经典随机序的细化与不完全信息博弈的比较静态分析

1、经典随机序的细化与不完全信息博弈的比较静态分析       经典随机序的细化与不完全信息博弈的比较静态分析*龙永红内容提要:经典随机序的概念产生于风险和不确定性环境中的决策问题，它在经济学和金融学许多领域有着广泛的应用，然而在一些具体领域，即使是较强的随机占优一阶随机占优，有可能不能导出明确的结论，人们于是考虑对经典的随机占优关系进行细化。本文主要对近年来有关博弈论文献中所提出的对经典的一阶和二阶随机占优的细化的随机序以及各随机序之间的相互关系进行归纳、梳理和评述，然后以拍卖为例说明了这些随机序在不完全信息博弈中的应用。针对对称独立私

2、人价值一级价格拍卖，我们给出了两个比较静态分析结果。      关键词:随机序一级价格拍卖均衡策略比较静态    *龙永红，武汉大学高级研究中心，中国人民大学信息学院，邮政编码:100872，电子信箱:longyhruceducn。作者感谢匿名审稿人的评论意见，文责自负。    一、引言    虽然人类开展拍卖实践的历史悠久，然而进入经济学文献只是最近几十年的事。1961年，Vickrey首次利用博弈论处理拍卖问题，开拍卖理论研究之先河，并得到著名的收入等价定理。拍

3、卖作为一类典型的可实施的市场机制，为人们考虑机制设计提供了很好的研究范本。在Vickrey(1961)的现在被称作标准拍卖的结果中，使用了三个基本假设:风险中性，独立的私人信息，私人价值同分布(即对称性)。在上世纪70年代末和80年代初开始，拍卖理论研究进入了繁荣时期，许多人的研究集中在标准拍卖的扩展上，总体上来讲，研究主要围绕着等价收入原理所要求的假设不满足所造成的影响来展开的。到目前为止，研究成果特别是单物品拍卖理论的研究成果已相当丰富。然而，除少量专门讨论风险偏好对等价收入原理的影响外(Long，2003a，2003b;龙永红，2009)，绝大部分文献以及最核心的结果均在假设竞价者风险中

4、性的条件下给出的。    除风险偏好外，决定竞价行为的另一个个体特征是竞价者对拍卖品的偏好或评估，它体现为竞价者为拍卖品所设置的保留价格，通常称为竞价者价值。直观上，一个竞价者具有越高的价值，在与其他竞价者相互竞争中，为了获得拍卖品具有越高的出价空间，也就是说具有越高的竞争力。在不完全信息下，如果竞价者普遍以越大的概率给与拍卖品的更高的估价，在竞价者相互的竞争中，人们普遍在更高的出价下仍然有利可图，并且预期到这一点，人们也只有在出更高的价格时才能保证以较大的概率赢得拍卖。这种相互博弈的均衡中，体现了外在竞价者的价值分布是实际拍卖竞争中竞争性的一个重要来源。另一个人

5、们较早意识到反映拍卖中的竞争性的因素是参加拍卖的人数，在其他因素不变的情况下，参与竞价的人数越多会导致竞争性越强。    关于价值分布对均衡行为的影响的研究并不多见，经典文献是MaskinRiley(2000a)对竞价者风险中性的非对称独立私人值一级价格拍卖的均衡性质的讨论。他们证明了具有不同价值分布1472011年增2期的竞价者，在其价值分布逆险率意义下，“弱者”比“强者”出价更积极。这一结论导致对一级价格拍卖与二级价格拍卖收入比较的后果是:相对于二级价格拍卖总是将拍卖品出售给价值最高的竞价者，在一级价格拍卖中，拍卖者通过价格歧视从拍卖品出售给弱的竞价者来获得好

