第八章 磁场的源

1、 8.6 平行电流间的相互作用力平行电流间的相互作用力第第8章章 磁场的源磁场的源8.1 毕奥毕奥萨伐尔定律及应用萨伐尔定律及应用 8.3 安培环路定理安培环路定理 8.4 利用安培环路定理求磁场利用安培环路定理求磁场 的分布的分布 8.5 8.5 与变化电场相联系的磁场与变化电场相联系的磁场IP*1、毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律(电流元在空间产生的磁场电流元在空间产生的磁场)04r2IdledBr真空磁导率真空磁导率 270AN104lIdBd04r2I dleBdBr 任意载流导线在点任意载流导线在点 P 处的磁感强度处的磁感强度磁感强度叠加原理磁感强度叠加原理rlIdrBd8.1 毕奥毕

2、奥萨伐尔定律及应用萨伐尔定律及应用2 2、毕奥毕奥萨伐尔定律应用萨伐尔定律应用例例8.18.1 直线电流磁场直线电流磁场。设有长为设有长为L L的载流直导线，通有电流的载流直导线，通有电流I I。计。计算与导线垂直距离为算与导线垂直距离为r r 的的p p点的磁感强度。点的磁感强度。02dd4rI leBr所有所有d dB B 的方向均垂直板面向里。的方向均垂直板面向里。解：解：LBBdI ILP PrIdlrlo odBLrlI20sind4几何关系：几何关系：sin/rr cotrldrIBsin4210)cos(cos4210rIdrl2sind 21I I12rIB201)1)导线无限

3、长导线无限长2)2)导线半无限长，场点与一端的连线导线半无限长，场点与一端的连线垂直于导线垂直于导线 rIB40102)cos(cos4210rIB 磁感应线是垂直于导线平面，以磁感应线是垂直于导线平面，以导线为圆心的同心圆导线为圆心的同心圆P PrB B03dd4I lrBr 由矢量叉乘关系：由矢量叉乘关系：03dd4IlrBr例例8.28.2 圆电流磁场圆电流磁场。 设有圆形线圈设有圆形线圈L L，半径为，半径为R R，通以电流，通以电流I I。求圆形。求圆形导线轴线上的磁场分布导线轴线上的磁场分布解：解：取如图所示电流元取如图所示电流元Idl在在P P点的磁感强度为：点的磁感强度为：Id

4、ld0B由圆电流的对称性可知：由圆电流的对称性可知：I IRxyIdlrdBxo o/dBdBpBsind420LrlI/dBBLsindBLRlrI2020d4sinRrI24sin203202rIR302 rIS02dd4IlBrsinRrRxyxdBrIdlI Io op/d BdBB32202022322()IRRBxIRr032mr02IBR1 1）在圆心处）在圆心处rxRx,2 2）在远离线圈处）在远离线圈处0 x032ISBx320222()ISBRx032mr21)(sin22xRRrR222rRx圆电流的磁场分布圆电流的磁场分布解：解：3202drdIRBP P点：点：PR

5、RdlnIdllrdB3202drlnIRLBBdcotRl 2sin/dRdlsinrR 又21dsin20nIBdB的方向均向右的方向均向右LrlnIR3202d121A2A2r1BdPnI0nI021021(coscos)2nI1 1）螺线管无限长）螺线管无限长1nIB0 螺线管内部为均螺线管内部为均匀磁场。匀磁场。2 2）半无限长螺线管）半无限长螺线管的端点圆心处的端点圆心处2/,21012BnI02xOB1A2A如如21dsin20nIB通电螺线管的磁场分布通电螺线管的磁场分布例例: : 一个半径一个半径R R为的塑料薄圆盘，电量为的塑料薄圆盘，电量+ +q q均匀分布其上，圆盘以均

6、匀分布其上，圆盘以角速度角速度 绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。求圆盘中心处绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。求圆盘中心处的磁感应强度。的磁感应强度。带电圆盘转动形成圆电流。带电圆盘转动形成圆电流。rrRqId22d2dBBRq20解：解：取距盘心取距盘心r r处宽度为处宽度为d dr r的圆环作电流元的圆环作电流元电流强度为：电流强度为：rIB2dd0+ + + + + + + + + + + + + + + o o2dRrqrRrRq020d28.3 8.3 安培环路定理安培环路定理1 1、安培环路定理安培环路定理安培安培 在在的磁场中，磁感应强度的磁场中，磁感应强度 沿任何闭合沿任

