七年级三角形四大模型

1、2021年01月07日liwei的初中数学组卷一选择题共5小题1. 2021春？扬中市校级期末如图 1，一副三角板的两个直角重叠在一起，/ A=30° , / C=45 COD固定不动， AOB绕着 0点逆时针旋转 a° 0°VaV 180° 1假设 AOB绕着0点旋转图2的位置，假设/ BOD=60，那么/ AOC=2假设0°VaV 90°,在旋转的过程中/ BOD/AOC的值会发生变化吗？假设不变化， 请求出这个定值；3假设90°VaV 180°,问题2中的结论还成立吗？说明理由；4将厶AOB绕点O逆时针旋转a

2、度0°VaV 180°，问当a为多少度时，两个三角 形至少有一组边所在直线垂直？请直接写出所有答案2. 2021?丨如图1, E是直线 AB, CD部一点，AB/ CD连接 EA, ED.1探究猜想： 假设/ A=30°,Z D=40，那么/ AED等于多少度？ 假设/ A=20°,Z D=60，那么/ AED等于多少度？ 猜想图1中/AED / EAB / EDC的关系并证明你的结论.2拓展应用：如图2,射线FE与矩形ABCD勺边AB交于点E,与边CD交于点F,分别是被射线 FE隔开的4个区域不含边界，其中区域、位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上

3、的点，猜想：/ PEB / PFC / EPF的关系不要求证明.G儿BJJA® Cf3F图2C3. 2021秋？微山县期中如图，假设/ DBCM D, BD平分/ ABC / ABC=50，那么/ BCD 的大小为A. 50° B. 100°C. 130°D. 1504. 2021春？连云区校级月考如图，小亮从A点出发前进10m,向右转15°,再前进10m, 又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是A. 120 B. 150 C. 240 D. 3605. 如图，在 ABC中，/ A=42°，/

4、 ABC和/ACB的三等分线分别交于点 D, E,那么/ BDC 的度数是 A. 67° B. 84° C. 88° D. 110°二填空题共3小题6. 2007?丨如下列图是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到 DEF如果 AB=8cm BE=4cm DH=3cm那么图中阴影局部面积为cm.7. 2021秋？和县期末如图，/ ACD是厶ABC的外角，/ ABC的平分线与/ ACD的平分线 交于点A1,ZA1BC的平分线与/A 1CD的平分线交于点 A2,，/A n- 1BC的平分线与/A n-1CD 的平分线交于点 A.设/ A

5、=0 .那么：1/A 1=;2/A 2=;3/A n=.& 2021秋？綦江县校级期中如图，在 ABC中，点D, E, F分别为边BC, AD, CE的中 点，且，那么阴影局部的面积等于.三.解答题共9小题9. 2021春？江阴市校级月考一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可 能的图形，并分别说出角和和外角和变化情况.10. 2021 春？相城区月考如图， / A=65 , / ABD=30 , / ACB=72，且 CE平分/ ACB 求/ BEC的度数.11. 2021春？建湖县校级月考我们知道，任何一个三角形的三条角平分线相交于一点， 如图，假设 ABC的三条角平分线

6、相交于点I，过I作DELAI分别交AB AC于点D E.1请你通过画图、度量，填写右上表图画在草稿纸上，并尽量画准确2从上表中你发现了/ BIC与/BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理./ BAC的度数 40°60°90°120°/ BIC的度数/ BDI的度数12. 2007?丨如图，直线AC/ BD连接AB,直线AC BD与线段AB把平面分成、 四个局部，规定：线上各点不属于任何局部当动点P落在某个局部时，连接 PA PB构成/ PAC Z APB / PBD三个角.提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角1当动点P

