椭圆及其标准方程教学二

1、“椭圆及其标准方程”教学二1 .实验操作，归纳定义教师：椭圆是一个很美的图形，在生活中我们经常接触到这样的图形，谁能举出实例？学生：大到天体运动，人造卫星轨迹；小到把一个圆柱形水杯倾斜时水面的外观形象等。教师：你举出的这些实例非常好！你对椭圆的形状都有一些什么感觉？学生：最直观的感觉是把圆压扁成椭圆。（课前让每位学生准备一个可以压缩的弹性圆模型，一段线条，两个图钉，一张硬纸板，一支铅笔）教师：我们一起做个实验，假设弹性圆是如图1,其半径OB与不弯曲的线段 BF/DBF2完全重合，两线段可以绕 B转到，另两端点F1、F2可以分开，我将图1中的弹性圆从点B处竖直向下压，F1、F2两点在x轴上从原点

2、O同时分开，把圆压扁成了椭圆，变成图2,大家注意图2中的定点F1、F2的产生过程。.教师追问：此时的椭圆中，线段 BF1、BF2、OA及OA2与圆有什么联系？学生：它们的长度是圆的半径。教师：设|OAJ=a, |OB| 二 b, |OF2 |二c,则它们三者之间有什么关系？222222 子生：a =b+c （这样可以使b =a c来得自然些）教师：可见，在椭圆上B点满足：|BF1 | 十 | BF2 |=2a,那么在椭圆上取其它点 M，如图3,是否也满足：|MF1 | 十 |MF2 |=2a?教师：请大家拿出线条， 选取线条长为| BF1 | + | BF2 | （即2a ）用两个图钉钉住线条

3、两端在定点F1、F2，请你们画一画是什么样的轨迹？学生：轨迹与压扁后的椭圆曲线重合。教师追问：这说明什么？学生：说明椭圆上任一点 M到两个定点F1、F2的距离之和都是常数 2a。教师追问：你能归纳出椭圆的定义吗？学生：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹（教师在黑板上写出学生总结的椭圆定义）教师：很好，我们改变一下 F1、F2的位置，大家再画一画，看一看椭圆的情形？学生4： F1、F2位置越近椭圆越圆，F1、F2位置越远椭圆越扁。教师：这位同学总结得很好，能否说明的更具体些呢？教师：（启发）根据线条长 2a与两定点F1、F2的距离2c具体说明轨迹情形？学生：（1）当2a 2c时，轨

4、迹为椭圆。（2）当2a=2c时，轨迹是一条线段，是以 F1、F2为端点的线段。（3）当2a | F1 F2 |0o教师：（黑板上用彩笔写上：其中 2a|FiF2|A0）补充得很好，这里我们把 Fi、F2叫做椭圆的焦点，F1、F2的距离叫做焦距，记作|F1F2|=2c。2 .类比探究，建坐标系教师：上一节我们学习了 “曲线与方程”，请同学们回忆求曲线方程的步骤是什么？学生9:建（系）一设（点）一限（约束条件）一代（入）一化（简），教师：很好，求曲线方程步骤，简单讲就是：建设现（限）代化，教师追问：能否类比圆的标准方程建立过程，判断“选择适当的直角坐标系” 的标准是什么？学生：使方程简单。教师再追

5、问：如何会使方程简单？学生：利用图形的几何特征。教师：圆和椭圆的几何特征是什么？学生：主要是对称。教师：看来选择适当的直角坐标系，就是利用曲线的对称性，将对称轴作为坐标轴上， 尽可能多的已知点放置于坐标轴上。教师追问：椭圆的对称轴在哪里？学生：有两条互相垂直的对称轴，一是连结两定点F1、F2所在直线；二是线段 F1F2的垂直平分线。教师：你是如何发现的？学生：我发现将画的椭圆沿直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线对折重合。教师：经过以上探究，类比圆的标准方程建立过程，椭圆的标准方程相应的直角坐标系应取两条互相垂直的对称轴为坐标轴。教师追问：对称轴：直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线，哪一