7、何闭合路径路径L的线积分（的线积分（也称也称 的环路积分），等于路径的环路积分），等于路径L L所所的电流强度的代数和的的电流强度的代数和的 0 0倍。倍。BB0intdLBrI磁场的安培环路定理磁场的安培环路定理B:空间所有电流共同产生的磁场空间所有电流共同产生的磁场在磁场中任取的一闭合曲线，需要规在磁场中任取的一闭合曲线，需要规定一个绕行方向。定一个绕行方向。:Ld:rL L上的任一矢量线元上的任一矢量线元:intI环路包围的所有电流的代数和，必须环路包围的所有电流的代数和，必须与与L L相套链相套链3I1I2I4ILP P点点: :rIB201)1)环路包围电流环路包围电流 用载有恒定电

8、流用载有恒定电流I I的无限长直导线的磁场加以证明：的无限长直导线的磁场加以证明：2 2、 安培环路定理的证明安培环路定理的证明I I 在垂直于导线的平面内在垂直于导线的平面内取一通过场点取一通过场点P的任一的任一闭合曲线闭合曲线L，规定绕行方向为逆时针，规定绕行方向为逆时针dLrBdcosdrr而：而：LBr dprLrBdcosIBpdrrdI0200d2Id2200rrI 如果沿同一路径如果沿同一路径L L，但改变，但改变L L的绕行方向：的绕行方向：pIrBdLBrrBLdcosd2200II0drdrBLd)cos(dcosdrr磁感应强度矢量的环流只和闭合曲线内所包围的电流有关。磁

9、感应强度矢量的环流只和闭合曲线内所包围的电流有关。电流电流I I的正负规定：的正负规定： L L绕行方向与电流成右绕行方向与电流成右手螺旋关系时，电流手螺旋关系时，电流I I为正为正值；反之值；反之I I为负值。为负值。3I1I2I2I3I1IL LL L0 intdILBr环路中包围电流时的情况得证2) 2) 环路不包围电流环路不包围电流I2L1LABdLBr)dd(2210LLI12ddLLBrBr0LBr d 闭合曲线不包围电流时时的情况得证！闭合曲线不包围电流时时的情况得证！若有若干个稳恒电流存在，由叠加原理：若有若干个稳恒电流存在，由叠加原理：0()illB drI包围安培环路定理。

10、安培环路定理。 Ii 表示环路表示环路 l 所包围电流代数和。所包围电流代数和。电流流向与环绕方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。电流流向与环绕方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。 安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒定磁场，恒定电流安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此本身总是闭合的，因此安培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。安培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。B5 5、由安培环路定理求出感应强度、由安培环路定理求出感应强度 。1 1、分析磁场的对称性；、分析磁场的对称性；3 3、计算环路积分；、计算环路积分；8.4 8.4 利用安培环路定理求磁场的分

11、布利用安培环路定理求磁场的分布4 4、用右手螺旋定则确定曲线所包围电流的正负；、用右手螺旋定则确定曲线所包围电流的正负；应用安培环路定理的解题步骤：应用安培环路定理的解题步骤：2 2、过场点选择适当的闭合曲线并规定绕行方向，使、过场点选择适当的闭合曲线并规定绕行方向，使得得 沿此环路的积分易于计算：沿此环路的积分易于计算： 的量值恒定，的量值恒定， 与与 的夹角处处相等；的夹角处处相等；BdrBBIr?PB 求IrBP02rIBP20面电流密度面电流密度( 通过与电通过与电流方向垂直的单位长度流方向垂直的单位长度的电流）为的电流）为 j l?PB 求2、无限大均匀电流平面无限大均匀电流平面1、

12、无限长直线电流无限长直线电流0PB 2ljl012PBj这是一个均匀磁场这是一个均匀磁场无限长均无限长均匀电流圆匀电流圆柱面柱面rIB20外0内B0()illB drI包围磁场的安培环路定理磁场的安培环路定理PP例：例：载流长直螺线管内的磁场载流长直螺线管内的磁场rBabdabBabnI000NBInIl解：解：螺线管内部磁场向右螺线管内部磁场向右取如图所示闭合曲线，取如图所示闭合曲线，ddaBrddabBrBrdbcBrdcdBr设螺线管长度为设螺线管长度为 , ,共有共有N N 匝匝l规定绕行方向为顺时针规定绕行方向为顺时针IIBabdcP例例8.78.7 通电螺绕环的磁场分布通电螺绕环的

13、磁场分布已知环上线圈的总匝数为已知环上线圈的总匝数为N N，电流为电流为I I。ddLLBrBrrB2NI002NIBrnIB0rrr12解：解： 螺绕环的磁场是许多圆电流磁场的叠加。螺绕环的磁场是许多圆电流磁场的叠加。磁场方向在环内的每一点都沿切向。磁场方向在环内的每一点都沿切向。取与环同心的圆为闭合曲线取与环同心的圆为闭合曲线规定绕行方向为逆时针规定绕行方向为逆时针2r1rrPB 位移电流位移电流0cLB drI2SL1S对对L：对对S1：0cLB drI对对S2：0cLB drII纯电阻电路：纯电阻电路：8.5 8.5 与变化电场相联系的磁场与变化电场相联系的磁场d?LBr 把安培环路定

