初二数学：用函数观点看方程（组）与不等式

1、用函数观点看方程（组）与不等式1、能用函数观点看一次方程（组）、不等式； 2、能用辩证的观点认识一次函数与一次方程、不等式的区别与联系；3、在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化思想.1一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可以转为（为常数，）的形式，所以解一元一次方程可转化为：当某一个函数的值为0时，求_的值.从图像上看，这相当于已知直线，确定它与轴交点的横坐标的值.2. 一次函数与不等式由于任何一元一次不等式都可以转为或（为常数，）的形式，所以解一元一次不等式可看作：当一次函数的值_时，求自变量相应的取值范围.3一次函数与二元一次方程组一般地，每个二元一次方程组都

2、对应两个一次函数，于是对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从的“形”角度看，解方程组相当于确定两条直线_的坐标.参考答案：1. 相应的自变量2. 大（小）于03. 交点1、解一次函数与一元一次方程【例1】一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度是17米/秒？【解析】应用一次函数的与一元一次方程的方法即可求解.解法1：设再过秒物体的速度是17米/秒，列方程得解法2：速度（单位：米/秒）是时间（单位：秒）的函数 由 由下图可看出直线与轴的交点为（6,0），得总结：解一元一次方程可转化为：当某一个函数的

3、值为0时，求相应的自变量的值.从图像上看，这相当于已知直线，确定它与轴交点的横坐标的值.练1. 将方程全部的解写成坐标的形式，那么用全部的坐标描出的点都在直线（ ）上. A. B. C. D. 【解析】将方程转化成直线的形式，即可求解.解： 故选C.练2. （2015春启东市校级月考）一次函数和的图像的交点坐标是_.【解析】采用带入法，将其中一个一次函数带入另一个，即可求解坐标.解： 将 代入，得 交点坐标为（2，-3）.2解一次函数与一元一次不等式【例2】用画函数图像的方法解不等式.【解析】化简不等式，再画出一次函数图像，结合图像即可求解. 解法1：原不等式为，画出直线，可看出，当时这条直线

4、上的点在轴的下方，即这时，所以不等式的解集为.解法2：将原不等式为的两边分别看作两个一次函数，画出直线与，可看出，它们的交点的横坐标为2，当时，对于同一个，直线上的点在直线上相应点的下方，这时，所以不等式的解集为.总结 把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，数形结合即可求解.练3.如图，直线与轴交于点（-4,0），则时，的取值范围是_.【解析】结合图象，满足时，即直线位于轴的上方部分，即可求解.解： 直线与轴交于点（-4,0）， 结合图象特点， 当时，. 练4. （2014春江宁区校级月考）一次函数的图象如下图，则当_时，.【解析】根据函数图象特殊点（-2,4），即可求解.解： 由图象可知

5、，直线过点（-2,4）， 当时，.3一次函数与二元一次方程组【例3】一家电信公司给顾客提供上网费的两种计费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基本费20元外，再以每分0.05元的价格按上网时间计费.上网时间为多少分，两种方式的计费相等？【解析】计费与上网时间有关，所以可设上网时间为分，分别写出两种计费方式的函数模型，然后再考虑自变量为何值时两个函数的值相等解：设上网时间为分 方式A的计费元；按方式B的计费元.在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图像.两个函数的图象交于点（400,40），这表示当时，两个函数的值都等于40.因此，上网时间为400分，两种方式的计费相等（

6、都是40元）.总结 方程组、不等式与函数之间的相互联系，用函数观点可以把它们统一起来.解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑.练5. 如下图，反映了某公司的销售收入与销售量的关系，反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（ ）A. 小于3吨 B. 小于4吨 C. 大于3吨 D. 大于4吨【解析】根据图象两直线交点的坐标，赢利时即为的值大于的的值.解： 由题意可知，要使得公司赢利， 即的值大于的的值 选D.练6. （2015春天一学校期中）一次函数与的图象如下图，则当_时，；当_时，;当_时，.【解析】根据两个函数图象的交点坐标，即可求解.解：

7、 由图象可知，两函数的交点坐标为（1，-3） 当时，;当时，;当时，.【例4】小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象L1，L2，如图所示，他解的这个方程组是（ ）.A B C D【解析】根据函数图象特殊点坐标，即可求解解：由图象可知，两个函数均过点（2,-2） 且直线L1过点（1,0），直线L2过点（-2，0） 将点坐标带入选项中的一次函数，即可得， 故选D.练7如下图，已知函数和的图象交点为P，则不等式的解集为_. 【解析】根据图象交点坐标，求出直线在直线上方的部分即可解：由图象交点横坐标可知，时，两直线的值相等， 当时，.练8（2015济宁市