6、处。因而在除对称性外的等价收入原理所有假设满足的情况下，一级价格拍卖可以使得拍卖者获得比二级价格拍卖更高的期望利润，尽管它不如二级价格配置有效。同时，MaskinRiley(2000a)还在非常一般的意义下证明了强的买者更偏好二级价格拍卖，而弱的买者更偏好一级价格拍卖。自然的问题是:在价值分布对称情形中，价值分布所描述的竞争力对均衡行为影响的比较静态性质如何?本文在对称独立私人价值一级价格拍卖框架下，讨论允许竞价者具有风险偏好情况下竞价者的价值分布对竞价行为及均衡的影响。在此基础上，后续的研究可讨论其他特征，比如竞争性和风险偏好对收入的影响、不同拍卖方式之间的比较，以及考虑其他因素和限制后相应

7、影响的变化等。    描述分布的变化的基本方式是随机序。随机序经过几十年的发展已广泛应用于概率论与数理统计的各分支领域及其相关领域，如可靠性、排队论、生存分析、经济学、保险、精算、金融学、运筹学、管理科学。ShakedShanthikumar(2007)的著作Stochastic Orders对随机序的发展给予了较为全面的总结，然而随机序过去的研究本质上限于不确定性与风险环境中的决策问题。现代经济学近二十年来的发展突出的特点是研究信息不对称环境下经济中个体的(互动)行为及其对经济的后果，随机序在博弈中的应用却研究不多，这与经济学的发展潮流显然是不相适应的。本文从研

8、究对称独立私人价值拍卖的比较静态分析的要求出发，阐述了随机序在不完全信息博弈中的应用。    我们将看到即使是最强的经典随机序，如一阶随机占优和二阶随机占优，也不能导出明确的比较静态分析结果。因此，首先本文从不完全信息博弈的研究角度出发系统梳理和总结近年来博弈论文献中所使用的和新引入的随机序，并对各随机序之间的相互关系进行了完整的概括，还通过评述给出了经典随机序细化的出发点和基本思路，为进一步研究提供了启示。通过拍卖这一典型的不完全信息博弈问题，为随机序的研究和应用展现了崭新的领域和方向。    二、经典的随机序  

9、;  经典随机序的概念产生于风险和不确定性环境中的决策问题。这类问题的本质是，人们企图在一系列可供选择的随机支付中寻找自己最满意的随机支付。这就涉及一个最基本问题:不同随机支付之间的比较。对于特定个体而言，这一比较(偏好序)往往可以用所谓的期望效用来刻画。    然而为了得到不同随机支付的某些特征，我们希望有一个不依赖于特定个体的比较关系，尽管这一比较关系可能不是一个全序关系。    两个最常见的随机序是:一阶随机占优和二阶随机占优。设两个随机变量ZA和ZB，其分布函数分别为FA和FB，两种随机占优分别定义为:一阶随机占优:

10、称ZA一阶随机占优于ZB，或FA一阶随机占优于FB，记作ZA±FSDZB，或者FA±FSDFB，如果FA(z)FB(z)，对一切z(1)二阶随机占优:称ZA二阶随机占优于ZB，或FA二阶随机占优于FB，记作ZA±SSDZB，或者FA±SSDFB，如果zFA(x)dxzFB(x)dx，对一切z(2)一阶随机占优是一个较强的序关系，其含义是:对任意给定的水平z，ZA高于这一水平的概率大于ZB高于这一水平的概率。也就是说，依分布的意义下，ZA比ZB有更高的取值水平。这一含义可以由下列等价条件更明确地表示。    148 

11、   龙永红:经典随机序的细化与不完全信息博弈的比较静态分析命题1:ZA±FSDZB当且仅当存在非负的随机变量使得ZA=dZB+(3)其中=d表示依分布相等。一阶随机占优的这一基于收益水平高低的含义，也可以通过关注支付水平高低的那些个体的共同偏好关系来给予刻画。对于两个随机支付ZA和ZB，一方面，如果ZA±FSDZB，那么，所有不知足的个体更偏好ZA;反过来，如果所有不知足的个体都更偏好ZA，那么，必有ZA±FSDZB。正式地，有下列命题:命题2:ZA±FSDZB当且仅当对一切单调递增的效用函数u，有Eu(ZA)Eu(ZB)(4)二阶

