专题05破译空间中有关外接球的问题

1、一.单项选择题A. 一B. 一C. 一D. 一2562566464【答案】C【解析】由题画出图形，设球心为。，贝U 0A为-条半径.B为0A中点.过点B的平而'j 0A所成角为30。，截而的圆心为q ?截而与球一交点为 C,那么ZOB(=30° .0Q丄截而，那么00|丄 ？ 丄co17 OA-OC = r OB = -r OO = Ofin 30c24所以在 R仏 00C中，C0 = CO2 -00 ，贝y C0=号 iA.B. 2兀C. 3兀 D. 4龙所以所得截面的而枳与球的表而积的比为15 ?应选:C4 力？ '64【答案】B【解析】点D是R仏ABC的外心，过

2、点D作DO丄平而ABC使 DO = 1sA = l, 2O是外接球球心，半径设为 R,那么OA = OS = R.在直角梯形SADO中，S4 = 2, 0D = , AD = Q得R = d过点D作球0的截而，OD丄截面时？耐面积最小，此 时截而圆的半径为 yR2 -OD2 = y/2?截而而积的最小值是17T?应选：B.A. 72 兀B. 86 兀C. 112 兀D. 128 龙【答案】C【解析】将三棱锥P-ABC补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球0,记三角形ABC的中心为6,设球的半径为/?, PA = 2x,那么球心0到平而ABC的距离为x，即oq = x,连接 QA，那么

3、 0/ = 5,.?疋=工 +25./ ± AABC中,取AC的中点为E,连接OQOE那么 0£ 今AB = 3, DE 气 AC = 2,所以 0,0 = A13.在-RMOD中，0D = V7 + 13 .山题总得到当截而打直线 0D垂直时，截而而积最小，设此时截而圆的半径为r?那么 r2=/?2-OD2=A-2+25-p+ 13) = 12,所以最小截面圆的面积为 12龙，当截而过球心时，截而而枳最大为刃？丄，所以 7iA2-12n = 16n. /?2 = 28 ?球的衣而枳为4iR = 112兀?应选:C.Bo.2>D?54 龙1【答案兀连接耳D ,如图建立

4、空间直角坐标系，C. 108/r设P为三棱锥D - AEQ的外接球的球心，故P到三点的趴离相等，由正方体的性质，P点在直线B,D±不妨设 P(x, x, x), C(0,6,0), E(2, 6,0)由于 I PC IT PE Iyjx 2 +(x-6)2 +x2 = A/(x-2)2 +(x-6)2 +x2:.x = :.P(l,l,l)外接球半径：2+E 2 =>/27=3>/3故表而积S =4尿=108/应选:CD.2y/2/r4 贝U cos 2A = 2cosF 0 1 = - A. _V2所求外3 y/5A 接球的2【答案】B【解析】如下列图所示，取BC的中占

5、为设球心33B?C? yfjn0在平面ABC内的射影为q ?在平而BCD内的射影那么二而角a-BC-D的平而角为ZAMD, AB = *,O M丄,设 ZAMD = 20 ?,cos2 0 = . sin2 0 = . :. tan20 = 2球O的半径R = JDO ； +OO ；? ?. tan8 =近?:.OO= O2M?tan 0C. 9=27. 9:322 应选：B.【答案】A侧而枳=-=2.|旋而线l=2r. |列锥的咼为h=护二二 T7 = ,j3r ?的比解析】设圆锥底而圆的半径为r,圆锥母线长为h那么侧而积为ml.那么圆锥的体叫齐少.由勾设外接球的球心为 O,半径为R.截而图

6、如图，那么 OB=OS=R,OD=h-R=A-RBD=r,在直角三角形BOD中，股左理得OB = OD2 + BD2, 即卩R = r + 屈一理得*R故所求体积比D. 16 兀A. 24 龙C. 26 兀【答案】CRC【解析】由题总知底而外接圆的圆心为斜边 BC的中点那么外接61的半径*守，而AB=AC = 2,ZBAC = 90°,所以BC = 2近，所以r = JJ，过BC的中点做垂直于底而的直线交中截而与0点，那么0为外接球的球心由题总得：/?2=r2+|=2 +八=2,所以外接球的表而枳 S = 4穴用=26小I 2 丿 2 2应选：C.32A. 12/rB? 7TC? 8

7、 龙D? 4TT【答案】A半径为【解析】因为正方体的体积为8,所以棱长为2,所以正方体的体对角线长为 2JJ，所以正方体的外接球的Q所以该球的表而积为4/毎尸=12%,应选A.二、填空题【答案】80龙6-x, 结介勾股定理，建立等式【解析】设球半径为R,球心0到上外表距离为x,那么球心到下外表距离为22+X 2 =42+(6- X )2,解得 x = 4,所以半径 R2= X2+2 2=20因而表而枳S = 4ttR2 =80【答案】8兀?【解析】作出関柱与英外接球的轴截而如下该鬪柱 的外接BD >/22 + 222- i设関杠的底血閲TO" ?那么BC=2所以轴截而的而枳为方

8、形肋"=2厂y =4.解得r = l, M此,所以球的表而积为S = 4龙血=8龙？故答案为8龙 52 兀【19【解析】折成的立体图形如下图，0为球心，E为BD的中点,ZCEH=60。，習松诙弓込孚所以由。C"尸+E得:R2 =故答案为:皿諾， 所乩球 而积为【答案】9龙【解析】当SWC+SMQ+SMS取最大值时AB, AC, AD两两垂直，此时以AB AC, AD为长方体的三条棱，长方体的外接球也即是三棱锥 A-BCD的外接球，长方体的对角线氏为 J1 + 22+22 =3,汝球的'1'彳？为乩那么2R = 3，球的表而枳为 兀(2R=9兀?故答案为：9兀

9、9【答案】兀2【解析】三棱锥P-ABC以08为底，C到平而如的存庚为高，那么可知PC丄T ifiiPAB时，C到T?而PAB的汁国 最犬为，13底而 APAB为等腰三角形，Saw 二PA PB sin ZBPA = |sinZBPA所以，当sinZBPA = 1时，必3的而积最大，即P4丄阳，所以，当PA PB PC两两垂直时，三棱锥 P-ABC体枳最大，此时三棱锥P-ABC勺外接球可以看作是以 73为棱长的正方体的外接球，设球的半径为R,那么(2/?)2=(>/3)2+(73)'+(>/3)2解得R =，所以所求球的体积为 V = -7tR 3 =-rrA=- TT.233(2 丿 2故答案为:【答案】龙.那么这个球的体彳故答案为：兀.【解析】由正八而体的性质可得:当这个球的体积与六緘化硫分子体枳之比取最小值时，此时这个球为正八而体的外接球，且球心为点1A R、外接球的半径杯那么正八面体的体枳为 2于后2如亍 又正八而体的外接球的体枳 为竽'、氟化硫分子体积之比的最小值为一=n.-R33【答案】12龙【解析】螫膈P-ADE可看做如下列图所示的长方体的一局部那么氏方体外接球即为螫購 P-ADE的外? ?外接球半径为:2 2 2-4ED + AD + PA =-y)5 + PA:.PA = 2 连接A