第八章边界层

1、第八章边界层当当6100 001UlRe , l.22( ) xxUx边界层内流态边界层内流态实验表明平板边界层内实验表明平板边界层内层流向湍流转层流向湍流转捩捩的下临的下临界当地雷诺数约为界当地雷诺数约为53.2 10 xcrRe( ) xxU边界层厚度增长边界层厚度增长(当地雷诺数当地雷诺数 ）xReUx/名义厚度名义厚度 边界层厚度边界层厚度定义为速度达外流速度定义为速度达外流速度99%的厚度。的厚度。位移厚度位移厚度* * Ux0 . 5对平板层流边界层对平板层流边界层 将均流将均流U流过平板的无粘流与粘性流体作比较，边界层使流过平板的无粘流与粘性流体作比较，边界层使厚度为厚度为* 的

2、无粘流的质量流量亏损了的无粘流的质量流量亏损了0d*U(Uu ) y 01d*u() yU 边界层厚度为边界层厚度为的无粘流的的无粘流的动量流量亏损了动量流量亏损了动量厚度动量厚度 对同一边界层流动，动量厚对同一边界层流动，动量厚度总是小于位移厚度的。度总是小于位移厚度的。()d0U Uu Uuy(1)d0uuyUU 例例1 1 边界层位移厚度与动量厚度边界层位移厚度与动量厚度 上式中上式中y为垂直坐标，为垂直坐标，为边界层名义厚度。为边界层名义厚度。 已知已知: : 设边界层内速度分布为设边界层内速度分布为 sin( )2yUyu yUy求：求： (1)位移厚度位移厚度* ; ;(2)动量厚

3、度动量厚度.(.(均用均用表示表示) ) 20002(1)dsin1 sin)d(sinsin)d()2222uuyyyyyy(yUU2-0022112221(-cos(sin)()0.136622 2442yyy) (2) 按动量厚度的定义按动量厚度的定义(1) 按位移厚度的定义按位移厚度的定义0002y2(1)d(1 sin)d(cos0 36322*uyyyy).U-解：按速度分布式解：按速度分布式, ,u(0) = 0 , u()=U , ,符合边界层流动特点。符合边界层流动特点。 二维流动无量纲方程组为二维流动无量纲方程组为8.8 普朗特边界层方程普朗特边界层方程忽略第二方程最后一项

4、、第三方程除压强项的其他项忽略第二方程最后一项、第三方程除压强项的其他项 。0*yvxu*2*2*2*21()uupuuuvEuxyxRexy *2*2*2*21()vvpvvuvEuxyyRexy 设设*y , v *l ,在边界层内在边界层内1112* , x , u ,p , Re / , Eu 0*uvxypu , v , x , y, p .UUllp式中式中112*111111*12*1*1*11*12*可得普朗特边界层方程组可得普朗特边界层方程组第三式表明边界层内第三式表明边界层内y方向压强梯度为零，表明外部压强可穿方向压强梯度为零，表明外部压强可穿透边界层直接作用在平板上。外部

5、压强由势流决定透边界层直接作用在平板上。外部压强由势流决定22 0 0uvxyuupuuvxyxypy 第二式得到简化（第二式得到简化（x方向二阶偏导数消失），有利于数值计算。方向二阶偏导数消失），有利于数值计算。利用该式可计算壁切应力和流动阻力。利用该式可计算壁切应力和流动阻力。说明说明：ddddpUUxx 8.10 相似性解和半无穷平板层流速度边界层相似性解和半无穷平板层流速度边界层 222111,xvxgyxuxvxgyxuee xgyfxvue),(0yvxu22yuyuvxuu0,0 xy0,0vu0,xy vuLvLRe*21Lxg21xvy 211xvF 边界条件边界条件 普朗特

6、边界层方程可化为布拉修斯方程：普朗特边界层方程可化为布拉修斯方程： ufU 用无量纲流函数用无量纲流函数 表示速度分量表示速度分量u, v, 如如 f 引入无量纲坐标：引入无量纲坐标：xUyy02 fff0, 0ff,1f 由数值解绘制的无量纲速度廓线由数值解绘制的无量纲速度廓线 与尼古拉兹实验测量结果吻合。与尼古拉兹实验测量结果吻合。（一）速度边界层（一）速度边界层（布拉修斯平板边界层精确解）布拉修斯平板边界层精确解） 对布拉修斯方程较精确的求解结果列于附录对布拉修斯方程较精确的求解结果列于附录E表表FE1中。中。并按速度分布式可分别求得并按速度分布式可分别求得Ux0 . 5边界层名义厚度边