12、随机占优是比一阶随机占优弱的序关系，事实上，一阶随机占优可导出二阶随机占优。从含义上，二阶随机占优不单从支付水平上来衡量，还要考虑支付的风险状况，这一含义可以通过那些不知足且厌恶风险的个体的共同偏好关系来刻画。相应地，与命题1和命题2对照，关于二阶随机占优有下列命题:命题3:ZA±SSDZB当且仅当存在随机变量使得ZB=dZA+，其中E|ZA0(5)命题4:ZA±SSDZB当且仅当对一切单调递增的凹效用函数u，有Eu(ZA)Eu(ZB(6)从分布函数的特征来看，一阶随机占优不允许分布函数交叉，这样的随机序称为单调序;二阶随机序则允许分布函数发生交叉，甚至可以多次交叉。特别地

13、，对单个交叉情形，我们有二阶随机占优的一个充分条件。    命题5:假设EZ    AEZB，而且存在实数c，当zc时，FA(z)FB(z);当zc时，FA(z)FB(z)，则ZA±SSDZB。    三、一阶随机占优的细化    随机占优关系在许多领域有着广泛的应用，然而在一些具体领域，即使是较强的随机占优一阶随机占优有可能不能导出明确的结论，人们于是考虑对经典的随机占优关系进行细化(ShakedShanthikumar，2007)。本节先讨论一阶随机占优的细化，

14、也就是说这里的随机序主要涉及的是随机支付水平的高低，并不涉及风险状况。为了方便起见，我们假设ZA和ZB均有有限的均值，分布函数FA和FB的支撑为z，珋z，0z珋z，假设FA和FB在该支撑集上是二阶连续可微的，且密度函数fA和fB在该支撑集上是严格正的。    1单调似然比序(Monotone Likelihood Ratio(MLR)Order)定义1:分布函数FA和FB称为满足单调似然比序，记作FAMLRFB，如果它们的密度比L(z)=fA(z)fB(z)是严格增的。    这一序关系由Milgrom(1981)引入到信息经济学中，

15、Athey(2002)利用MLR序得到了不完全信息博弈中的单调比较静态关系。    2致险率(或失效率)占优(Hazard Rate Dominance)定义2:称分布函数FA致险率占优于FB，记作FAHRDFB，如果对一切zz，珋z)，有A(z)B(z)，其中A(z)，B(z)分别为FA和FB的致险率，即A(z)fA(z)1FA(z)。    3单调概率比序(Monotone Probability Ratio(MPR)Order)1492011年增2期定义3:分布函数FA和FB称为满足单调概率比序，记作FAMPRFB，如果对一切z

16、(z，珋z，概率比P(z)=FA(z)FB(z)是严格增的。    也就是说，对(z，珋z中的任意xy，有FA(x)FB(x)FA(y)FB(y)(7)易知，这等价于对一切z(z，珋z，A(z)=fA(z)FA(z)fB(z)FB(z)=B(z)(8)比率(z)在统计学上被称为“逆险率”(Reverse Hazard Rate)，因而MPR也称为逆险率占优(如Shaked and Shanthikumar，1994)。MPR分别独立地由EeckhoudtGollier(1995)在考虑不确定性决策，Lebrun(1998)和MaskinRiley(2000a)考虑

17、一级价格拍卖时引入到经济学中。在MaskinRiley(2000a)的版本中将这一随机序称为“条件随机占优”，这是因为重排式(7)可得:对(z，珋z中的任意xy，有P(ZAx|ZAy)=FA(x)FA(x)FB(x)FB(y)=P(ZBx|ZBy)(9)上述三个随机序之所以称为一阶随机占优的细化，是因为它们都能导出一阶随机占优。事实上，这些随机序以及一阶随机占优有下列关系:四、二阶随机占优的细化正如前面分析的，在一些不同领域，为导出明确的结论，需对一阶随机占优进行细化。然而，一阶随机占有的细化，局限于在分布意义下取值水平高低的比较，不涉及到取值的分散程度，从而将许多有趣的情形排除在外，比如在保