7、落在第局部时，求证：Z APB=Z PACZ PBD2当动点P落在第局部时，Z APB=Z PACZ PBD是否成立？直接答复成立或不成立3当动点P落在第局部时，全面探究Z PAC Z APB Z PBD之间的关系，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明.1如图，Z ABC zJ ACB的角平分线交于点 D,那么Z BOC-.2如图，Z ABC zJ ACB的三等分线分别对应交于0、Q,那么Z BO2C-.3如图，Z ABC zJ ACB的n等分线分别对应交于0、O n-1部有n - 1个点,Z BO- 1C用n的代数式表示.4如图，Z ABCZ ACB的n等分线分别对

8、应交于0、On-1，假设Z BQ- 1C-9013.2021 春？常熟市期末 ABC 中，Z A=60°.求求n的值.14. 2021春？期末如图， ABC两个外角Z CAD Z ACE的平分线相交于点P.探索ZP与ZB有怎样的数量关系，并证明你的结论.15. 2021春？区校级期末如图， BD CD分别是Z ABC和Z ACB的角平分线，BD CD相交 于点D,试探索ZA与ZD之间的数量关系，并证明你的结论.16. 2021春？工业园区期末如图，AB/ DE BF, EF分别平分/ ABC与/ CED假设 / BCE=140，求/ BFE 的度数.17. 2021春？海陵区期末1如

9、图1的图形我们把它称为“8 字形"，请说明 / A+Z B=Z C+Z D;2丨如图 2, AB/ CD AP、CP分别平分Z BAD Z BCD月 图2中共有个“8字形； 假设Z ABC=80 , Z ADC=38，求ZP的度数；提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法 猜想图2中ZP与Z B+ZD的数量关系，并说明理由.2021年01月07日liwei的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题共5小题1. 2021春？扬中市校级期末如图 1，一副三角板的两个直角重叠在一起，Z A=30° , Z C=45 COD固定不动， AOB绕着 O点逆时针旋转 a°

10、; 0°VaV 180° 1假设 AOB绕着O点旋转图2的位置，假设Z BOD=60，那么Z AOC= 120°2假设0°VaV 90°,在旋转的过程中Z BODZAOC的值会发生变化吗？假设不变化， 请求出这个定值；3假设90°VaV 180°,问题2中的结论还成立吗？说明理由；4将厶AOB绕点O逆时针旋转a度0°VaV 180°，问当a为多少度时，两个三角 形至少有一组边所在直线垂直？请直接写出所有答案【考点】三角形角和定理；三角形的外角性质；旋转的性质.【分析】1/ BOD=60 , AOB 旋转了

11、 30°2 丨假设 O°VaV 90°,/ AOC/COD/AOD / BOD/AOC= / BOD/AOD+ /COD=90 +90° =180°,在旋转的过程中/ BOD/AOC 的值不变化3假设 90°VaV 180°,/ BOD/AOC=360 / COD/AOB =180°【解答】 解：1：/ BOD=60 , AOB绕着O点旋转了 30°,即/ AOD=30 ,/AOC/ AOD/ COD=30 +90° =120°2 丨假设 0°VaV 90°,v/

12、AODa , / AOC/COD/AOD /BOD/AOC=/ BOD/AOD +/COD=90 +90° =180°,在旋转的过程中/ BOD/AOC 的值不变化，/ BOD/ AOC=180 ;3假设90°VaV 180°,问题2中的结论还成立理由：假设 90°VaV 180°, / AOB/ COD=90 ;又BOD/ AOC/ AOB/ COD=36° / BOD/ AOC=360 -/ AOD-/ COD=36° - 90°- 90° =180°4a =90°、60

13、°、45°、105°、150°、135°时，两个三角形至少有一组边所在直线 垂直.【点评】此题考查了三角形旋转的性质，注意旋转角相等，旋转前后的图形不变.2. 2021?丨如图1, E是直线 AB, CD部一点，AB/ CD连接 EA, ED.1探究猜想： 假设/ A=30°,Z D=4C°，那么/ AED等于多少度？ 假设/ A=20°,Z D=60，那么/ AED等于多少度？ 猜想图1中/AED / EAB / EDC的关系并证明你的结论.2拓展应用：如图2,射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于