6、条为x轴？哪一条为y轴呢?学生：以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴为好。教师追问：为什么？（教师在黑板上画出这种直角坐标系，图 4（1）学生：我感觉这样好，至于为什么？我也说不清楚。学生：以线段F1F2的垂直平分线为x轴，F1F2所在直线为y轴为好。教师追问：为什么？（教师也在黑板上画出这种直角坐标系，图 5（H）学生：我感觉，这样也可以吧，我也说不清楚。教师：为了选择，我们来看一下（I）、（n）的相同点及不同点。学生：相同点；均是以 F1、F2中点为坐标原点，以 F1F2为坐标轴，不同点 F1F2所在的坐 标轴不同。教师：是的，它们只不过坐标轴不同，因此只要把（I）焦点

7、在 x轴的方程中x和y互换， 即可得到（n）焦点在 y轴的方程，所以，选择直角坐标系（I）、（n）我们可以得到一样的最简方程，即椭圆的标准方程。3 .研究算式，化简方程教师：根据以上分析，我们只要求（I）焦点在x轴的椭圆标准方程即可。请大家求出椭圆的方程。学生：（学生口述，教师板书）如图 4 （I）,以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系 xOy。设M （x, y）是椭圆上任意一点，椭圆的的焦距为2c（c0）,那么焦点后、F2的坐标分别为（c,0）、（c,0）,又设M与F1、F2的距离的和等于2a,由椭圆的定义，椭圆就是集合P=M |MF1 |十| MF2 |

8、=2a,因为 |MFi |= ；（x c）2 y2 , |MF2 尸.（x -c）2 y2 ,所以J（x+c）2 +y2 + J（x-c）2+y2 =2a ,为化简这个方程教师插话：按照求曲线方程步骤： 建（系）一设（点）一限（约束条件）一代（入）一化（简）。 即建设现（限）代化，已经完成“建设现代” 了，还有 “化”没有完成，请大家八仙过海各显神通，完成式子的化简任务。(学生交流、讨论，动笔演算，教师巡视)教师：(通过巡视，发现同学们都在使用两种化简方法)我请两位同学甲和乙到黑板板演你的化简过程。(甲、乙演算有困难时，教师及时点拨，一段时间完成演算)教师：分析甲的解法：把左边一个根式移到右边

9、后。两边同时平方，再把其他项移到右边， 留根式在左边，再两边同时平方，整理即可。我们称之为移项平方法；分析乙的解法：两边 直接平方，留根式在左边，其余项移到右边，再两边平方，并整理也可。我们称之为直接平 方法。上述两法均可行，但运算量太大，运算过程也不美，有没有更好更有效的方法呢？教师：(启发)我们仔细观察式子：J(x +c)2 + y + J(x cj + y2 = 2a结构特征，发现两个根式有很好的对称性，且又是齐次等系数根式，可否考虑分子有理化？(学生演算，请一学生到黑板板演)学生：因为 J(x+c)2 +y2 +J(xc)2 +y2 =2a (1),分子有理化可得：,2222 2cx，

10、(x+c)+y J(xc) +y = (2)a(学生下一步不知所措，请学生入座)教师：(启发)多美的一对对偶式，(1) 一(2)得：J(x -c)2 + y2 =acx (3)a如果静下来观察(3)式，你还会有新的发现吗？cc a2I PF J c 子生：即| pf2 |= a x = ( x),则2=一，由此付出：动点 P到te点F2 (c,0)aa caa-x c2ac .的距离和到定直线 x = 的距离的比等于常数 一的轨迹是椭圆。ca教师：如果(1) + (2)得:J(x+c)2 + y2 =a+cx,你会类比上法得出什么? a2a学生：米用同样的万法得出；动点 P到定点F1(-c,0

