中学数学中常用的七类构造法

1、1.1 一个简单例子证明存在两个无理数，使是有理数1传统证明方法是，假设对于任何两个无理数，都有是无理数。那么就有一定是无理数，进而也是无理数，而是有理数，所以假设不成立而我们如果令，我们已知和都是无理数，此时是有理数，问题得证。上面这个问题中我们用到的第二种方法就是中学中常用的构造法。构造法的发展历史到底什么是构造法呢？构造法就是按照固定方式，经过有限步骤能够实现的方法。引用韦尔（H.Weyl）在数学的思维方式一文中的一句话“当数学家们转向抽象时，有一件最为门外汉所不能理解的事情，那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。”2这表明构造法从数学产生时就已经存在，因为数学发展所必须具备的数学符

2、号就是用来构造对象的。除此之外，数学最初的定义有很多都是构造性的定义，比如：将线段绕其一个端点在平面内旋转一周，它的另一端点所画出的图形叫圆。构造法起源于数学之初，但它的发展是在19世纪末。19世纪末，克罗内克和庞加莱基于数学的可信性，提出了“存在必须是被构造的”观点，创立了早期的直观数学学派。但是他们把直观数学推崇到极致，反对一切非构造性数学内容，搞得数学复杂难懂。随后马尔科夫提出算法数学，把一切数学概念归结为一个基本概念算法的构造性方法。但是算法数学以递归函数为基础，大部分人同样难以理解。直到1867年美国数学家比肖泊发表构造性分析一书，摆脱了算法数学对递归函数的依赖，宣告现代构造数学的形

3、成。时至今日，构造法不仅开创了组合数学、计算机科学等新领域，而且在数值分析，拓扑学领域也大有用武之地。31.3 中学数学需要数学构造法除了高等数学，现在的中学阶段对于构造法也是相当重视的。高中数学教学大纲中就明确规定了学习数学不仅包括数学内容，数学语言，更重要是数学思想、方法。 在高中数学解题过程里，我们常常会遇到无从下手、常规的方法不能快速、有效解决的问题，这时我们可以另辟蹊径，利用这种特殊的数学方法尝试解决问题构造法。运用构造法解题常常是因为我们常规思维定式探求解题思路受阻，这时我们根据题设特点，用已知元素和关系式构造一个新的数学形式，如：函数、方程、图形等，这样可以绕过阻碍，得到解题的思

4、路和方法。中学阶段应用构造法时所需要构造的新的数学形式很多，包括构造图形、构造方程、构造函数、构造数列、构造命题、构造向量类、构造特殊模型等。我们就上面七种构造形式来一一探究，熟悉构造法解题过程中运用的构造技巧，以及构造法解题的本质，对问题的化归。代数是数字和文字的组合，但是这并不代表代数和图形完全没有关系，对于一些代数的问题，我们如果能通过途径构造相应的图形，此时解题过程便十分直观、清晰。 已知求证：.4因为所以，证明：构造如图的直角三角形，根据定理，三角形两边之和大于第三边，所以，而，所以综上所述，上面这个问题因为出现了形如的式子，所以我们想到构造一个直角三角形，如果题目中没有给出这么明显

5、的唯一特征，我们能不能构造呢？正数，满足条件，求证：由求证的不等式，我们想到这是不是和面积有关，于是我们构造一个三角形，并且题干中证明：构造一个如图的等边三角形，其中各个边角的关系如下，考虑图形中的面积关系，有，又，带入，得+<,整理得：.5上面得解题方法中利用了三角形的面积公式，不等式两边的都是，所以约掉，最后化简到的形式。考虑到面积更为简单的形式可以是长方形的面积，此时我们可以构造一个矩形，又，我们不妨构造一个如图1.3的正方形.方法二，证明：构造一个如图所示的正方形PQRT，其中各边关系如下，又正方形有如下关系，带入数据得。虽然数与形是数学中不同的领域，但是这两个领域不是相互独立的