14、点F,分别是被射线 FE隔开的4个区域不含边界，其中区域、位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：/ PEB / PFC / EPF的关系不要求证明.【考点】平行线的性质.【专题】阅读型；分类讨论.【分析】1根据图形猜想得出所求角度数即可； 根据图形猜想得出所求角度数即可； 猜想得到三角关系，理由为：延长AE与DC交于F点，由AB与DC平行，利用两直线平行错角相等得到一对角相等，再利用外角性质与等量代换即可得证；2分四个区域分别找出三个角关系即可.【解答】 解：1/ AED=70 ； / AED=80 ; 猜想：/ AEDM EAB+Z EDC证明：延长AE交DC于点F,/ AB/

15、 DC/ EABZ EFD/ AEDEDF 的外角，/ AEDZ EDF+Z EFDZ EAB+Z EDC2根据题意得：点 P在区域时，Z EPF=360 -Z PEB+Z PFC点P在区域时，Z EPF=/ PEB+Z PFC点P在区域时，Z EPF=/ PEB-Z PFC点P在区域时，Z EPF=/ PFC-Z PEB【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键.3. 2021秋？微山县期中如图，假设Z DBCZ D, BD平分Z ABC Z ABC=50，那么Z BCD的大小为A. 50° B. 100°C. 130°D. 150

16、76;【考点】三角形角和定理；角平分线的定义.【分析】根据角平分线定义求得Z DBC的度数，再根据三角形的角和定理即可求解.【解答】 解：I BD平分Z ABC Z ABC=50 , Z DBCZ ABC=25 .又Z DBCZ D, Z BCD=180 - 25°X 2=130°.应选C.【点评】此题综合运用了角平分线定义和三角形的角和定理.4. 2021春？连云区校级月考如图，小亮从A点出发前进10m,向右转15°,再前进10m, 又向右转15°,这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是A. 120 B. 150 C. 240 D. 3

17、60【考点】多边形角与外角.【专题】计算题.【分析】第一次回到出发点 A时，所经过的路线正好构成一个外角是15度的正多边形，求得边数，即可求解.【解答】 解：360- 15=24,那么一共走了 24 X 10=240m应选C.【点评】此题考查了正多边形的外角的计算，第一次回到出发点 A时，所经过的路线正好构成一个外角是15度的正多边形是关键.5. 如图，在 ABC中，/ A=42°，/ ABC和/ACB的三等分线分别交于点 D, E,那么/ BDC 的度数是A. 67° B. 84° C. 88° D. 110°【考点】三角形角和定理.【分析】

18、 根据三角形的角和定理可得/ ABC/ACB=138，再由/B 和/C的三等分线可得/ DBC/ DCB即可求得/ BDC的度数.【解答】解：/ A=42° ,/ ABC/ ACB=18& 42=138°,/ DBC/ DCBX 138° =92°, / BDC=180 - 92° =88°.应选C.【点评】此题考查的是三角形角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的角和是180°这一隐含的条件.二填空题共3小题6. 2007?丨如下列图是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到 DEF如果 AB=

19、8cm BE=4cm DH=3cm那么图中阴影局部面积为26 cm.【考点】相似三角形的判定与性质；平移的性质.【专题】压轴题.【分析】根据平移的性质可知：AB=DE BE=CF由此可求出EH和CF的长.由于CH/ DF,可得出 ECHh EFD根据相似三角形的对应边成比例，可求出EC的长.了 EH EC, DEEF的长，即可求出厶ECH和厶EFD的面积，进而可求出阴影局部的面积.【解答】 解：由平移的性质知，DE=AB=8 CF=BE=4 / DEC/ B=90° EH=D- DH=5cm/ HOI DF ECHh EFD-=,又 BE=CF EC= EF=EC+CF=2 S 阴影

