xy此时lyxf),(0022000000),(),(limxyxfyxxf|),(),(lim00000|xyxfyxxfxxyxfyxxfx),(),(lim

8、00000),(00yxfxCopyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1813在 X0 处沿 x 轴负方向的方向导数,),0, 0(xy此时lyxf),(00200000),(),(limxyxfyxxf|),(),(lim00000|xyxfyxxfxxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx同样可得沿 y 轴正向的方向导数为 f y (x0, y0), 完完而沿 y 轴负方向的方向导数为 f y (x0, y0).Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1814定理定理1:若 z = f (X) = f

9、 (x, y,z) 在点 X0(x0, y0 ,z0,) 可微, 则 z = f (X) 在 X0沿任一方向l的方向导数存在. 且cos)(cos)(cos)()(0000zXfyXfxXflXf)cos,cos,(cos)(,)(,)(000zXfyXfxXf= Jf (X0) e. (最后两式为数量积)二、方向导数的计算二、方向导数的计算其中e是与l同向的单位向量.完完Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1815 定理定理1:若z = f (X) = f (x, y) 在点 X0 (x0, y0) 可微, 则 z = f (X) 在 X0沿任一方向e

10、= (cos, cos)的方向导数为cos),(cos),(),(000000yyxfxyxfeyxfsin),(cos),(0000yyxfxyxf其中ei,2完完Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1816 求 u = xyz 在点 X0 (1, 1, 1)处沿从该点到点 X1 (1, 2, 2)方向的方向导数.例例1 1lr| 设由坐标原点到点(x, y)的向径为r, x轴到r 的转角为, x轴到一射线l的转角为,求例例2 2完完xoylrCopyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1817 求 u = xyz 在点 X

11、0 (1, 1, 1)处沿从该点到点 X1 (1, 2, 2)方向的方向导数.解解: 先求出这个方向上的单位向量 e .向量 X0X1 = (0, 1, 1)从而与 X0X1 同向单位向量|e1010XXXX22 ,22 , 0例例1 1Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1818再求 u 在 X0 (1, 1, 1) 处的偏导数.,yzxu,xzyu.xyzu由公式得方向导数1)1 , 1 , 1()1 , 1 , 1()1 , 1 , 1(zuyuxu从而22 ,22 , 0) 1 , 1 , 1 () 1 , 1 , 1 (ef22 222.完完Co

12、pyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1819lr| 设由坐标原点到点(x, y)的向径为r, x轴到r 的转角为, x轴到一射线l的转角为,求解解: cos|22rxyxxxrsin)2cos(|22ryyxyyr|cossinrrrlxy所以coscossinsincos().例例2 2Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1820 当 时, ,即|r|沿向径自身方向的1|lr2|0,rl完完方向导数为1;即|r|沿与向径垂直方向的方向导数为0. 当 时，Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022

13、-2-1821求函数 在点(5, 1,2)沿该点至点(5, 4,6)方向的方向导数.zxyu2exe1exe1完完求函数 在点P(2, 3)沿曲线(如图)223yyxzexe2exe2xoy12112yx上 点处的切线方向的方向导数.11,2Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1822 求函数 在点(5, 1,2)沿该点至点 (5, 4,6)方向的方向导数.zxyu2exe1exe1完完解: 由于 22, 2, xyzuy z uxyz uxy(5,4,6)(5,1,2)(0,3,4)(0,3,4)(5,4,6)(5,1,2)(0,3,4)5e另外，(5,

14、1,2)2, 20, 5,xyzuuuue=(0,3,4)(2,20,5)516.Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1823求函数 在点P(2, 3)沿曲线(如图)223yyxz2112yx上 点处的切线方向的方向导数.exe2exe2xoy1解解: 21yx设 在 处的切线的方向向量为S则S=211(1,)(1,)22112kyxtan11,211,2=1422,22函数z在P处的方向导数为(2,3)22,22zzzsxy9 2完完Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-18241. 设 z = f (X) = f (

15、x, y) , 考察 z 在点 X0 (x0, y0)处连续; 存在两偏导; 沿任何方向的方向导数存在以及可微这些概念的联系和区别.可微 连续, 可微 存在两偏导, (反之不对).可微 沿任何方向的方向导数存在. (1)Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1825(2) 若 z = f (X) = f (x, y) 在区域 D 内的两偏导不仅存在, 而且连续, 则 z 在 D内可微, 在 D内每点处沿任何方向 的方向导数存在,且.000()()(),(cos,cos,cos )f Xf Xf Xxyz0000()()()()coscoscosf Xf Xf

16、 Xf XxyzeCopyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-18262.虽偏导不存在偏导不存在,但但方向导数可以存在方向导数可以存在。当偏导数存在的时候,可以很便捷地计算出方向导数 0000()()()()(,) (cos ,cos ,cos )f Xf Xf Xf Xexyz(2)方向导数计算式(偏导存在时)(1)方向导数定义式tXfteXflXft)()(lim)(00000()Jf XeCopyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-18273.偏导存在偏导存在,但但方向导数不存在方向导数不存在在(0,0)处偏导数存在,但是其他方

17、向的方向导数不存在.如:函数222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy完完(0,0)fl220(,)(0,0)limfxyfxy 2201cos sinlim0cos sinlimCopyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1828在等压线、等高线、等温线等量线图中线与线的疏密都客观地反映出一定的变化关系如在天气预报中用到的地面上的等压线如图从图看到,显然P1P2P| PP1 | PP2 |要是按照距离计算,气压沿 PP1 方向的平均增长率大于沿PP2 方向的平均增长率.事实上在等压线密集的方向,气压的变化率比稀疏的方向大.等压线图选讲一个例子C

18、opyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1829二、梯度二、梯度(向量函数)(,)(,)()(0000zXfyXfxXfXJf记0000()()()() (,) (cos ,cos ,cos )f Xf Xf Xf Xexyz则eXJfeXJf),(cos| |)(| 000 Prj()eJf X0()Jf XegradientCopyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 2022-2-1830故00()(1) cos(),1,.f XJf Xee当时最大0()eJf X即当 取与0(),f Xe同向时最大最大值为 |Jf(X0)|.也就是函数沿Jf(X0) 的方向增长最快.Copyrigh