三大抽样分布

1、编辑ppt15.4 三大抽样分布三大抽样分布编辑ppt2 本次课教学目的： 掌握三大抽样分布的构造性定义并熟悉一些重要结论 重点难点: 三大抽样分布的构造及其抽样分布 一些重要结论 教学基本内容及其时间分配 三大抽样分布的构造性定义30分钟 定理及其三个推论以及证明70分钟根据本节课的特点所采取的教学方法和手段: 启发式讲授，图文结合加深对三大分布的印象编辑ppt3引 言 有许多统计推断是基于正态分布的假设的，以有许多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的在实际中有广泛的应用，这是因为这三个统计量不仅有

2、明确背景，而且其应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，他们被称为统计中抽样分布的密度函数有明显表达式，他们被称为统计中的的“三大抽样分布三大抽样分布”. 若设若设 是来自标准正态分布的两个是来自标准正态分布的两个相互独立的样本，则此三个统计量的构造及其抽样分布相互独立的样本，则此三个统计量的构造及其抽样分布如表如表5.4.1所示所示.mnyyyxxx,2121编辑ppt4编辑ppt55.4.1 分布(卡方分布)2 nnGaXGaXNXniiii2122221,221,21) 1 , 0(伽玛分布的可加性问题：如何确定问题：如何确定 的分布？的分布？2编

3、辑ppt6 0,221)(21222yeynypnynn分布的密度函数为于是,2nEnVar2)(2图像：图像：密度函数的图像密度函数的图像是一个只取非负值非负值的偏态分布偏态分布 数字特征：数字特征：编辑ppt7编辑ppt84n6n10n编辑ppt94n6n10n20n编辑ppt101)(212nP) 10(当随机变量2)(2n时，对给定的，称满足1)(21n的是自由度为n的卡方分布的分位数. 31.181010295. 0205. 01）（）（编辑ppt11)10(2编辑ppt125.4.2 F分布分布其中m称为分子自由度，n称为分母自由度. ,21mX1X2X与定义定义5.4.25.4.

4、2 设 ,22nX独立，则称nXmX21F的分布是自由度为m与n的F分布,记为nmFF,问题：如何确定问题：如何确定 的分布？的分布？F首先，我们导出21XXZ的密度函数 ZmnF 第二步，我们导出 的密度函数 编辑ppt130,221)()(0,221)()(2212222222121212112121xexnxpnXxexmxpmXxnnxmm首先，我们导出21XXZ的密度函数 编辑ppt14 221212nmzzzpnmmz于是dueuunm0122nm01222212zzznmnmnmmzxu122做变换令 2222102)(dxxpzxpxzpZ21201222122222dxexn

5、mzzxnmnmmZ的密度函数为 编辑ppt15ZmnF 第二步，我们导出 的密度函数 nmynmynmnmnmnmynmpypnmmZF212122221221222nmmmynmynmnmnm这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。） 编辑ppt16编辑ppt1740 n10 n 4n1n编辑ppt18.1),(1,),10(),(11分位数分布的的与是自由度为的称满足对给定的若FnmnmFnmFFPnmFF编辑ppt191,1nmFFP)10, 4(F分位数分布的的即是自由度为于是查表知给定95. 0)10, 4(48. 3)10, 4(95. 048. 3)10, 4(,10, 4,0

6、5. 095. 0FFFPnm编辑ppt20有F分布的构造知，若FF(m,n),则有1/F F(n,m),故对给定10， mnFFPmnFFP,1,11,1mnFFPnmFmnF,1,11,1nmFFP数？的时候，如何确定分位比较小比较大问题：当)1 (编辑ppt2174. 451051095. 005, 01，FF3 . 033. 3110, 515 ,1095. 005. 0FF例5.4.1 若取m=10,n=5, =0.05,那么从附表5上查得nmFmnF,1,1由编辑ppt225.4.3 t 分布 定义5.4.3 nXNX22110，21XX 与设随机变量独立且nXXt/21 ntt