14、理推广到电流变化的回路时出现了矛盾。把安培环路定理推广到电流变化的回路时出现了矛盾。问题一：场客观存在，环流值必须唯一问题一：场客观存在，环流值必须唯一问题二：定理应该普适问题二：定理应该普适出现矛盾出现矛盾提出假设提出假设修正理论修正理论验证完善验证完善电流概念必须发展电流概念必须发展! !0cLB drI对对L：对对S1：0cLB drI对对S2：2SqqL1SabII0此电路中电流即不恒定也不连续！此电路中电流即不恒定也不连续！电容充放电电路：电容充放电电路： 麦克斯韦在电磁学方面的贡献是总麦克斯韦在电磁学方面的贡献是总结了库仑、高斯、安培、法拉第、诺埃结了库仑、高斯、安培、法拉第、诺埃

15、曼、汤姆逊等人的研究成果，特别是把曼、汤姆逊等人的研究成果，特别是把法拉第的力线和场的概念用数学方法加法拉第的力线和场的概念用数学方法加以描述、论证、推广和提升，预言了电以描述、论证、推广和提升，预言了电场波的存在，并创立了一套完整的电磁场波的存在，并创立了一套完整的电磁场理论。场理论。麦克斯韦麦克斯韦: : 麦克斯韦电磁场理论最卓越的成就就是预言了变化的电磁麦克斯韦电磁场理论最卓越的成就就是预言了变化的电磁场以波的形式按一定速度在空间传播，理论表明，光波也是电场以波的形式按一定速度在空间传播，理论表明，光波也是电磁波，从而把光现象和电磁现象联系了起来。磁波，从而把光现象和电磁现象联系了起来。

16、b b 板带电量为板带电量为- -q q，电荷密度为，电荷密度为- - 。回路中的传导电流可表示为回路中的传导电流可表示为设某一时刻设某一时刻t ta 板带电量为板带电量为+ +q q，电荷密度为，电荷密度为+；cdqIdtqqabII板间电位移矢量：板间电位移矢量：极板上电荷量的变化联结了导线中的电流极板上电荷量的变化联结了导线中的电流而极板间变化的电场又联结了极板上电荷量的变化而极板间变化的电场又联结了极板上电荷量的变化 当充电时，电场增加，当充电时，电场增加，dD/dtdD/dt的方向与场的方向一致，也的方向与场的方向一致，也与导线中的电流方向一致，即从左向右。与导线中的电流方向一致，即

17、从左向右。DdDSdtdtdS 从而使电路中的电流借助于电从而使电路中的电流借助于电容器的电场变化仍可视为连续的。容器的电场变化仍可视为连续的。 麦克斯韦提出了麦克斯韦提出了位移电流位移电流的假说：的假说：变化的电场也是一种变化的电场也是一种电流。用电流。用I Id d 表示，则表示，则ddDISdt 当放电时，电场减弱，当放电时，电场减弱，dD/dtdD/dt的方向与场的方向相反，但的方向与场的方向相反，但仍与导线中的电流方向一致，即从右向左。仍与导线中的电流方向一致，即从右向左。 在有电容器的电路中，电容器极板表面被中断的传导电流在有电容器的电路中，电容器极板表面被中断的传导电流I Ic

18、c，可以由位移电流，可以由位移电流I Id d继续下去，从而构成了电流的连续性。继续下去，从而构成了电流的连续性。dtdqqqabI位移电流位移电流dDJt于是qDSsdDdSdtSDdSt电容器板间电位电容器板间电位移矢量：移矢量：DqqabIIddDtdtdqIddSJdSqSD 二二. 位移电流与电位移矢量的关系位移电流与电位移矢量的关系麦克斯韦假设位移电流存在后，提出了全电流的概念麦克斯韦假设位移电流存在后，提出了全电流的概念dcIII 全电流全电流 传导电传导电流流 位移电流位移电流cSJdS()csDJdStdSJdS全电流定理（推广或普遍了的安培环路定理）全电流定理（推广或普遍了

19、的安培环路定理） 麦克斯韦假设了位移电流，把安培环路定理推广到非麦克斯韦假设了位移电流，把安培环路定理推广到非恒定情况下也适用恒定情况下也适用LH drI()csDJdSt用全电流定理就可以解决前面的充电电路中矛盾用全电流定理就可以解决前面的充电电路中矛盾cLH drI只有传导电流：只有传导电流：dLH drI只有位移电流：只有位移电流：2SqqL1SabII对对S1：对对S2：cdII 产生的原因不同：产生的原因不同：传导电流是由自由电荷运动引起的，而传导电流是由自由电荷运动引起的，而位移电流本质上是变化的电场。位移电流本质上是变化的电场。例：如图，半径为例：如图，半径为R=0.1m的两块圆