6、。解题中亦是如此，如果在数学问题中我们给一些代数关系赋予几何意义，那么问题往往变得形象、直观。当然在利用图形直观分析解决问题时，我们构造的图形也有简单复杂之分，所以构造图形时我们要注意一点，构造几何图形要有正确的思考方法，不能盲目去套用图形。从上面两个问题中我们可以简单总结一下思考原则：首先寻找题目中的条件与所求结论中的几何含义，然后考虑可以借用哪些有关的几何概念和性质，最后根据这些选择一个最好的几何图形。方程作为数学解题中一个很重要的工具，是因为方程能把未知和已知联系在一起。遇到一些无从下手的问题时，构造方程可以把条件和结论之间联系起来，使问题中隐藏的关系显露出来，从而快速找到问题的突破口，

7、进而解决问题。例2.1 若，且，求证：题干中给出的是的具体值，要求的结论是的取值范围，我们尝试由出发，有，此时出现了要求的，但是多出来了，我们不妨利用方程，把解出来,这是和显然是方程的两个根，于是题目隐藏的关系暴露出来，解题思路也由此而生。证明：由，有，显然，设，则构造二次方程，则为方程的两个实根故，解得，即 上面的过程中构造了一个方程，然后我们要求的的取值范围就变成了，二次方程有实根，解一个判别式大于等于零的不等式。例2.2 已知，满足和，求证：中至少有一个不小于2。6和例2.1中类似，我们可以通过构造方程来发现隐藏的关系。证明：由，显然中至少有个大于零，不妨设，则，构造二次方程，则为二次方

8、程的两个实根，故，即，又，解得， 上面两个问题都是通过构造二次方程，发现题目已知与结论之间的关系，然后利用二次方程的判别式解决问题。其实还有一种情况，题目中结论形式与二次方程的判别式极为相似，此时我们需要构造二次方程，从而使用二次方程的判别式。我们不妨把这类构造方程方法称作构造判别式法。例2.3 设，且，这时要求证： 这个问题我们如果直接通过不等式方法去证明，难免会有些繁琐，但是如果我们仔细思考不等式的形式，就会发现这和，即有类似之处，于是我们需要做得就是构造一个有实根的二次方程，因此解题思路就出现了。证明：构造方程因为，所以构造的方程是二次方程，又把带入发现满足方程，故为方程一实根，所以二次

9、方程判别式，代入数据，即有的时候，题干中不一定出现了判别式的形式，这时候要靠我们化简来发现构造方程的前提。例2.4 设，求证：.7由于不等式中没有出现判别式的形式，所以我们第一步需要构造一个判别式的形式，因为，所以我们在不等式两边同乘以，就出现了判别式的形式，解题思路便随之而来。证明：因为，所以有，构造方程，方程经过配方，化简为，显然方程至多有一个实根，此时，代入数据，即也就是从这两个例子中，我们看到构造判别式法其实也需要构造方程，只是这里构造二次方程有一定技巧，要结合结论要证明的不等式构造二次方程，还要确保二次方程有（或者没有）实根。无论是一般的构造方程法还是特殊的构造判别式法，我们主体思路

10、就是利用方程思想把题目中要证明的未知结论和题干中已知结合起来，如果是二次方程，一般利用判别式进行解答。函数作为中学阶段最重要的一个领域之一，是因为数学中存在大量的函数关系。如果我们研究的问题本质上属于函数关系，那么我们可以构造一个（或多个）由已知条件构成的函数模型，通过研究函数的性质，进而解决要求的结论。例3.1 求证：这是个带有绝对值的不等式，但是如果真的直接利用绝对值性质去证明，短时间内也无法下手。我们不妨整体把握，发现不等式中有一个我们常见的基本函数模型的身影，即，于是我们的解题思路就从的性质出发。证明：构造函数，同时，易知在上是递增的，因为，所以，即上面构造函数之后利用了函数的单调性来

11、证明不等式，当然我们有时候还需要利用函数的其他性质。例 3.2 解方程 8解这个复杂的方程看似无从下手，但注意到方程中与有相同的结构，我们构造函数，则原方程就转化为了，这时我们想到只要函数为奇函数且单调，此题就可以快速解决，于是我们要研究的就是的单调性和奇偶性。解：构造函数，原方程化为显然，为奇函数下面证明具有单调性：设（1） 若，则所以 （2） 若，因为，所以，又，所以 （3） 若，显然有，所以 由（1）（2）（3）可知，在上是单调递增的函数，所以原方程等价于即 ，解得 上面的例子中，我们观察题目中的形式共同点，然后构造了一个基本函数，然后通过研究这个函数单调性或奇偶性，来完成对结论的证明。