18、均值的分布类中分散的影响。分散在经济学中通常用来衡量风险，有时也有其他含义，比如，在福利经济学中可以用来衡量收入和财富的不平等;在竞争经济学中，用来衡量竞争性程度等。考虑分散的经典随机序就是二阶随机占优，然而在许多具体的领域里二阶随机占优不能导出明确的结论，因此类似一阶随机占优需要细化一样二阶随机占优也需要细150龙永红:经典随机序的细化与不完全信息博弈的比较静态分析化。通过细化，我们既可以将一阶随机占优作为其特例，还可以包含那些是二阶随机占优但不是一阶随机占优的情形。事实上，命题5提供了二阶随机占优的一个直接的细化，这就是所谓单一交叉序。    1单一交叉序(S

19、ingle-Crossing(SC)Order)定义4:分布函数FA和FB称为满足单一交叉序，记作FASCFB，如果EZAEZB，而且存在实数c，当zc时，FA(z)FB(z);当zc时，FA(z)FB(z)。    命题5证明了单一交叉序是二阶随机占优的，另一方面，容易看出二阶随机占优允许分布函数有多个交叉，因而不必是单一交叉序，说明单一交叉序是二阶随机占优的真细化。虽然这一细化是直接的，一方面将一阶随机序不允许交叉放宽到允许交叉，另一方面它加强了二阶随机占优的条件，只允许一个交叉，这为得到其他细化提供了启示。下面的各细化序正是在放宽一阶随机占优的细化的基础上得

20、到的，其基本思路是将前一节中的单调序放宽到允许单峰的情形。    定义5:一个函数f(z)称为单峰的，如果存在z，当zz时，f(z)严格递增;当zz时，f(z)严格递减。    一个大家熟知的结论是:所有对数凹的函数是单峰的。    2单峰似然比序(Unimodal Likelihood Ratio(ULR)Order)定义6:分布函数FA和FB称为满足单峰似然比序，记作FAULRFB，如果EZAEZB而且似然比L(z)=fA(z)fB(Z)是单峰的。    这一随机序最早由

21、Ramos et al(2000)引入。显然，如果L(z)是对数凹，即logL(z)是凹的，且EZAEZB，则FAULRFB。此外，唯一的峰值在支撑集的上限珋z达到时，我们便得到单调似然比序作为其特例。    3单峰概率比序(Unimodal Probability Ratio(UPR)Order)定义7:分布函数FA和FB称为满足单峰概率比序，记作FAUPRFB，如果EZAEZB，而且分布函数比P(z)=FA(z)FB(z)是单峰的。    与似然比情形一样，如果P(z)是对数凹，即logP(z)是凹的，且EZAEZB，则FAUPB

22、FB。    此外，唯一的峰值在支撑集的上限珋z达到时，我们便得到单调概率比序作为其特例。    4单调累计概率比序(Monotone Cumulative Probability Ratio(MCR)Order)定义8:分布函数FA和FB称为满足单调累积概率比序，记作FAMCRFB，如果累积概率比C(z)=zzFA(x)dxzzFB(x)dx(10)在(z，珋z)上严格递增。    这一随机序是由HopkinsKornienko(2003)和Long(2009)独立引入的，在Long(2009)的版本中

23、使用的是其等价定义:对一切z(z，珋z)，有zzFA(x)dxFA(x)zzFB(x)dxFB(x)(11)并将这一关系与逆险率占优比较，同时通过与一阶随机占优与二阶随机占优形式上的类比，继而将这一序关系称为二阶逆险率占优。    接下来，我们给出这些随机序及其与二阶随机序之间的关系。    151    2011年增2期五、对称独立私人价值一级价格拍卖的比较静态本节开始我们将展示如何将分布的随机序应用于不完全信息博弈的比较静态分析，作为不完全信息博弈的典型代表拍卖为我们提供了基本的分析框架。我们这里主要