20、=Saefd SechfDE? EF- EC? EH=26cm.【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的面积公式和平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.7. 2021秋？和县期末如图，/ ACD是厶ABC的外角，/ ABC的平分线与/ ACD的平分线 交于点Ai,/AiBC的平分线与/A 1CD的平分线交于点 A2,，/A n- 1BC的平分线与/A n-1CD 的平分线交于点 A.设/ A=0 那么：1/A 1=;2/A 2=；3/A n=.【考点】三角形角和定理；三角形的外角性质.【分析】1根据角平分线的

21、定义可得/A iBC=/ABC /A iCD/ACD再根据三角形的一个 外角等于与它不相邻的两个角的和可得/ ACD/ A+/ ABC/A 1CD/A 1BC+/A 1 ,整理即可得解；2与1同理求出/A 2；3根据求出的结果，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解.【解答】1解：1vA 1B是/ABC的平分线，AC是/ACD的平分线，/A 1BC=ZABC /A QD/ACD又/ACD/A+/ABC /A 1CD/A 1BC+ZA 1,/ A+/ ABC =/ ABC-/A 1,/A 1=/ A,/ A=0,/A 1=,故答案为：；2同理可得/A 2=/A 1=,故答案为：；3同

22、理可得/A 2=/A 1=X =,所以/A n= 故答案为：.【点评】此题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键.8 2021秋？綦江县校级期中如图，在AABC中，点D, E, F分别为边BC AD, CE的中点，且，那么阴影局部的面积等于2cnf.【考点】三角形的面积.【分析】如图，因为点F是CE的中点，所以 BEF的底是 BEC的底的一半， BEF高等于 BEC的高；同理，D、E、分别是 BC AD的中点， EBC与厶ABC同底， EBC的高是 ABC 高的一半；利用三角形的等积变换可解答.【解答】解

23、：如图，点F是CE的中点， BEF的底是EF,A BEC的底是EC,即EF=EC高相等；S BEF=SBEGD E、分别是BC AD的中点，同理得，SaebctSabc,2S BEF=SABC,且 SAB(=8Cm ,2S BEF=2cm,2即阴影局部的面积为 2cm,故答案是：2cm2.【点评】此题主要考查了三角形面积的等积变换：假设两个三角形的高或底相等，其中一个三角形的底或高是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍结合图形直观解答.三解答题共9小题9. 2021春？江阴市校级月考一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可能的图形，并分别说出角和和外角和变

24、化情况.【考点】多边形角与外角.【分析】先根据截去一个角后的图形是三角形、四边形或五边形画出图形，再根据三角形与多边形的角和定理即可解答.【解答】 解：锯掉一个角时可能出现以下几种情况，如答图因此剩下的图形可能是五边形、四边形、三角形，角和可能为540°、360°、180°.外角和无变化，外角和为 360°.【点评】此题比较简单，考查的是多边形的外角和与角和定理，解答此题时要熟知：1任意多边形的外角和为 360°2多边形的角和=n-2? 180°.10. 2021 春？相城区月考如图， / A=65，/ ABD=30，/ ACB=72

25、，且 CE平分/ ACB 求/ BEC的度数.【考点】三角形角和定理.【专题】几何图形问题.【分析】 先根据/ A=65，/ ACB=72得出/ABC的度数，再由/ ABD=30得出/ CBD的度数，根据CE平分/ ACB得出/ BCE的度数，根据/ BEC=180 -/ BC-/ CBD即可得出结论.【解答】解：在 ABC中，/ A=65° , / ACB=72/ ABC=43/ ABD=30/ CBD/ ABC-/ ABD=13/ CE平分/ ACB / BCE/ ACB=36BCE中，/ BEC=180 - 13 ° - 36° =131 ° .故

26、答案为：131°【点评】 此题考查的是三角形角和定理，熟知三角形角和是 180°是解答此题的关键.11. 2021春？建湖县校级月考我们知道，任何一个三角形的三条角平分线相交于一点，如图，假设 ABC的三条角平分线相交于点I，过I作DELAI分别交AB AC于点D E.1请你通过画图、度量，填写右上表图画在草稿纸上，并尽量画准确2从上表中你发现了/ BIC与/BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理./ BAC的度数 40°60°90°120°/ BIC的度数/ BDI的度数【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形角和定理

