2018届高考（理）大一轮复习：第9章第10节圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

1、第十节圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题本节主要包括2个知识点：1.圆锥曲线中的定点、定值问题；2.圆锥曲线中的存在性问题.突破点(一)圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是解析几何中的常见问题，它多与圆锥曲线的性质相结合，难度较大，常出现在解答题中.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 圆锥曲线中的定点问题例1(2016·大庆质检)已知椭圆C：y21(a>1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x3)2(y1)23相切(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且·0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标解(1)圆

2、M的圆心为(3,1)，半径r.由题意知A(0,1)，F(c,0)，直线AF的方程为y1，即xcyc0，由直线AF与圆M相切，得，解得c22，a2c213，故椭圆C的方程为y21.(2)证明：由·0知APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为ykx1，直线AQ的方程为yx1.联立方程组整理得(13k2)x26kx0，解得x0或x，故点P的坐标为，同理，点Q的坐标为.所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为y，即yx.所以直线l过定点.方法技巧圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定

3、点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设条件化简、变形求得(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得方法(一)从特殊到一般求定值例2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB.求证：原点

4、O到直线AB的距离为定值，并求出该定值解(1)由题意知，e，2，又a2b2c2，所以a2，c，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x±，此时，原点O到直线AB的距离为.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240.则(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0，x1x2，x1x2，则y1y2(kx1m)(kx2m)，由OAOB得kOA·kOB1，即·1，所以x1x2y1y20，即m2(1k2)，所以原点O到直线AB的距离

5、为.综上，原点O到直线AB的距离为定值.方法技巧定值问题必然是在变化中所表示出来的不变的量，常表现为求一些直线方程、数量积、比例关系等的定值解决此类问题常从特征入手，求出定值，再证明这个值与变量无关方法(二)直接消参求定值例3如图，已知椭圆1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0)，点H在椭圆上(1)求椭圆的方程；(2)若点M在圆x2y2b2上，且M在第一象限，过M作圆x2y2b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：PF2Q的周长为定值，并求出该定值解(1)由题意，得解得所以椭圆方程为1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1(|x1|3)，|PF2|2(x11)2y(x11)

6、28(x19)2，所以|PF2|(9x1)3x1.连接OM，OP(图略)，由相切条件知|PM|2|OP|2|OM|2xy8x88x，所以|PM|x1，所以|PF2|PM|3x1x13，同理可求得|QF2|QM|3x2x23，所以|F2P|F2Q|PQ|336为定值方法技巧解这类问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过

7、x轴上一定点解：(1)因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，所以1，所以p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设A，B.因为直线OA，OB的斜率之积为，所以·，化简得t232.所以A(8，t)，B(8，t)，此时直线AB的方程为x8.当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组消去x，得ky24y4b0.由根与系数的关系得yAyB，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以·，即xAxB2yAyB0.即·2yAyB0，解得yAyB32或yAyB0(舍去)所以yAyB32，即b

8、8k，所以ykx8k，即yk(x8)综上所述，直线AB过定点(8,0)2.如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：1上的任一点，从原点O向圆M：(xx0)2(yy0)22作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)试问|OP|2|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由解：(1)证明：因为直线OP：yk1x，OQ：yk2x与圆M相切，所以，化简得：(x2)k2x0y0k1y20，同理：(x2)k2x0y0k2y20，所以k1，k2是关于k的方程(x2)k22x0y0ky20的两个不相等的实数根，所以k1·k

9、2.因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以1，即y3x，所以k1k2为定值(2)|OP|2|OQ|2是定值，定值为9.理由如下：当M点坐标为(，)时，直线OP，OQ落在坐标轴上，显然有|OP|2|OQ|29.当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为k1k2，所以yyxx，因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，所以即所以xx，整理得xx6，所以yy3，所以|OP|2|OQ|29.3.椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，P(m,0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A，B两点当m0时，·.(1)求椭圆C的方程；(

