年全国高校自主招生数学模拟试卷六

1、2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷六参考答案一、选择题 ( 每小题 6 分，共 36 分 )1删去正整数数列 1， 2，3， 中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第 2003 项是(A) 2046(B) 2047(C)2048(D) 2049解： 452=2025 ， 462= 2116在 1 至 2025 之间有完全平方数 45 个，而2026 至 2115 之间没有完全平方数故1 至2025 中共有新数列中的2025 45= 1980 项还缺 2003 1980= 23 项由 2025+23 = 2048知选 C2设 a， b R， ab 0，那么直线22ax y+b= 0

2、和曲线 bx+ay =ab 的图形是yyyyOxOxOxOxA.B.C.D.解：曲线方程为x2y2a+ b = 1，直线方程为 y=ax +b由直线图形，可知A、C 中的 a<0， A 图的 b>0 ，C 图的 b<0，与 A、 C 中曲线为椭圆矛盾由直线图形，可知B、D 中的 a>0， b<0，则曲线为焦点在x 轴上的双曲线，故选B3过抛物线 y2= 8(x+2) 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P，则线段 PF 的长等于16816(A)3(B) 3(C)33(D) 83解：抛物

3、线的焦点为原点(0，0)，弦 AB 所在直线方程为 y=3x，弦的中点在 y= p=4 上，k3即 AB 中点为 (4， 4)，中垂线方程为y= 3(x 4)+4 ，令 y= 0，得点 P 的坐标为 16333333 PF= 163选 A4若 x 5， ，则 y=tan(x+2 ) tan(x+ )+cos( x+)的最大值是12336612111112(A) 52(B)62(C) 63(D)53解：令 x+ =u ，则 x+2=u +，当 x 5，3时， u ， ，6321246y= (cotu+tanu)+cosu= 2+cosu在 u ，6时， sin2u 与 cosu 都单调递增，si

4、n2u4从而 y 单调递增于是u= 时， y 取得最大值113，故选 C664292的最小值是5已知 x， y 都在区间 ( 2， 2)内，且 xy= 1，则函数 u= 4 x +9 y8241212(A) 5(B)11(C)7(D)5解：由 x， y ( 2， 2)，xy= 1知， x ( 2，1) (1， 2)，2242424359x 9x +72xu= 4x2+9x2 1= 9x4 +37x24= 1+2 437 (9x +x2)当 x (112124222， ) (，2)时， x ( ， 4)，此时，9x +2 12(当且仅当x =时等号成224x3立) 此时函数的最小值为12，故选

5、D56在四面体 ABCD 中， 设 AB= 1，CD=3，直线 AB 与 CD 的距离为2，夹角为，则3四面体 ABCD 的体积等于(A)3(B)1(C)1(D)3A2233M解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积= 1× 3× sin ×2= 33B而四面体 ABCD 的体积 = 1×平行六面体体积 =1故选 B62二填空题 ( 每小题 9分，共54 分)7不等式 |x|3 2x2 4|x|+3<0 的解集是325 15+15+15 1解：即 |x| 2|x| 4|x|+3<0，(|x| 3)(|x|2)(|x|+2)<

6、;0 |x|<2，或2<|x|<3 解为 (3，5 15 12) (2， 3)228设 F1、 F2 是椭圆 x +y= 1 的两个焦点， P 是椭圆上一点，且|PF1| |PF 2|= 2 1，则94PF 1F 2 的面积等于解： F1( 5， 0)， F2(5， 0)； |F1F2|= 2 5|PF 1|+|PF 2|= 6，|PF1 |=4，|PF 2|= 2由于 42+22= (25) 2故 PF 1F 2 是直角三角形 55 S=49已知 A= x|x2 4x+3<0， x R ，B= x|21x+a 0， x2 2(a+7) x+5 0，x R 若 AB，则

7、实数a 的取值范围是解： A= (1， 3)；DNC1x ( 1，1)，当 x (1， 3) 时， ax2+57 ( 5 7， 4)又， a 242x 4 a 110已知 a， b， c， d 均为正整数，且logab=3， logcd=5，若 a c= 9，则 b d=24解： a3=b 2 ，c5 =d 4，设 a=x 2， b=x 3； c=y 4，d=y 5， x2 y4= 9 (x+y2)(x y2 )= 9 x+y2= 9， x y2= 1，x= 5， y2= 4 b d= 53 25= 12532= 93H11将八个半径都为1 的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻

