三角形的内角和定理

1、 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老三突然不高们三兄弟非常团结。可是有一天，老三突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度你凭什么度数最大，我也要和你一样大！数最大，我也要和你一样大！”“”“不行啊！不行啊！”老老大说：大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了也围不起来了”“”“为什么？为什么？” ” 老三很纳闷。老三很纳闷。内角三兄弟之争内角三兄弟之争情境引入情境引入同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？探探

2、究究三角形的三个内角和是多少度三角形的三个内角和是多少度?你是如何得到三角形的内角和你是如何得到三角形的内角和等于等于180的呢的呢?怎样验证？怎样验证？量量400700707040+70_180合作交流合作交流直角三角形直角三角形200900902070_700180量量22011801182240_400180量量3231平角：平角：_三角形的三角形的内角和内角和是是18001800拼拼折折ABC123三角形的三角形的内角和内角和是是1800已知：已知：ABC.求证：求证：A +B +C =180证一证证一证CBA B+C+BAC=180F21ECBA三角形的内角和等于三角形的内角和等于1

3、800.证明：证明：过点过点A作作EFBC，辅助线的作法辅助线的作法B=2 (两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等) C=1 (两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等) 2+1+BAC=180证明：证明： CBEA三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.过点过点A作作AEBC，B=EAB (两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等) EAB+BAC+C=180 (两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补)B+BAC+C=180辅助线的作法辅助线的作法 延长延长BC到点到点D，过点，过点C作作CEBA， 21EDCBA辅助线的作法辅助线的作法证明：证明： (两直线平行，内

4、错角相等两直线平行，内错角相等) (两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等) A=1 B=2 1+2+ACB=180 A+B+ACB=180三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.三角形的内角和定理：三角形的内角和定理：三角形的内角和等于三角形的内角和等于_ABC在在ABC中中:A+ B+ C=180几何语言：几何语言：180 在这里，为了证明的需要，在原来在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做的图形上添画的线叫做辅助线辅助线. 为了证明三角形三个内角的和为为了证明三角形三个内角的和为180,通常转化为通常转化为一个平角一个平角或或同旁内角同旁内角(互补互补)，这种这种

5、转化思想转化思想是数学中常用的方法是数学中常用的方法.方法赏析方法赏析 温馨提示：温馨提示：辅助线通常画成辅助线通常画成虚线虚线(1)在在ABC中，中，A=35， B=43 , 则则 C= . 102 20 40 120 小试牛刀（抢答）小试牛刀（抢答）(2)在在ABC中中,A +B=160,A -B=80 则则A=_, B=_,C=_.例例1在在ABC 中，中，A 的度数是的度数是B 的度数的的度数的 3倍倍, C 比比B 大大15,求求A，B，C 的度数的度数.解解 :设设B为为x,则则A为为 3x,C为为(x + 15)， 从而有从而有 3x x (x 15 ) 180.解得解得 x 3

6、3.所以所以 3x 99 ， x 15 48.典例精讲典例精讲方程思想方程思想 A, B, C的度数分别为的度数分别为99, 33, 48.三角形三角形按角按角如何分类呢？如何分类呢？探究探究一个三角形的三个内角中一个三角形的三个内角中, 最多有几个直角？最多有几个直角？ 最多有几个钝角？最多有几个钝角？ 三角形的内角和等于三角形的内角和等于180， 因此因此最多有一个直角或一个钝角最多有一个直角或一个钝角.七嘴八舌七嘴八舌 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老三突然不它们三兄弟非常团结。可是有一天，老三突然不高兴，发起

7、脾气来，它指着老大说：高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么你凭什么度数最大，我也要和你一样大！度数最大，我也要和你一样大！”“”“不行啊！不行啊！”老大说：老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了再也围不起来了”“”“为什么？为什么？” ” 老三很纳闷。老三很纳闷。内角三兄弟之争内角三兄弟之争同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？学以致用学以致用三角形中三角形中, ,三个角都是锐角三个角都是锐角的三角形叫的三角形叫锐角三角形锐角三角形， 有一个角是直角有一个角是直角的三角形叫的三角形叫直角三角形直角三角形，有一个角是钝

8、角有一个角是钝角的三角形叫的三角形叫钝角三角形钝角三角形锐角三角形锐角三角形 直角三角形直角三角形 钝角三角形钝角三角形三角形按角大小分类：三角形按角大小分类：三角形三角形锐角三角形锐角三角形（三个角为锐角三个角为锐角）钝角三角形钝角三角形（一个角为钝角一个角为钝角）直角三角形直角三角形（一个角为直角一个角为直角）直角三角形直角三角形可用符号可用符号“Rt” ” 来表示，来表示， 例如直角三角形例如直角三角形ABC可以记作可以记作“RtABC”. .在直角三角形中，夹直角的两边叫作在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边直角边， 直角的对边叫作直角的对边叫作斜边斜边. . 两条直角边相等的直角三

9、角形叫作两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角等腰直角三角形三角形. .如图如图,如果你如果你从从A走到走到B,再转向再转向C走走,能画出你能画出你转弯的角转弯的角吗吗?ABCDBD是边是边AB的延长线的延长线BC是是 ABC的边的边定义定义:三角形的一边与另一边的三角形的一边与另一边的延长线延长线 所组成的角，叫作所组成的角，叫作三角形的外角三角形的外角.三角形的外角三角形的外角相邻的内角相邻的内角不相邻不相邻的内角的内角不相邻的不相邻的内角内角三角形的外角与相邻内角互为三角形的外角与相邻内角互为_补角补角三角形的外角与不相邻的两个内角有什么关系？三角形的外角与不相邻的两个内角有什么关系？A

10、BC+CBD =180 ABC+A+ C =180CBD= A+ C解解:BADC三角形的一个外角三角形的一个外角等于与它等于与它不相邻不相邻的两个内角的和的两个内角的和思考：如何说明思考：如何说明 CBD= A+ C？小试牛刀小试牛刀1.（2017长沙）一个三角形的三个内角的长沙）一个三角形的三个内角的度数之比为度数之比为1:2:3,则这个三角形一定是则这个三角形一定是( )A锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D等腰直角三角形等腰直角三角形B小试牛刀小试牛刀2.（2017衢州）如图，直线衢州）如图，直线ABCD，A=70，C=40，则，则E等于（等于（ ）

11、 A30 B40 C60 D70AF例例 2 已知：如图，已知：如图，AB与与CD相交于点相交于点E. 求证：求证：A+C=B+D.典例精讲典例精讲整体思想整体思想 E课堂小结课堂小结1.三角形的内角和定理：三角形的内角和定理：2.三角形按角度大小分类：三角形按角度大小分类：3.三角形的外角与不相邻的内角有什么关系？三角形的外角与不相邻的内角有什么关系？锐角三角形锐角三角形 直角三角形直角三角形 钝角三角形钝角三角形三角形的一个外角三角形的一个外角等于与它等于与它不相邻不相邻的两个内角的和的两个内角的和三角形的内角和等于三角形的内角和等于_180123课堂检测课堂检测40如图，是一块三角形木板的残余部分，如图，是一块三角形木板的残余部分，量得