10、2)证明：|PA|2|PB|2为定值解：(1)因为离心率为，即e，所以.当m0时，l的方程为yx，代入1并整理得x2.设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，·xyx·.又因为·.所以a225，b216，椭圆C的方程为1.(2)证明：l的方程为xym，代入1，并整理得25y220my8(m225)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)则|PA|2(x1m)2yy，同理|PB|2y.则|PA|2|PB|2(yy)(y1y2)22y1y2·41.所以|PA|2|PB|2为定值突破点(二)圆锥曲线中的存在性问题1.圆锥曲线中的存在性问题具有开放性和发散性，此

11、类问题的条件和结论不完备，要求考生结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、比较、抽象、概括等，是高考中的常考题型，作为解答题的压轴题出现，难度一般较大，常和不等式、函数、直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，对数学能力和数学思想有较高的要求.2.圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)点的存在性.(2)曲线的存在性.(3)最值的存在性.(4)探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 探究是否存在常数的问题例1 如图，椭圆E：1(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且·1.

12、(1)求椭圆E的标准方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得··为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0,1)，且·1，于是解得a2，b.所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)>0，所以x1x2，x1x2.从而，··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(

13、1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时，··3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，····2.当1时，··3，为定值综上，存在常数1，使得··为定值3.方法技巧解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在探究是否存在点的问题例2已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交

14、于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得·0？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解(1)由c1，ac1，得a2，所以b，故椭圆C的标准方程为1.(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.设P(x0，y0)，则x0，y0kx0mm，即P.M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，··(4t)·(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.存在点M(1,0)符合题意.探究是否存在直线的问题例3已知椭圆C：1(a>b>0)的右焦点为F2(2,0)，点P在

15、椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|F1N|(F1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)法一：椭圆C的右焦点为F2(2,0)，c2，椭圆C的左焦点为F1(2,0)由椭圆的定义可得2a 2，解得a，b2a2c2642.椭圆C的标准方程为1.法二：椭圆C的右焦点为F2(2,0)，c2，故a2b24，又点P在椭圆C上，则1，故1，化简得3b44b2200，得b22，a26.椭圆C的标准方程为1.(2)假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为yxt，由得x23(xt)260，即4x26tx(3t26)

16、0，(6t)24×4×(3t26)9612t2>0，解得2<t<2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由于|F1M|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1EMN，故kF1E1，又F1(2,0)，E，即E，kF1E1，解得t4.当t4时，不满足2<t<2，不存在满足条件的直线l.方法技巧解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.如图，椭圆C：1(a>b>0)经过点P1，离心率e，直线l的方程为x4.(

17、1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解：(1)由P在椭圆上得，1.依题设知a2c，则b23c2.代入解得c21，a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)由题意可设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)代入椭圆方程并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.在方程中令x4得，M的坐标为(4,3k)从而k1，k2，k3k.由于A，F，B三点

18、共线，则有kkAFkBF，即有k.所以k1k22k·.代入得k1k22k·2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(2,0)，点B(2，)在椭圆C上，直线ykx(k0)与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设椭圆C的方程为1(a>b>0)，因为椭圆的左焦点为F1(2,0)，所以a2b24.由题可得椭圆的右

19、焦点为F2(2,0)，已知点B(2，)在椭圆C上，由椭圆的定义知|BF1|BF2|2a，所以2a34.所以a2，从而b2.所以椭圆C的方程为1.(2)因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为(2，0)因为直线ykx(k0)与椭圆1交于两点E，F，设点E(x0，y0)(不妨设x0>0)，则点F(x0，y0)联立方程消去y得x2.所以x0，y0，所以直线AE的方程为y(x2)因为直线AE与y轴交于点M，令x0，得y，即点M.同理可得点N.假设在x轴上存在点P(t,0)，使得MPN为直角，则·0.即t2×0，即t240.解得t2或t2.故存在点P(2,0)或P(2,0)，无论