8、的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于解：如图， ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心每个球心与其相切的球的球心距离= 2 EFGH 在平面 ABCD 上的射影是一个正方形是把正方形 ABCD 绕其中心旋转45 而得设E 的射影为N，则EG FDCNMABMN=21 EM=3，故 EN2 =3 (2 1)2= 22EN= 4 8所求圆柱的高=2+4812 设 Mn= ( 十进制 )n 位纯小数 0. a1a2 an |ai 只取 0 或 1(i= 1，2， ，n 1)，an= 1 ，Tn 是 Mn 中元素的个数， Sn 是 Mn 中所有元素的和，则l

9、im Sn=nTn解：由于 a1， a2， ， an 1 中的每一个都可以取0 与 1 两个数， Tn= 2n 1在每一位 ( 从第一位到第n 1 位 )小数上，数字0与 1各出现2n 2 次第 n 位则 1 出现n 1次2 Sn= 2n 20.11 1+2n2 10 n lim Sn= 1 1= 1 nTn 2 9 18三、（本题满分20 分）313设 2 x 5，证明不等式2x+1+ 2x 3+ 15 3x<219解： x+1 0， 2x 3 0， 15 3x 03 x 52由平均不等式x+1+ x+1+ 2x 3+ 153xx+1+x+1+2 x 3+15 3x14+x444 2x

10、+1+2x 3+ 15 3x= x+1+x+1+ 2x 3+ 15 3x 2 14+x但 214+x在3 x 5 时单调增即 214+x 214+5= 2192故证四、 ( 本题满分20 分)114设 A、 B、 C 分别是复数 Z0=a i， Z1= 2+bi， Z2= 1+ci(其中 a， b， c 都是实数 )对应的不共线的三点证明：曲线4224( t R)Z=Z 0cos t+2Z1cos tsin t+Z2sin t与 ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点解：曲线方程为：42242244224Z=a icos t+(1+2 bi)cos tsin t+(1+ c

11、i)sin t= (cos tsin t+sin t)+i( acos t+2bcos tsin t+csin t)x=cos2tsin2 t+sin4t= sin2t(cos2 t+sin 2t)= sin2 t (0 x 1)y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4 t=a(1 x)2+2b(1 x)x+cx2即y=(a 2b+c)x2+2( b a)x+a (0 x1)若 a2b+c= 0，则 Z0、Z1、 Z2 三点共线，与已知矛盾，故a2b+c 0于是此曲线为轴与 x 轴垂直的抛物线1131AB 中点 M： 4+2(a+b)i ， BC中点 N：4+2(b+c)i 与

12、AC 平行的中位线经过 M(1， 1(a+b)及 N(3，1(b+c) 两点，其方程为42424(ac) x+4 y 3a 2b+c= 0(1x3)44令4(a 2b+c) x2+8(ba) x+4a= 4(c a)x+3a+2b c即 4(a 2b+c) x2+4(2 ba c)x+a 2b+c= 0由 a 2b+c 0，得24x +4x+1= 0，13此方程在 ， 内有惟一解：以 x= 12代入得，11 所求公共点坐标为(2， 4(a+2b+c) 五、 ( 本题满分20 分)1x= 21y= 4(a+2b+c)15一张纸上画有一个半径为R 的圆 O 和圆内一个定点A，且 OA=a ，折叠纸

13、片， 使圆周上某一点A 刚好与点A 重合这样的每一种折法，都留下一条折痕当A 取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合解：对于 O 上任意一点A ，连 AA ，作 AA 的垂直平分线MN ，连 OA 交 MN 于点 P显然 OP+PA=OA =R由于点 A 在 O 内，故 OA=a <R从而当点 A 取遍圆周上所有点时，点 P 的轨迹是以 O、 A 为焦点， OA=a 为焦距， R( R>a)为长轴的椭圆 CMSDS' QA'P而 MN 上任一异于P 的点 Q，都有 OQ+QA=OQ +QA >OA 故点OAQ 在椭圆 C 外即折痕上所有的点都在椭圆C上及C外N反之，对于椭圆C 上或外的一点S，以 S 为圆心， SA 为半径作圆，交 O 于 A ，则 S 在 AA 的垂直平分线上，从而S 在某条折痕上