12、还有一些特殊情况，我们成功构造函数后，利用的并不是函数单调性或是奇偶性，而是根据恒等式性质来完成结论的证明。我们可以把这种特殊的构造函数法称作构造恒等式法，下面两个问题的解答就是利用了构造恒等式法。 已知是互不相等的实数，求证：如果把式子左边展开来证，显然是非常复杂繁琐的，注意到互不相等这一特点，我们可以构造一个函数证明这个问题。证明：构造函数由互不相等知，也互不相等，显然是关于的不超过二次的函数，而，即恒成立也就是恒成立同样的问题：已知是互不相等的实数，求证：和例3.3一样，直接展开左式来证是十分复杂的，我们还是构造一个函数来证明结论，不过这次构造的函数需要一些技巧，要综合式子左右两边来考虑

13、构造的函数。证明：构造一个函数，显然是关于的不超过二次的函数，对于，带入函数，有，故恒成立即恒成立令，带入上式，得综合构造恒等式法，我们把构造函数法所应用的地方加以扩展，包括：不等式证明，方程的求解，以及恒等式的证明。运用构造方程法我们必须要做的是根据题目中给出的形式共同点，需找其函数本质，然后构造函数，对函数的性质（单调性，奇偶性，特殊的如恒等性）进行研究，以获得解答最终问题的所需的目的性质。细数最近几年高考有关数列的综合问题，一般考察数列问题所给出的数列不会是一般的等差、等比数列，这时候需要我们根据题目要求，构造出一个特殊数列（等差数列、等比数列、常数列或者是单调数列），9利用这些数列的性

14、质，来解决有关计算或证明。 设，证明：拿到问题，第一时间想到的是，这个问题和上面提到的构造函数法有雷同地方。但是数列和函数是有区别的，我们这时候可以构造两个数列，通过单调性来考虑证明最后的不等式。证明：构造数列，因为，即为递增数列且，故，即，也就是再构造数列，即为递减数列，且故，即，也就是综上可知，当然，构造数列法不仅仅局限为数列问题中，除了在数列问题里构造一个新数列，一些与自然数有关的问题，我们也是可以通过数列（数组）来求解的。例4.2 已知为两两各不相同的正整数，证明：为正整数，这和不等式右边的有相似之处，我们可以通过构造一个数列，来将左右两边联系起来。证明：构造两个数列：，由柯西不等式，

15、有又题目中有，为两两各不相同的正整数，所以的一个最小取法为：，反过来，的一个最大取法为：即综合柯西不等式，知由这个问题，我们看到与自然可数有关的问题，是可以通过构造数列来简化形式的。和构造函数相似，最终都是通过研究数列的性质，来完成求解或证明。在解答数学问题时，如果缺乏现成的依据，使我们不能从条件简单迅速得到结论，那么我们不妨构造一个与原命题基本等价的辅助命题，这样只要辅助命题得证，原命题自然得证，一般把这种方法称作构造辅助命题法。例5.1 设，且，求证：10要证明，即要证，因为， 所以，而条件中，有，即这是我们根据条件能够完成的步骤，这距离结论还有，我们是不是可以分两步来证明。若能证明，则必

16、有，若还能证明，则必有，由此命题得证。证明：构造一个待证的辅助命题：若，证明：，且任何自然数均可表示为1、若，则于是他们都不是7的整数倍，即，2、若，则于是，同样不是7的整数倍，即，3、若，则于是，同样都不是7的整数倍，即，4、若，则于是，也都不是7的整数倍，即，综上，我们辅助命题得到证明，。再由题目知， 所以，而条件中，有，即，辅助命题中我们证明了，因此也就是我们对于一些运用数学归纳法证明的结论，在从这一步骤时往往需要利用放缩来从等式转化到不等式，但是存在的问题就是，题目中没有给我们放缩的条件，也就是不等式没有上限或者下限，这时我们就要考虑是不是题目的结论太弱了，我们可不可以构造一个命题的加

