人教版高中数学选修4-4知识点知识讲解

1、高中数学选修4-4知识点第一章坐标系“标由极坐标系)极 蜜加上j与用出.*/次独力(生母伸的企耀j(M向被坐桁、力山(立线的帙坐物、力科!)4E*也卜押工ij期坐标系加介2_坐板、夜)(球心赤菽)平面直角坐标系一、平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴.数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系.(2)平面直角坐标系：定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系；数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴,x轴或y

2、轴统称为坐标轴；坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点;对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x,y)之间可以建立一一对应关系.(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点R(xi,yi),P2(X2,y。，线段P1P2的中点为P,填表：两点间的距离公式中点p的坐标公式1Plp2|=J(x2xi)2(V2yi)2xix2x2yiV2y2.平面直角坐标系中的伸缩变换x=入x(入0)设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换巾：，的作用下，点P(x,y=-y(-0)y)对应到点P(x,y),称6为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.极坐标系一、极坐标系(1)

3、定义：在平面内取一个定点O,叫做地号；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标系的四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向.(3)图示二、极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM叫做点M的也生，记为p;以极轴Ox为始边，射线0曲终边的角xOMPU做点M的跑区，记为0.有序数对(p,0)叫做点M的极坐标，记作MP,e).(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0,2),(eeR),若点M的极坐标是Mp,8),则点M的

4、极坐标也可写成Mp,e+2卜兀),(kez).若规定p0,oe2兀，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(p,e)之间才是一一对应关系.三、极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(1)极坐标化直角坐标x=pcos0,y=psin0,(2)直角坐标化极坐标P2=x2+y2,y简单曲线的极坐标方程tan8=x(xw。).一、曲线的极坐标方程般地，在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(p,e)=0,并且坐标适合方程f(p,0)=0的点都在曲线C上，那么方程f(p,0)=0

5、叫做曲线C的理坐标方程.、圆的极坐标方程(1) 特殊情形如下表:圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0,0)p=匚(0we2兀)圆心在点(r,0)兀p=2rcos_9_(0兀万)兀圆心在点(r,q)p=2rsin8(08兀)圆心在点(r,兀)兀P=2rcos8(-03兀,方)圆心在点(r,-2-)p=2rsin8(u00)和8=兀+a(p0)/b(M)工过点(a,0),且与极轴垂直兀兀pcos8=a9-5%1兀,过点a,且与极轴平行psin8=a(08兀)00讨乳Ji9p过点(a,0)倾斜角为apsin(a-0)=asina(000,002兀)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有

6、序数组(p,0,z)(zCR)表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组(0,6,z)之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(p,0,z)叫做点P的柱坐标，记作RP,e,z),其中P水0,0We2兀,zeR.x=pcose(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(P,e,z)之间的变换公式为y=psine.二、球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz设P是空间任意一点,连接OP记|OP=r,OP与Oz轴正向所夹的角为设P在Oxy平面上的射影为QOx轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为0,这样点P的位置就可以用有序数组(r,6,6)表示

7、，这样，空间的点与有序数组(r,6,0)之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r,6,0),叫做点P的球坐标，记作Rr,6，6),其中rR0,0W-w兀,0web0)的参数方程是一(6是参数),aby=bsin6规定参数6的取值范围是0,2氏).y2x2x=bcos6(2)中心在原点，焦点在 y轴上的椭圆a2+b2=1(ab0)的参数方程是(6是参数),规定参数巾的取值范围是0,2兀).(3)中心在(h,k)的椭圆普通方程为(xh)2(yk)2b2x=h+acos31,则其参数方程为(巾是y=k+bsin4)参数）.二、双曲线的参数方程（1

8、）中心在原点,22焦点在x轴上的双曲线）一春=1的参数方程是x=asec6y=btanj3，规定参数巾的取值范围为4c0,2兀）且4W2-,q丰32-.（2）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线看一套=1的参数方程是x=btan3（6为参数）.y=asec4三、抛物线的参数方程2（1）抛物线y2=2px的参数方程为X=2P（t为参数）.y=2pt（2）参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的直线的参数方程斜率的倒数.、直线的参数方程x=x0+tcosa经过点M（x,y。），倾斜角为a的直线l的参数方程为（t为参数）.y=yo+tsina二、直线的参数方程中参数t的几何意义（1）参数

9、t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M的距离.（2）当MM归e（直线的单位方向向量）同向时，t取正数.当MMWe反向时，t取负数，当M与M0重合时，t=Q.三、直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程.我们把过点M（x。，y。），x=x0+tcosa倾斜角为a的直线，选取参数t=MM得到的参数方程（t为参数）称为直线参数方程y=yo+tsina的标准形式，此时的参数t有明确的几何意义.一般地，过点M（x。，y。），斜率k=b（a,b为常数）的直线，参数方程为x-xo+at（t为参数），ay=y0+bt称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义.渐开线与摆线（了解）一、渐开线的概念及参数方程（1）渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆.（2）圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设基圆的半径为r,