在空气阻力下的抛物运动

1、在空氟阻力下的抛物建勤空锯:阻力一般物醴在空氟中逋勤所受的阻力大小大略典物H封空氟相封速度平方成正比，方向JW典相封速度方向相反，因此阻力可表示悬：f=-D|v|v其中v悬物H封空氟的相封速度，如果空氟悬静止，v就是物醴的速度；式中的H虢表示阻力典速度方向相反。常v悬正畤，|v|v悬正；常v|v|v悬A（若嘉成v2刖始正）。上式中的D可表示悬：ECA2其中自悬空氟密度，在常温常J1下余勺悬1.2kg/m3；A悬物醴面封逋勤方向上的截面稹（cross-sectionalarea,常物I1以敕大的截面稹面朝向逋S&方向畤，所受的阻力敕大,反之JW敕小；CJW是一他I典物醴形状、表面粗糙度、空氟黏性

2、、等因素相信制的瓢因次阻力彳系数（resistancecoefficient）。下表所列悬一些优兄下的阻力彳系数值。光滑圄球棒球圄柱BW人檄翼汽电0.50.31.21.10.90.010.4常物醴在静止空氟中做抛物逋勤畤，在水平（x）典4&垂（y,朝上悬正）方向的牛第二定律方程式分别悬：max=fx=一Dx|vx|vxmay=fy-g-Dy|vy|vy-mg或ax-2|vx|vx（1）m-Dyay=-|vy|vy-g（2）m其中ax典ay分别悬物醴在雨他方向上的加速度；m悬物量；vx典vy分别悬物醴在雨他方向上的逋勤速度，g悬重力加速度。由於物醴面封雨（0方向的截面稹可能不同，故分别以Dx典D

3、yK别。考一他I在静止空氟中做抛物逋勤的圄球，圄球密度悬P,半彳至悬r,物H瓢谪面封任何方向的截面稹都是A2A二二r於是D =Dx =Dy7aC 二r225而物醴的U量可由H稹V=4河3/3得代入式(1)典(2)可得：Dax=一-MMmD,ay=|Vy|Vygmg1然适槿逋勤不是等加速度逋勤，因悬加速度曾随速度的大小而改建。所以一般等加速度逋勤方程式都不逾用在造槿状况下。但我伸耳遢是可以利用等加速度逋勤方程式解决道(0曲题。近似解法如果在一段相常短由t到t+&的畤段内(意思就是N很小)，ax典ay化不太大，我伸号可以符原来的加速度方程式稍加修改：Vx(t：t)=Vx(t)ax(t)4=Vx(t

4、)-|Vx(t)|Vx(t)：tmVy(t:t)=Vy(t)ay(t)t=Vy(t)-|Vy(t)|Vy(t)gt(6),m12D212y t t ：.-y t Vy t t -ay t txtxtvxtt/vxtLxtvxtt一诟1vxtMtt=y(t)+Vy(t/-1|-m|Vy(t)1Vy(t广gt2(8)上面黑他I式子的基本理念如下：1. 用t至Ut+N畤段Hlg的位置x(t)典y(t)做悬起始位置。2. 用t到t+N畤段的速度vKt)典Vy做悬起始速度。3. 用t到t+At畤段HIM的速度Vx(t)典Vy(t)言十算阻力典加速度ax(t)典ay(t)o4. 用t到t+N畤段US(的加

5、速度ax(t)典ay(t)做悬整他畤段的等加速度值(只是他近似值，如果At很小的1舌，加速度值在道他畤段内不曾建化太多)。此外我伸心1需要知道BI球在t=0畤的位置x(0)=x0,y(0)=yo以及速度vx(0)=Vx0=v0cos%,vy(0)=Vy0=VOSinQo，其中00悬射角。以一他轮例做明:空氟密度Pa：31.2kg/m阻力彳系数C:0.3圄球密度P：32000kg/mBI球半彳至r：0.025m畤距&：0.01s(希望黄J小)初速V0：50m/s重力加速度g:cc，29.8m/s射角以40度起始位置(x0,y0):(0,0)m道差不多是一他棒球被擎出的状况。先符彳爰面曾用到的参数