8、联考）如图，一次函数的图象经过A,B两点，则的解集是（ ）.A. B. C. D. 【解析】根据一次函数直线特殊点坐标，求出直线位于轴上方的部分，即可求解. 解：由图象可知，直线过点A（-3,0），B（0，2） 要使，即 故选C. 【例5】已知如图，一次函数的图象与轴交于点M，则点M的横坐标_.（1） 若，则当时，_0；当时，_0；（2） 若，则当时，_0；当时，_0；【解析】根据函数图象，与轴交点坐标，及为当时，求出方程的解即可解：由函数图象可知，当时，即 ，故（1） 若，则当时，；当时，；（2） 若，则当时，；当时，总结： 利用一次函数直线与轴的交点坐标，即可求出与0的大小关系.练9已知直

9、线和，若它们的交点在第四象限内，求的取值范围.【解析】可以根据已知条件列出方程组解题 解：依题意有则解得因为两条直线的交点在第四象限内，即的取值范围是练10已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式【解析】由点在直线上，可以得到一个关于的方程，再求出直线与两坐标轴的交点坐标，由三角形面积为可列出第二个方程，由两个方程组成的方程组可以解出的值 解：直线过点，直线与轴、轴的交点坐标分别为（O为原点），由和组成的方程组解得， 则所求直线的解析式为或4. 实际应用题【例6】一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，每分钟的进

10、水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的关系如图所示.（1） 求时随变化的函数关系式.（2） 求时随变化的函数关系式.（3） 每分钟进水、出水各多少升？【解析】根据容器内每分钟水量=进水量-出水量建立关系式，再根据前4分钟只有进水，即可得到进水的函数关系式，结合图象特殊点坐标，即可求解解：由函数图象可知，（1）当时，直线过点（0,0）、（4,20）；（2）当时，直线过点（4,20）、（12,30） （3）每分钟进水量=L；每分钟出水量=L. 练11如图，某公司专销A产品，第一批A产品上市40天内全部售完，该公司对第一批A产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调

11、查结果如图所示，其中甲图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件A产品的销售利润与上市时间的关系.（1） 试写出第一批A产品的市场日销售量与上市时间的关系式：（2） 第一批A产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？【解析】根据图象特殊点坐标，对应的变化范围建立函数关系式，即可求解解：（1）由甲图可知，图象过点（30，6） 第一批A产品的市场日销售量与上市时间的关系式为： 当时，当时， （2）结合甲、乙两图可知， 日销售利润=日销售量×每件产品销售利润 当时，（万元）. 练12（2015春德州市期中）某商场计划投入一笔资金购一批紧

12、销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓库储存费用700元，请根据商场投资情况，分析如何购销获利较多？.【解析】根据题意建立一次函数关系式，再采用数形结合法，即可求解解：设商场投资元，月初出售获利： 月末出售获利：在直角坐标系中画出两个函数的图象：两图象的交点坐标 为 (20000，5300)方程组的 的解是由图象可知：当时，选择在月初出售；当 时，两种方式任意选；当时，选择在月末出售.1若一次函数中，的取值为，则的取值范围是_；若的取值为，则的取值范围是_2一次函数y=kx+3，当x减少2时

13、，y的值增加6，则此函数的解析式为_.3已知直线y=kx+3和y=3x+p交于(-)，则k=_,p=_4用作图象的方法解方程组 5. 已知：如图，y13xb和y2ax3的图象交于点P(2， 5)， 则3xbax3的解集是_.1.已知直线y=kx与直线y=-平行，则k=_2. 直线y=(3k-2)x+b-12与y=kx-3-2b重合，则k=_，b=_3一次函数y=mx+n(m0)的图象过点(-2，3)，且m：n=2：3，那么这个图象的函数解析式为_4两个函数y1=2x+1和y2=4x-7，当x_时，y2y15. 用作图象的方法解方程组.6如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-3，0）

14、，（0，3）一次函数图象上的两点P，Q在直线AB的同侧，且直线PQ与y轴交点在y轴正半轴上，若QAB的面积都等于3，求这个一次函数的解析式参考答案：当堂检测1-y0-1x5分析：由题意得x=，所以-22，解得-y0，同理，由-44得-1x52答案：y=-3x+3分析：函数y=kx+3经过点(0，3)，又因为x减2时y的值增加6，故该一次函数还经过点（-2，9），把（-2，9）代入y=kx+3得k=-3，所以解析式为y=-3x+33答案：分析：把（-）代入两个解析式，得k=4答案：.5. 答案：家庭作业1. -.2. 13分析：两直线重合，即两直线为同一条直线，所以有.3. 答案：y=-6x-9. 分析：把点（-2，3）代入y=mx+n得-2mm+n=3，又因为m：n=2：3，解得m=-6，n=-9，故解析式为y=-6x-94. 答案：x4分析：由y2y1得4x-72x+1，解得x45. 答案：6. 解析：三