20、形平行板构成平行板电容器，的两块圆形平行板构成平行板电容器，两板间距两板间距dR(图上未按比例画）导线的半径图上未按比例画）导线的半径r=2mm.如充电过程如充电过程某时刻电容器两板间的场强随时间变化率某时刻电容器两板间的场强随时间变化率 求求（1）此时刻两板间的位移电流？）此时刻两板间的位移电流？ （2）两板间离中心线）两板间离中心线r =2cm处处P点的磁感应强度？点的磁感应强度？ （3）导线表面的磁感强度？）导线表面的磁感强度？1310/,dEV m sdtd（1）DddIdt20dERdt 122138.85 10(0.1)102.78A 两板绝缘所以两板间无传导电流，故两两板绝缘所以

21、两板间无传导电流，故两板间的全电流为板间的全电流为2.78A,根据电流的连续性导线中的全电流为根据电流的连续性导线中的全电流为2.78A,由于一般导体中场强随时间的变化率很小，所以导线中的位移电流由于一般导体中场强随时间的变化率很小，所以导线中的位移电流远小于传导电流。因此可以认为导线中的传导电流是远小于传导电流。因此可以认为导线中的传导电流是2.78A.I Ic cI Ic c + + - -R R（2）两板间离中心线）两板间离中心线r =2cm处处P点的磁感应强度？点的磁感应强度？LsDH dldSt，2002BdErrdt002dEBrdt 7121324108.85 10102 102

22、 61.1110T（3）导线表面的磁感强度？）导线表面的磁感强度？LHdlI全202IBr全-42.78 10 T7023I4102.78 B2 r22 10 全所以rpdI Ic cI Ic c + + - -R R 导线中位移电流很小，可以认为电路中的全电流都集中于半径导线中位移电流很小，可以认为电路中的全电流都集中于半径为为2mm的导线内，对导线表面用全电流定律，有：的导线内，对导线表面用全电流定律，有： 感生磁场的磁感应线是垂直于电场感生磁场的磁感应线是垂直于电场而圆心在圆板中心轴线上的同心圆。而圆心在圆板中心轴线上的同心圆。（2）两板间离中心线）两板间离中心线r =2cm处处P点的磁

23、感应强度？点的磁感应强度？0 0LsEB dldSt，2002BdErrdt002dEBrdt 7121324108.85 10102 102 61.1110T（3）导线表面的磁感强度？）导线表面的磁感强度？0LB dlI全202IBr全-32.78 10 T7023I4102.78 B2 r22 10 全所以rpdI Ic cI Ic c + + - -R R 导线中位移电流很小，可以认为电路中的全电流都集中于导线中位移电流很小，可以认为电路中的全电流都集中于半径为半径为2mm的导线内，对导线表面用全电流定律，有：的导线内，对导线表面用全电流定律，有： 感生磁场的磁感应线是垂直于电场感生磁场

24、的磁感应线是垂直于电场而圆心在圆板中心轴线上的同心圆。而圆心在圆板中心轴线上的同心圆。8.6 8.6 平行电流间的相互作用力平行电流间的相互作用力例如：例如：计算通电导线受到的磁力。计算通电导线受到的磁力。导线导线1在导线在导线2处的磁感应强度：处的磁感应强度：dIB1012导线导线2 2受到的磁力受到的磁力2L21dLFIlBLBI12dLII2102导线导线2 2单位长度上受到的磁力：单位长度上受到的磁力：01222I IFdI I1 11 1I I2 22 2d d1B2F2B1F导线导线1 1单位长度上受到的磁力：单位长度上受到的磁力：01212I IFd结论：结论： 同向相斥，异向相吸！同向相斥，异向相吸！1B 2B例：一半径为例：一半径为R的无限长半圆柱面导体，其上电流（沿的无限长半圆柱面导体，其上电流（沿z方向）方向）与其轴线上一无限长直导线的电流等值反向，电流与其轴线上一无限长直导线的电流等值反向，电流I在圆柱面在圆柱面上均匀分布。上均匀分布。3、若用另一无限长直导线（通有大小、方向与半圆柱面相同的电、若用另一无限长直导线（通有大小、方向与半圆柱面相同的电流流I）代替圆柱面，要产生同样的作用力，该导线应放在何处？）代替圆柱面，要产生同样的作用力，该导线应放在何处