20、非零实数k怎样变化，总有MPN为直角3.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为1(a>b>0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212.故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)24×3(t212)1443t20，解得4t4

21、.另一方面，由直线OA与l的距离等于4，可得4，从而t±2.由于±24，4 ，所以符合题意的直线l不存在全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2015·新课标全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a>0)交于M，N两点(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解：(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，所以C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，所以C在点(2，a)处

22、的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意2(2015·新课标全国卷)已知椭圆C：9x2y2m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜

23、率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由解：(1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOM·k9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP.由得x，即xP .将点的坐标

24、代入直线l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2×，解得k14，k24.因为ki>0，ki3，i1,2，所以当直线l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形课时达标检测 难点增分课时设计3级训练，考生据自身能力而选一、全员必做题1已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是B1F2的中点，若·2，且.(1)求椭圆的方程；(2)点Q是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1，QA2与直线x分别交于E，F两点，试证：以EF为直径

25、的圆与x轴交于定点，并求该定点的坐标解：(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，则C.由题意得即即解得从而a24，故所求椭圆的方程为1.(2)证明：由(1)得A1(2,0)，A2(2,0)，设Q(x0，y0)，易知x0±2，则直线QA1的方程为y(x2)，与直线x的交点E的坐标为，直线QA2的方程为y(x2)，与直线x的交点F的坐标为，设以EF为直径的圆与x轴交于点H(m,0)，m，则HEHF，从而kHE·kHF1，即·1，即2，由1得y.所以由得m±1，故以EF为直径的圆与x轴交于定点，且该定点的坐标为或.2在平面直角坐标系xOy中，已

26、知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E：y21上的非坐标轴上的点，且4kOA·kOB10(kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率)(1)证明：xx，yy均为定值；(2)判断OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)证明：依题意，x1，x2，y1，y2均不为0，则由4kOA·kOB10，得10，化简得y2，因为点A，B在椭圆上，所以x4y4，x4y4，把y2代入，整理得(x4y)x16y.结合得x4y，同理可得x4y，从而xx4yx4，为定值，yyy1，为定值(2)SOAB|OA|·|OB|sinAOB··&

27、#183;· |x1y2x2y1|.由(1)知x4y，x4y，易知y2，y1或y2，y1，SOAB|x1y2x2y1|1，因此OAB的面积为定值1.3(2017·河北质量检测)已知椭圆E：1的右焦点为F(c,0)，且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由椭圆的对称性知|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2

28、b2c24，abc0，b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，32(6k3)0，k.x1x2，x1x2，24·，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)4×5，解得k±，k不符合题意，舍去存在满足条件的直线l，其方程为yx.二、重点选做题1A为曲线y上任意一点，点B(2,0)为线段AC的中点(1)求动点C的

29、轨迹E的方程；(2)过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M，N两点，在圆x2y21上是否存在一点P，使得PM，PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设C(x，y)，A(m，n)，因为B(2,0)是AC的中点，所以所以又n，所以所求方程为x24y.(2)假设存在点P(x0，y0)，设M，N，直线MN的方程为ykx1，联立得x24kx40，则切线PM的方程为y(xx1)，将点P(x0，y0)代入化简得x2x1x04y00，同理得x2x2x04y00，所以知x1，x2是方程x22x0x4y00的两根，则x1x24y04，所以y01，代入圆的方程得x00，所以存在点

30、P(0，1)，使得PM，PN分别为轨迹E的切线2已知椭圆M：1(a>b>0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为，动直线yxm交椭圆M于不同的两点A，B，T(1,1)(1)求椭圆M的标准方程；(2)试问：TAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得，b1，又a2b2c2，所以a，c1，椭圆M的标准方程为y21.(2)由得3x24mx2m220.由题意得，16m224(m21)>0，即m23<0，所以<m<.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2| .又由题意得，T(1,1)到直线yxm的距离d.假设TAB的面积存在最大值，则m0，STAB|AB|d××.由基本不