27、.【专题】探究型.【分析】1通过画图、度量，即可完成表格；2先从上表中发现/ BIC=Z BDI，再分别证明/ BIC=90° +/BAC / BDI=90° +/BAC【解答】解：1填写表格如下:/ BAC的度数40°60°90°120°/ BIC的度数110°120°135°150°/ BDI的度数110°120°135°150°2/ BIC=Z BDI,理由如下： ABC的三条角平分线相交于点I ,/ BIC=180°-/ IBC+Z IC

28、B=180°-/ ABC/ACB=180° 180°-/ BAC=90+/ BAC/ AI 平分/ BAC / DAI=/ DAETDEL AI 于 I , / AID=90°. / BDI=/ AID+/ DAI=90° +/ BAC / BIC=/ BDI.【点评】此题主要考查了三角形的心的性质，三角形角和定理、外角的性质，角平分线的性质以与垂线的性质，比较简单.12. 2007?丨如图，直线AC/ BD连接AB,直线AC BD与线段AB把平面分成、 四个局部，规定：线上各点不属于任何局部当动点P落在某个局部时，连接 PA PB构成/ PA

29、C / APB / PBD三个角.提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角1当动点P落在第局部时，求证：/ APB/ PAC/ PBD2当动点P落在第局部时，/ APB/ PAC/ PBD是否成立？直接答复成立或不成立3当动点P落在第局部时，全面探究/ PAC / APB / PBD之间的关系，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明.【考点】平行线的性质；角平分线的性质.【专题】 动点型；探究型.【分析】1如图1,延长BP交直线 AC于点E,由AC/ BD可知/ PEAK PBD由/ APB=/ PAEK PEA 可知/ APBK PACK PBD2

30、过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；3根据P的不同位置，分三种情况讨论.【解答】 解：1解法一：如图1延长BP交直线AC于点E./ AC/ BD / PEAK PBD/ APBK PAEK PEA K APBK PACK PBD金 ®-处 *图1图&占 出图4圈了图方解法二：如图2过点P作FP/ AC K PACK APF/ AC/ BD FP/ BD K FPB=K PBD K APBK APF+K FPB=K PACK PBD解法三：如图3,/ AC/ BD K CABK ABD=180 ,/ PACK PABK PBAK PBD=180 .又/ APBK PBA

31、K PAB=180 , / APBK PACK PBD2不成立.3 a当动点P在射线BA的右侧时，结论是:/ PBD=/ PACy APBb当动点P在射线BA上，结论是：/ PBDy PAC-y APB或/ PACy PBD-y APB 或/ APB=0 ,/ PACy PBD任写一个即可.c当动点P在射线BA的左侧时，结论是/ PACy APB-y PBD选择a证明：如图4,连接PA连接PB交AC于M/ AC/ BD/ PMCy PBD又/ PMC= PAMy APM三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和， y PBDy PACy APB选择b证明：如图5点P在射线BA上，/APB=0度

32、./ AC/ BDPBDy PAC y PBDy PACy apb 或/ PACy PBDy APB或/ APB=0，/ PACy PBD 选择c证明：如图6,连接PA连接PB交AC于F/ AC/ BDPFAK PBD/ PACy APF-y pfa y PACy APB-y pbd【点评】此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研 究能力和对平行线与角平分线性质的掌握情况认真做好1 2小题，可以为3小题提供思路.13. 2021春？常熟市期末 ABC中，/ A=60°1如图，/ ABC / ACB的角平分线交于点 D,那么/ BOC= 1202如图，/