7、则称的分布为自由度为n的t分布，记为 问题：如何确定问题：如何确定 的分布？的分布？t由标准正态密度函数的对称性知，有相同分布，与11XX从而t与-t有相同分布。 )(21)0()0()0()0(22ytPytPtyPytPytP), 1 (/22212nFnXXt 由于编辑ppt23所以在上式两边同时关于y求导得t分布的密度函数为：.,)1 ()2()21()11 ()()2()21()1)(21()()(2122121212212ynynnnyynynnnyypypnnFt这就是自由度为的分布的密度函数。 编辑ppt24分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布 与标准正态分布的密度函数

8、形状类似，只是峰比标准正态分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。 编辑ppt25编辑ppt26) 1 , 0(N)4( t) 1 ( t编辑ppt27自由度为1的分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；1时,分布的数学期望存在且为0。1时,分布的方差存在，且为/(-2)；当自由度较大 时，分布可以用(0,1)分布近似(见下页图)30n比如编辑ppt28) 1 , 0(N)40( t编辑ppt29N(0，1)和t(4)的尾部概率比较c=2c=2.5c=3c=3.5XN(0,1)0.04550.01240.00270.000465Xt(4)0.11610.06680.03990.0249cX

9、p编辑ppt30)(ntt1)(1nttP)(1nt当随机变量 时称满足的是自由度为的分布的1-分位数。)()(1ntnt812. 1)10()10(95. 005. 0tt由于分布的密度函数关于0对称，故其分位数间有如下关系譬如。812. 1)10()10(95. 005. 01tt)(1nt那么从附表4 上查到可以从附表4中查到。譬如=10,=0.05,分位数编辑ppt31编辑ppt32编辑ppt335.4.4 一些重要结论的样本，其样本nxx,1),(2Nniixnx11niixxns122)(11x2s),(2nNx) 1() 1(222nsn定理定理5.4.1 设是来自正态总体均值和

10、样本方差分别为和则有（1）与（2）（3）相互独立；编辑ppt34证明 记TnxxX),(1，则有)( XEIXVar2)(取一个n维正交矩阵A，其第一行的每一个元素均为n1,如) 1(1) 1(1) 1(1) 1(10231231231001211211111nnnnnnnnnnnnnA编辑ppt35令Y=AX，则由多维正态分布的性质知Y仍服从n维正态分布，其均值和方差分别为00nEXAEYTTAIAAXVarAYVar2)(）（IAAT222由此，TnyyY),(1且都服从正态的各个分量相互独立，分布，其方差均为 ,而均值不完全相同，nyE)(10)(2yE0)(nyEnyExE1)(编辑p

11、pt36 nNxnyVarnxVarnyExE2211,11)()(niiTTniTixAXAXYYy1212由于niiniiniiniiyyyxnxxxsn122112212122)()() 1(所以这证明了结论（1） 这证明了结论（2） ) 1()() 1(22222nysnnii) 1 , 0(, 02NyNyii由于这证明了结论（3） 编辑ppt37推论5.4.1 在定理5.4.1的记号下，有) 1()(ntsxnt)6 . 4 . 5(1/) 1(/)(22nsnnxsxn将5.4.4 左端改写为 由于分子是标准正态变量，分母的根号里是自由度为n-1的t变量除以它的自由度，且分子与分

12、母相互独立，由t分布定义可知，tt（n-1），推论证完。证明 由定理5.4.1（2）可以推出)5 . 4 . 5() 1 , 0(/Nnx编辑ppt38 mxx, 1)(21, 1Nnyy,1)(22, 2N,)(11,)(11122122niiymiixyynsxxms推论5.4.2 设是来自的样本，是来自的样本且此两样本相互独立，记) 1, 1(/222212nmFssFyx) 1, 1(/22nmFssFyxniimiiynyxmx111,1其中则有2221特别，若，则编辑ppt392xs2ys) 1() 1(2212msmx) 1() 1(2222nsny证明: 由两样本独立可知，与相互独立且由F分布定义可知FF（m-1，n-1）编辑ppt40222212)()(2) 1() 1(1212222nmyyxxnmsnsmsniimiiyxw)8 . 4 . 5()2(11)()(21nmtnmsyxw推论5.4.3 在推论5.4.2的记号下，设,并记则编辑ppt41,/,21mNx)/,(22nNy)11( ,(221nmNyx).1 , 0(11)(-)y