17、强命题。所谓一个命题的加强命题，是指它的结论是原命题结论的充分条件。我们可能存在一个思维定势，一个命题的加强命题不是应该比这个命题更难解决吗?一般是这样，但有时也并非如此。例 5.2 设，定义，求证：对于一切，有因为，则，但若利用数学归纳法证明，设当，则很难推出，因为，我们仅从是不能求出大于多少的，但是如果原来小于一个数，那么由我们就可以知道大于多少了。又，于是我们构造一个加强命题：对于一切，有，这样就可以用数学归纳法来解决了。证明：我们构造一个加强命题：设，定义，求证：对于一切，有我们利用数学归纳法来证明加强命题：（1）当时，由知，所以当时命题成立（2）假设当时，有成立，则当时，还有，所以时

18、命题也成立由（1）（2）知对于一切，有成立加强命题得证，同样原命题也得证向量有其几何意义，但又有着代数的运算性质，所以它注定是几何和代数之间的桥梁，这也是向量最近几年在中学崛起的原因。向量不仅在解析几何、立体几何中的重要作用，有些看似与向量无关的问题，也可以通过构造向量来解决。引入向量我们可以通过其几何意义或者运算性质，将问题化繁为简，看清问题的本质，迅速解决问题。 已知函数的最大值为，最小值为，求的值拿到这一道题的一般解法应该是平方法，这样一来将这个函数转化为的形式，然后研究复合函数的内层函数在定义域上性质，求出最大值和最小值。这里涉及到是函数最值问题，看似与向量无关，但是仔细观察函数的解析

19、式，我们能不能通过向量的坐标形式把解析式简化呢？于是我们可以构造两个向量，原来的解析式化简为，我们要求的就是，思路很清楚了，就是利用数形结合思想来解决问题。解：构造两个向量，原来的解析式化简为，又， ，带入解析式得到，我们根据向量的几何意义及特点，知道表示的是半径为2的圆，于是得到图形6.1：当时，当时，所以要求的除了运用到向量的坐标表示，很多时候我们还需要用到向量的一个重要性质：例 6.2 已知，并且，求证：我们由已知 （1）化简得即 （2）从（1）（2）两个等式我们发现可以组合为结论所需的形式，于是我们构造两个向量，然后利用向量的性质，问题迎刃而解。证明：由已知可得构造向量，由，那么带入得

20、即，故这类问题的解题步骤，一般是构造向量，然后利用向量的性质解决问题。其实复数也有类似性质，又因为复数在几何意义和代数运算上与向量有很多相似之处，所以我们把构造复数法并入构造向量法中，统称为构造向量类。例 6.3 设，且，求证：11显然这个问题直接平方来做会有一定的运算量，我们如果能够巧妙构造两个复数那么是不是能使问题迅速解决呢？又问题中与复数的模形式类似，于是我们构造的复数为，这样一来，答案很容易得到。证明：构造两个复数，则由，带入得即也就是结论得证2.7 构造特殊模型其实以上所有构造法都可以视作构造模型，比如构造图形模型，构造函数模型，构造方程模型等。下面介绍两个特殊的模型，通过构造特殊模

21、型，我们把抽象的纯数学问题巧妙转换为易解的实际问题。 已知是正整数，求满足的正整数解的对数关于不定方程解的个数是大学组合数学里涉及的内容，但是在高中数学里我们完全可以通过构造模球、放球、插空等模型来解决这类问题。解：方程的解可以转化为这样的模型：有9个完全相同的球，放入4个盒子内，要求每个盒子内必须有球，有多少种不同放法？为了求这种模型的放法，我们再次构造模型：有9个完全相同的球并排放置，我们需要插5个空，每两个空之间球的个数代分别表4个盒子中球的个数。12其中A，B两个空必须选中，所以就相当于从剩下的8个空里选取3个空于是这种插空法就共有种，也就是我们的答案，满足的正整数解的对数有对例 7.2 的三个内角都是的整数倍，且三个内角不全相等，这样的三角形有多少个？由三角形内角和为，