33、 ABC / ACB的三等分线分别对应交于3如图，/ ABC / ACB的n等分线分别对应交于/ BCn- 1C用n的代数式表示0、Q,那么/ BO2C= 1000、QOn-1部有n- 1个点，求0、C2On-1，假设/ BQ-Q=90 ,求n的值.4如图，/ ABC / ACB的n等分线分别对应交于【考点】三角形角和定理；三角形的外角性质. 【专题】规律型.【分析】1先根据三角形角和定理求得/ ABC/ ACB再根据角平分线的定义求得/ OBC/OCB即可求出/ BOC2先根据三角形角和定理求得/ ABC/ ACB再根据三等分线的定义求得/O2BC+/O 2CB,即可求出/ BO2C.3先根

34、据三角形角和定理求得/ ABC/ ACB再根据 n等分线的定义求得/O n-iBC+/On- 1CB即可求出/ BOn- 1C.4依据3的结论即可求出 n的值.【解答】解：/ BAC=60 ,/ ABC/ ACB=120 ,1：点O是/ABC与/ ACB的角平分线的交点， / OBC/OCB= / ABC/ ACB =60° / BOC=120 ;2点 Q是/ ABC与/ACB的三等分线的交点，/O2BC+/O2CB=/ ABC/ ACB =80°:丄 BQC=100 ;3点 O-1是/ABC与/ ACB的n等分线的交点， /On-iBC+/O n-QB=/ ABC/ AC

35、B =X 120°:丄 BQ-iC=180 -X 120° = 1+x 60°4由3得：1+X 60° =90°解得：n=4.【点评】此题练习角的等分线的性质以与三角形角和定理.根据题意找出规律是解题的关键.14. 2021春？期末如图， ABC两个外角/ CAD / ACE的平分线相交于点P.探索/P与/B有怎样的数量关系，并证明你的结论.【考点】三角形角和定理；三角形的外角性质.【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和与角平分线的定义表示出/ PAC和/ PCA再根据三角形的角和定理列式整理即可得解.【解答】 解：由三角形的外

36、角性质，/ DAC/ B+/ ACB / ACE/ B+/ BAC PA PC分别是/ DAC和/ACE的角平分线， / PAC/ DAC=/ B+/ ACB ,/ PCA/ ACE=/ B+/ BAC ,在厶ACP中，/ P+/ PAC/ PCA=180 , / P+/ B+/ ACB +/ B+/ BAC =180° 2/ P+/ B+/ ACB/ B+/ BAC=360 ,在厶ABC中，/ ACB/ B+/ BAC=180 , 2 / P+/ B=180° , / P=90°-Z B.【点评】此题考查了三角形的角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角

37、的和的 性质，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键，整体思想的利用也很关键.15. 2021春？区校级期末如图， BD CD分别是/ ABC和/ACB的角平分线，BD CD相交 于点D,试探索/A与/D之间的数量关系，并证明你的结论.【考点】三角形角和定理；角平分线的定义.【专题】探究型.【分析】先根据角平分线的性质求出/ DBC / DCB与ZA的关系，再根据三角形角和定理求 解即可.【解答】 解：I BD CD是/ ABC和/ACB的角平分线，/ DBCM ABC / DCBM ACB/ ABC/ ACB=180 -Z A,/ BDC=180 -/ DBC-Z DCB=180 - Z AB

38、C/ ACB =180°- 180°-/ A=90° +/A, Z BDC=90 +/A.【点评】此题考查的是角平分线的性质与三角形角和定理.三角形角和定理：三角形的角和为 180°.16. 2021春？工业园区期末如图，AB/ DE BF, EF分别平分/ ABC与/ CED假设 Z BCE=140，求/ BFE 的度数.【考点】平行线的性质；角平分线的定义.【专题】计算题.【分析】过点C作CP/ AB然后利用两直线平行，错角相等得到Z ABC-Z CED/ BCPZ ECPZ BCE=140 ;同理过点F 作 FM/ DE 那么/ BFMZ ABFZ MFEZ DEF结合角平分线的性质就可求出/ BFE 的度数.【解答】 解：如图，过点 C作CP/ AB那么/ BCPZ ABC Z ECPZ CED Z ABC-Z CEDZ BCPZ ECPZ BCE=140 ;又 BF, E