24、讨论拍卖，其分析方法适用于许多其他重要的博弈，如垄断博弈、信号博弈等。为简单起见，我们考虑对称独立私人价值一级价格拍卖。所有竞价者将自己的出价密封上报给拍卖者，递交最高出价的竞价者将赢得拍卖品，支付的价格是他自己的报价。我们将分析在适当的随机序意义下竞价者价值分布的变化对竞价者行为及博弈均衡的影响。    1基本模型    假设有n2个竞价者竞买一个单位的不可分的物品，每个竞价者对物品的估价是一个私人价值，即每个竞价者的信息不影响其他竞价者的偏好。正式地说，每个竞价者知道自己对物品的估值vi，不知道其他竞价者的估值，但知道其他竞价者的

25、估值相互独立都服从一个已知的共同的分布F。在一级价格拍卖中，每个竞价者同时提交一个出价，最高出价者赢得拍卖品，并支付其提交的出价。    假设F的支撑为z，珋z，0z珋z在该支撑集上是二阶连续可微的，且密度函数f在支撑集上是严格正的。每个个体的von Newmann-Morgenstenstern效用函数为U(·)，假设U(·)是严格增的凹函数，U(0)=0。于是一个估值为z，出价为x的竞价者在赢得拍卖品时获得的报酬为U(zx)，否则报酬为0。    假设所有竞价者采用同一个递增的可微的策略x(z)，那么一个估值为

26、z的竞价者，如果出价为x(z)，即按照估值为z出价，那么他的期望效用为:V(x(z，z，zi)=Fn1(z)U(zx(z)(12)关于z求导，并取z=z得一阶条件x'(z)=(n1)f(z)U(zx)F(z)U'(zx)=(n1)(z)(x，z)(13)其中(z)=f(z)F(z)为逆险率函数，(x，z)=U(zx)U'(zx)。    命题6:MaskinRiley(2000b，2003)微分方程(13)满足初始条件x(z)=z的唯一解是一级价格拍卖的一个对称均衡，而且在(z，珋z上唯一。    2单调比较静

27、态关系    在比较静态中，我们企图考察分布函数的变化对均衡出价的影响，而所谓单调比较静态，则企图寻找合适随机序以便能够导出一个一致的更为积极的出价。具体而言，假设在两个一级价格拍卖中，其他条件相同，但价值分布分别为分布函数FA和FB。为简单起见，假设其支撑均为z，珋z，0z珋z，假设FA和FB在该支撑集上是二阶连续可微的，且密度函数fA和fB在该支撑集上是严格正的。我们关心的是FA和FB满足何种序关系时能够导致相应的均衡出价满足:对一切z(z，珋z)，xA(z)xB(z)。    拍卖理论的经典结果，大多假设竞价者是风险中性的，许多

28、后续研究延续这一假设。为了获得152龙永红:经典随机序的细化与不完全信息博弈的比较静态分析讨论的起点，我们首先也考察最简单的情形风险中性的情形。    在风险中性情形，每个竞价者拥有线性的效用函数，于是微分方程(13)的解为:x(z)=z珋ztdG(t)G(z)=zz珋ztdG(t)dtG(z)=EY|Yz(14)其中G(z)=Fn1(z)，Y是服从分布G的随机变量，即n1个相互独立服从分布F的随机变量的最大顺序统计量。于是一个显然的比较静态结果是:命题7:在风险中性情形，对一切z(z，珋z)，xA(z)xB(z)，当且仅当GAMCRGB。  