6、算好:Bl球截面稹A:=仃2=0.0252n=0.001963m2D:22PaCnr1.2X0.3X0.025,=-=3.534x10kg/mBl球H稹V：4叮34元0.0253C一一c3=6.545父10m33BI球量m：=PV=2000X6.545黑10=0.1309kgD/m：_4-13.53410/0.1309=0.0027m水平初速V0x：v0cos60=50cos40-=38.30m/s垂直初速V0y：v0sin80=50sin40-=32.14m/s造些资料宵咻I彳爰，就可以逐步言十算:t=0日寺在起始畤，所有僚件均已给定，所以：x(0)=X0=0my(0)=y0=0mvx(0)

7、=v0x=38.30m/sVy(0)=V0y=32.14m/s有了速度彳爰，加速度便可利用式(3)典(4)言十算：ax0=-D|vx|vx=-0.0027|38.30|38.30=-3.961m/s2mcD2ay0=|vy|vyg-0.0027|32.14|32.149.8-12.59m/smt=0.01S日寺利用式(5)典(6)求得：vx(0.01)=vx(0)ax(0).=t=38.30-3.9610.01=38.26m/svy(0.01)=vy(0)ay(0).：t=32.14-12.590.01=32.01m/s利用式(7)典(8)求得：x0.01)=x0vx0：tax(0)：t2/2

8、-38.300.01-3.9610.012/2=0.3828m2_.2y0.01y0vy0：tay0t2/2=32.140.01-12.590.012/2=0.3208m接著利用式(3)典(4)求得t=0.01s畤的加速度，以提供次一他畤(t=0.02s)言十算使用:2ax0.01=-0.0027|38.26|38.26=3.953m/s22ay0.01)=-0.0027|32.01|32.01-9.8-12.57m/s2t=0.02s以接依前述方法，每隔0.01s言十算一次，最彳爰你就曾得到位置、速度典加速度封畤的信割系。使用Excel你或if天呀！照适檬算下去要算到什麽畤候才能重出一他抛物

9、to亦y值以散佛IB所出的to亦H。工作表中的言十算遢包括不考ft空氟阻力的雨槿算法做悬比敕：一槿是粹套抛物逋勤公式；另一槿方法也是使用前述逐步言十算的方法，但不加入空氟阻力相的造雨槿结果所出的抛物woMKg重叠。道槿逐步言十算的近似方式在数孥上哪唯方法（numericalmethod）,因悬它的结果必然是数字，不是代数公式。如果物ft不是圄球呢？前面的例子是金性寸最曾罩的圄球形物瓢谪在任何方向截面稹都相同。若是像硝弹或来械之I的物遢必i（知道每（0畤的方向，因悬道曾影簪不同方向的空氟阻力。道（0曲!涉及更高深的航空S&力孥（aerodynamic9知言法,根携（物醴四周的屋力分布言十算物醴的

10、指向。微粒在空条:中的建勤小微粒（直彳至在数微米或10-6m左右）在空氟中所受的阻力又典一般物H不同。它伸号所受的阻力典速度成正比：f-6二rv其中口悬空氟黏滞K系数（viscosity）,在常温常!下余勺悬1.8父10-4N-s/m2。小微粒的空氟阻力主要乘自於空氟在微粒表面的摩擦；但一般物醴空氟阻力主要来自於封其所造成的窗L流（因此生前彳爰屋力差），所以阻力公式不一檬。或那午你曾想用前面的近似言十算法来言十算微粒的40亦，但你曾樊琪行不通，因悬言十算黑他步骤彳爰数字就曾大到相常不合理的值（彝散）。迨是因悬微粒的II量太小（典r的三次方成正比），虽隹然微粒所受的阻力也很小（典r成正比），但减小的超势速低於U量，因此算出来的加速值都超大（可以高连1010