高中数学圆的方程单元测试

1、用心 爱心 专心1典型例题十已知圆x2 y2 x -6y m = 0与直线x 2y -3 = 0相交于P、Q两点，O为原点，且OP _ OQ,求实数m的值.分析：设P、Q两点的坐标为(为,yj、(x2, y2)，则由kOP-kg = -1，可得x1x2y1y2= 0,再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为丄，由直线I与圆的方程x构造以1为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出kOPkOQ的值，从而使问题得以解决.x解法一：设点P、Q的坐标为(论，yj、(x2, y2).一方面，由OP _ OQ，得kOPkOQ= -1，即11上-_1，也即：x1x2yiy2= .x1

2、x2(X2,y2)是方程组弓右的实数解，即x + y +x_6y + m = 05x210 x 4m -27=0的两个根.*_24m27XX2 -一2,X1X2 5又P、Q在直线x，2y-3=0上,二y2(3-xJ(3-X2)9-3(为X2)X1X2.224将代入，得y2二卫12.5将、代入，解得m=3，代入方程，检验 :0成立，二m = 3.解法二：由直线方程可得3 = x 2y，代入圆的方程x2亠y2亠x-6y亠m=0，有221m2x y (x 2y)(x -6y)(x 2y) =0,39整理，得(12 m)x24(m -3)xy (4m -27)y2=0.由于x = 0，故可得(4m -

3、27)(乂)24(m -3)乂12 m =0.xx二kOP,koQ是上述方程两根故kOPkOQ = T. 得另一方面，(X1, yjx1、x2是方程用心 爱心 专心2经检验可知m = 3为所求.12 m4m -27=-1,解得m = 3.用心 爱心 专心3典型例题十一例 1111 求经过点A(0,5)，且与直线x-2y =0和2x y = 0都相切的圆的方程.分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标.又 圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.解：圆和直线x-2y =0与2x y = 0相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线

4、x2y =0和2x y=0的距离相等.两直线交角的平分线方程是x 30或3x一y = 0.又圆过点A(0,5),圆心C只能在直线3x-=0上.设圆心C(t ,3t) C到直线2x + y = 0的距离等于AC,化简整理得t2-6t 5=0.解得：t=1或t =5圆心是(1,3)，半径为.5或圆心是(5,15)，半径为5. 5.所求圆的方程为(x -1)2(y - 3)2= 5或(x - 5)2(y -15)2=125.典型例题十二例 1212 设圆满足：(1)(1)截y轴所得弦长为 2 2; (2)(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，在满足条件(1)(1) (2)(2)的所有圆中，求圆

5、心到直线丨：x-x-2y=0的距离最小的圆的方程.分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程.满足两个条 件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距 离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程.x 2y2t +3t=t2(3t -5)2x-2y用心 爱心 专心4解法一：设圆心为P(a , b)，半径为r.用心 爱心 专心5则P到x轴、y轴的距离分别为b和a由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为,2r=2b又圆截y轴所得弦长为 2 2 二r2二a21又

6、TP(a,b)到直线x2y=0的距离为乂r2二2二2故所求圆的方程为(x-1)2，(y-1)2= 2或(x 1)2(y 1)2= 2解法二：同解法一，得d7 a -2b - . 5da2=4b2-4、5bd 5d2将a2=2b2-1代入上式得: 5d2=|a-2b22 2=a 4b 4ab2 2 2 2_a 4b -2(ab )2 2=2b -a =1当且仅当a =b时取“=”号，此时dmin二,55这时有卢了2b -a2，广ab二1二用心 爱心 专心62 22b -4,5bd 5d 1 =0.上述方程有实根，故2.：=8(5d _1)_0,.,v5d _5将d5代入方程得b =5又2b2=

7、a21二a =1.由a2b =1知a、b同号.故所求圆的方程为(x -1)2 (y -1)2= 2或(x 1)2(y 1)2= 2.说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？典型例题十三例 1313 两圆C1：x2y2D1xE-iy= 0与C2:x2y2D2xE2y F2= 0相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程.分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧.解：设两圆C1、C2的任一交点坐标为(x0, y0)，则有：2 2X。yD1X0E。F1=02 2X。yD2X0E2y0 F0一得：(D -D2)X0(E1-E2)y0R -F2=0. A、B的坐标满足方程(D!-D2)x (E!- E2)y R-F2=0.二方程(D1-D2)x (EE2)y - R -F2=0是过A、B两点的直线方程.又过A、B两点的直线是唯一的.两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为Q -D2)x (E1-E2)y * R-F2=0.说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的