29、  根据这一结论，我们认识到:(1)在一般情形要得到单调的比较静态结果，累积概率比序已经是最弱的序关系条件，不能再改进;(2)尽管累积概率比序涉及到分布的分散性，但由于在风险中性下，竞价者者并不关心分散的程度，因而仍然能得到单调的比较静态结果;(3)当考虑竞价者具有风险偏好时，要导出单调比较静态需要更强的序关系条件，特别地需要反映取值水平高低的序条件，这样的序条件来自于一阶随机占优的细化，因而这些条件必然是风险中性情形单调比较静态结果的充分条件而非必要条件。    注意到G    AMPRGB可以导出GAMCRGB，而前者又

30、等价于FAMPRFB，因而有:推论1:在风险中性情形，如果FAMPRFB，则对一切z(z，珋z)，xA(z)xB(z)。    接下来讨论允许竞价者具有风险偏好的情形。Long(2009)讨论了允许竞价者具有对数凹的效用函数的情形，结论表明单调概率比序仍然是保证单调比较静态的充分条件。    命题8:设竞价者具有相同的严格增的对数凹的效用函数，如果FAMPR FB，则对一切z(z，珋z)，xA(z)xB(z)。    对数凹效用函数扩展了凹效用函数，从而允许竞价者非风险厌恶的情形，这一点的重要性在于它在一

31、定程度上反映一阶随机占优只涉及取值高低的含义。Athey(2002)证明了在凹效用函数情形，单调似然比序是保证单调比较静态的充分条件;由于单调似然比序可以导出单调概率比序(即逆险率占优)，因而它可视为命题8的特例。这一结果的基本含义是，在逆险率占优意义下，当竞价者的分布越强时，每个竞价者均衡出价会越积极;直观上，一个竞价者具有越高的价值，在与其他竞价者相互竞争中，为了获得拍卖品具有越高的出价空间，也就是说具有越高的竞争力。在不完全信息下，如果竞价者普遍以越大的概率给予拍卖品更高的估价，在竞价者相互的竞争中，人们普遍在更高的出价下仍然有利可图，并且预期到这一点，人们也只有在出更高的价格时才能保证

32、以较大的概率赢得拍卖，最终导致均衡出价会更积极。    3非单调比较静态    非单调的比较静态来自于我们考虑价值分布的另一类变化:价值分布变得更加集中，对私人价值拍卖而言，这意味着竞价者群体更加同质化;对公共价值拍卖而言这意味着所有参加者获得关于拍卖品价值的更精确的信息。一个直观的看法是这会导致竞价者的出价更具有竞争性，KagelLevin(1986)通过特殊的函数形式证实了这一看法。然而在一般情况下，它是否正确?HopkinsKornienko(2003)给出了回答:命题9:如果FAUPR FB，则要么对一切z(z，珋z)，xA(

33、z)xB(z)，要么存在一点z*，z*argmaxP(z)，使得xA(z*)=xB(z*)，且对一切z(z，z*)，xA(z)xB(z);对一切z(z*，珋z)，xA(z)xB(z)。    命题9表明，KagelLevin(1986)通过特殊的函数形式证实的价值分布越集中导致竞价者的出价更具有竞争性的直观看法，并不具有普遍性。因为事实上命题9表明，随着分布集中，可能存在某个值，那些相对较低价值的竞价者出价会更积极，而那些相对高价值的竞价者可能会出价更消1532011年增2期极。直观上价值相对较低的竞价者预期到对手有较集中的较高的价值，因而为了提高赢得拍卖的概率会

34、更积极地出价，而价值相对较高的竞价者预期对手有较集中的较低的价值，从而为了获得拍卖的收益会压低出价，即出价更消极。命题9指出了这个决定更消极还是更积极出价的临界价值处在大于概率比的单峰的位置，但没有指出具体位置和存在性。KagelLevin(1986)特殊的函数形式构造的例子正好属于不存在这一临界值的情形。    参考文献    龙永红，2009:竞争性、风险偏好与竞价行为，武汉大学博士论文。    Athey，S，2002，“Monotone Comparative Statics under Unce

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