7、界层名义厚度理论结果与实验测量结果一致理论结果与实验测量结果一致按边界层名义厚度按边界层名义厚度 定义定义约约0 99.f5 0 .壁面切向力壁面切向力xUUw332. 0壁面摩擦系数壁面摩擦系数2120 664wfxU.ReC摩擦阻力系数摩擦阻力系数1.328DflCRe8.14 8.14 定常平面层流边界层动量积分关系式定常平面层流边界层动量积分关系式对平板边界层前部取控制体对平板边界层前部取控制体OABC, AB为一条流线，压强梯度为零，壁为一条流线，压强梯度为零，壁面上粘性切应力合力为面上粘性切应力合力为FD为动量厚度。对为动量厚度。对 FD求导可得求导可得由动量方程由动量方程由连续性

8、方程由连续性方程00dd,uu yUhhyU得得000dddhxDwuu yUU yFx 22200d1dDuuFU huu yUyUUU( (一）一） 边界层动量积分方程边界层动量积分方程2ddddDwFUxx2ddwUx或或（二）（二） 平板层流边界层平板层流边界层无量纲纵向坐标无量纲纵向坐标10/y无量纲速度分布无量纲速度分布 gUu速度分布边界条件速度分布边界条件 11,00gg壁面切应力壁面切应力00ddddwyUguU|y代入动量方程代入动量方程2ddddwUxxU 1001d1duuyggUU动量厚度动量厚度101dgg无量纲动量厚度无量纲动量厚度 0g无量纲壁面切应力无量纲壁面

9、切应力21xxRe2fxCRe2812DDflFCReU lb上式中上式中FD是平板总阻力，是平板总阻力，lUl Re 。表达式中表达式中 对速度廓线为直线、二次曲线、三次曲线和正弦曲线对速度廓线为直线、二次曲线、三次曲线和正弦曲线的计算结果列于表中，并与布拉修斯解对照。的计算结果列于表中，并与布拉修斯解对照。可积分得可积分得并可得并可得 ,不同速度分布具有不同的不同速度分布具有不同的值，使值，使 fDf,C ,C比例因子不同。比例因子不同。速度速度 廓线廓线 比例系数比例系数 比例系数比例系数 比例系数比例系数 直线直线 0.167 1 3.46 0.578 1.156 二次二次曲线曲线 0

10、.133 2 5.48 0.730 1.460 三次三次曲线曲线 0.139 1.5 4.64 0.646 1.292 四次四次曲线曲线 0.117 2 5.84 0.684 1.368 正弦正弦曲线曲线 0.137 1.57 4.79 0.655 1.312 精确精确 解解 0.133 5.00 0.664 1.328 表表 按近似的速度廓线计算的平板边界层动量积分结果按近似的速度廓线计算的平板边界层动量积分结果 例例2 平板层流边界层近似计算平板层流边界层近似计算(3-1) (3-1) 求：求： （1 1）沿壁面的无量纲名义厚度分布）沿壁面的无量纲名义厚度分布（x）/ x ；（2 2）在边

11、界层截）在边界层截 面上的无量纲切应力分布面上的无量纲切应力分布( (y) ) / /w，并与布拉修斯精确解作比较。并与布拉修斯精确解作比较。 已知已知: : 设无压强梯度平板定常层流边界层内速度分布为正弦曲线：设无压强梯度平板定常层流边界层内速度分布为正弦曲线： u = U sin (y/2) (0y) 解：解：（1 1）设）设=y/，g()= sin()2uU可得可得 0.136600dcos()1.57222dg得得 x4.792xUx/,xReReRe 例例2 平板层流边界层近似计算平板层流边界层近似计算(3-2) (3-2) 与此对照，布拉修斯精确解的名义厚度分布为（）式与此对照，布

12、拉修斯精确解的名义厚度分布为（）式 5.0 xxRe(2) (2) 对正弦曲线速度分布，边界层截面上的切应力分布为对正弦曲线速度分布，边界层截面上的切应力分布为 0dcos22d2wyUyuyU无量纲切应力分布为无量纲切应力分布为 对布拉修斯精确解，对布拉修斯精确解，f()= = u/ /U，切应力分布为，切应力分布为Uyxddd( )( )ddduUUfUfUf()xyyycos()2wy(a) 例例2 平板层流边界层近似计算平板层流边界层近似计算(3-3) (3-3) 0( )(0)wUUUfUfxx查附录查附录FE1FE1表，表，f(0) = 0.3321 = 0.3321，无量纲的切应