11、)的距离和到定直线 x =- 的距离的 c比等于常数c的轨迹是椭圆。a教师：(教师展示课件)解：如图4 (I),以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系xOy。设M (x, y)是椭圆上任意一点， 椭圆的的焦距为2c ( c 0),那么焦点F1、F2的坐标分别为(y,0)、(c,0)，又设M与F1、52的距离的和等于2a,由椭圆的定义，椭圆就是集合 P=M |MFi |+|MF2 |=2钟，因为 |MFi | = (x c)2 y2 , |MF2 |=4(x -c)2 y2 ,所以 J(x +c)2 +y2 + J(x c)2 +y2 =2a ,为化简这个方程

12、，将左边的一个根式移到右边，得,(x+cj +y2 =2a_J(x_c)2 +y2将这个方程两边平方，得：(x +c)2 +y2 =4a2 _4aq,(x c)2 + y2 +(xc)2 + y2 ,移项，整理得：a J(x c)2 + y2 = a2 -cx ,上式两边再平方，得：a4 - 2a2cx - c2x2 = a2x2 -2a2cx - a2c2 - a2y2整理得：(a2 -c2)x2 +a2y2 =a2(a2 c2)。22两边同除以a2(a2c2),得 2+r2=1，由于b2=a2c2,(前面已经说明) a a - c22可得：今当=1 a b教师追问：能否写出焦点在 y轴上的

13、椭圆标准方程？学生：(齐声地)能。教师：方程的具体形式？22学生：、+与=1(aAb0)b2 a2教师：观察一下焦点分别在 x轴、y轴上的椭圆的标准方程， 如何根据方程判断其焦点在 x2222xyx y轴上，还是在 y轴上？如 一+，= 1, 一+，=i 它们焦点分别在哪一个轴上？25 1616 25学生：(讨论)看分母大小，哪个分母大就在那一个轴上教师：我们对椭圆方程再认识：(1)椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，分母是一个正数，右边是1(2)椭圆的三个参数 a、b、c满足a2=b2+c2； 22 一一 (3)椭圆的标准万程中 x、y的系数哪个小，焦点在哪一个轴上。4 .初步应用，

14、巩固知识教师：前面已经获得了基本知识，接下来通过一些练习，巩固基本知识。例：填空：22已知椭圆的标准方程是 +-=1,则16 25(1) a= b= c=(2)焦点在 轴上，其焦点坐标为 ,焦距为 。(3)若CD为过左焦点F1的弦，则CF1F2的周长为 AF2CD周长为学生19:(回答，略)22教师：如果将上例中的椭圆方程改为+ =1 ,此时上述(1)、(2)、(3)有何变化？25 16学生20:(回答，略)5.梳理小结，概括提升教师：本节课我们研究了椭圆及其标准方程。知识方面：总结了椭圆的定义；探讨了椭圆的扁圆；研究了在a、c不同情况下曲线轨迹；求出了椭圆的标准方程；了解了焦点与方程形式关系

15、(课件展示) ；(1)椭圆定义：椭圆是平面上到两定点F1、F2的距离之和2a为常数的动点轨迹，其中 2a | F1F2 | 0cc .(2)椭圆是扁圆：当 一越小时，椭圆愈圆，当 一越大时，椭圆愈扁， aa(3)当2a 2c时，轨迹为椭圆。当2a = 2c时，轨迹是一条线段，是以 F1、52为端点的线段。当2a ；2c时,无轨迹。当c=0时，轨迹为圆。22(4)椭圆的标准方程：焦点在x轴上的椭圆标准方程：与+七=1(abA0)；a b22焦点在y轴上的椭圆标准方程：勺+ 4=1( ab0)ob2 a2能力方面：巩固了求曲线方程的步骤与方法；学会了用运动变化的观点研究问题；感 悟了数与形之间的对照和相互转化思想，通过揭示知识发生发展的原始轨迹，体验了数学知识的“再创造”过程。6.作业练习，强化知识1 .写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) a =4, b=1,焦距在x轴上；(2) a=4, c = J45,焦距在y轴上；53(3)两个焦点坐标为 F1(2,0) , F2(2,0),且经