13、力分布为，无量纲的切应力分布为 查附录查附录FE1FE1表，可得不同表，可得不同对应的对应的f( () )值作图与值作图与(a)(a)式比较如图所示，在壁面式比较如图所示，在壁面附近两者的误差较小。附近两者的误差较小。 ( )0.3321wf()（三）平板湍流边界层（三）平板湍流边界层将光滑圆管湍流的结果移植到光滑平板上，速度分布用将光滑圆管湍流的结果移植到光滑平板上，速度分布用1/7幂幂次式，壁面切应力采用布拉修斯公式。取次式，壁面切应力采用布拉修斯公式。取=R=d/2,由无压强由无压强梯度平板边界层动量积分方程可得（与层流边界层对照）梯度平板边界层动量积分方程可得（与层流边界层对照）50

14、382x.xRe5 0 x.xRe4 5x1 2x50 0593fx.CRe0 664fx.CRe50 074Dfl.CRe1 328Dfl.CRe湍流边界层湍流边界层层流边界层层流边界层边界层厚度边界层厚度壁面摩擦系数壁面摩擦系数摩擦阻力系数摩擦阻力系数1. 光滑平板光滑平板粗糙平板阻力系数曲线粗糙平板阻力系数曲线2. 粗糙平板粗糙平板湍流光滑区湍流光滑区92 .5 80 . 4 5 5( Re 10 )( lgR e )D fllC湍流完全粗糙区湍流完全粗糙区2.5(1.89 1.62lg/ )DfCl 例例3 平板湍流边界层近似计算平板湍流边界层近似计算(2-1) (2-1) 求：（求：

15、（1 1）试估计平板末端边界层厚度）试估计平板末端边界层厚度T ，并与层流边界层相比较；，并与层流边界层相比较； 解：解：(1) (1) 平板绕流平板绕流Rel 数为数为 已知已知: : 一光滑平板长一光滑平板长l=0.4m=0.4m，置于速度为，置于速度为U=3m=3m/ /s s的水流中，水的密度为的水流中，水的密度为 =1000kg=1000kg/ /m m3 3，运动粘度系数为，运动粘度系数为=0.01cm=0.01cm2 2/s /s （2 2）按湍流光滑区计算平板单面阻力系数，并与层流区作比较；）按湍流光滑区计算平板单面阻力系数，并与层流区作比较； （3 3）按湍流完全粗糙区（粗糙

16、度）按湍流完全粗糙区（粗糙度=0.0008m=0.0008m）计算平板单面阻力）计算平板单面阻力 系数，并与层流区作比较。系数，并与层流区作比较。 6-4(3m s)(0.4m)1.2 100.01 10 m sl2/UlRe/按（）式计算湍流边界层厚度为按（）式计算湍流边界层厚度为T1/56 1/50.382(0.4m)0.3820.0093m(1.2 10 )llRe按布拉修斯精确解计算层流边界层厚度按布拉修斯精确解计算层流边界层厚度L6 1 25 0(0 4m)5.00.0018mRe(1 2 10 )1/2/l.l.可见湍流边界层的厚度约为层流边界层的可见湍流边界层的厚度约为层流边界层

17、的5.2 5.2 倍。倍。 例例3 平板湍流边界层近似计算平板湍流边界层近似计算 (2-2)(2-2)（2 2）按）按(C4.5.18)(C4.5.18)式计算或查平板阻力系数图，平板湍流光滑区阻力系数为式计算或查平板阻力系数图，平板湍流光滑区阻力系数为Df,T1 56 1 50 0740 0740 0045(1 2 10 )/l.C.Re.按按布拉修斯精确解公式计算布拉修斯精确解公式计算（3 3）按）按(C4.5.21)(C4.5.21)式计算，单面平板湍流完全粗糙区阻力系数为式计算，单面平板湍流完全粗糙区阻力系数为2 5Df,T2 5(1 89 1 62lg)1 89 1 62lg(0 0

18、008 0 4)0 01.C./l./ .与与l=0.002查粗糙平板图结果相近。可见湍流完全粗糙区的阻力系数约查粗糙平板图结果相近。可见湍流完全粗糙区的阻力系数约 为层流区的为层流区的8.5 8.5 倍。倍。 可见湍流光滑区的阻力系数为层流区的可见湍流光滑区的阻力系数为层流区的3.753.75倍倍Df,L1 26 1 21 3281 3280 0012(1 2 10 )/l.C.Re.根本原因：粘性根本原因：粘性边界层脱离壁面举例边界层脱离壁面举例：猫眼：猫眼1.分离的物理原因分离的物理原因在顺压梯度区（在顺压梯度区（BC段)：微团加速：微团加速在逆压梯度区（在逆压梯度区（CE段)： S点停止点停止分离条件：逆压梯度分离条件：逆压梯度实际发生：微团倒流实际发生：微团倒流CS段减速段