高考数学 球的内切外接问题分类例析 北师大版

1、高考球的知识问题分类例析一、突出球心1（江西卷）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）AS1<S2 B. S1>S2C. S1=S2 D. S1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD，则VABEFDVOABDVOABEVOBEFD，VAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFDSADCSAECSE

2、FC又面AEF公共，故选C2.（四川卷）已知球的半径是1，、三点都在球面上，、两点和、两点的球面距离都是，、两点的球面距离是，则二面角的大小是（A） （B） （C） （D）解析：球的半径是R=，三点都在球面上，两点和两点的球面距离都是，则AOB，AOC都等于，AB=AC，两点的球面距离是，BOC=，BC=1，过B做BDAO，垂足为D，连接CD，则CDAD，则BDC是二面角的平面角，BD=CD=，BDC=，二面角的大小是，选C.3.（浙江卷）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是(A) (B)

3、 (C) (D) G【考点分析】本题考查球面距的计算，基础题。解析：如图，点E、F在该球面上的球面距离为故选择B。4.（北京卷）已知三点在球心为，半径为的球面上，且那么两点的球面距离为_，球心到平面的距离为_.解：如右图，因为，所以AB是截面的直径，又ABR，所以OAB是等边三角形，所以ÐAOB，故两点的球面距离为，于是ÐO1OA30°，所以球心到平面的距离OO1Rcos30°.二、展示大圆5.（四川卷）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（A） （B） （C） （D）ABCPDEF解析：如图，正四棱锥底面的四

4、个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO底面ABCD，PO=R，所以，R=2，球的表面积是，选D.6.（辽宁卷）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是_解：显然正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥的高依题意可得为2，依此可求得三、巧作截面7（全国II）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（A） (B) (C) (D)【解析】设球的半径为R, 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一个半径为的圆,所以,故选A8.（全国II）圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比

5、为，则圆心到球心的距离与球半径的比。解：设圆的半径为r，则，由得r : R: 3又，可得1 : 3四、掌握规律在解决球问题时，除了以上几种方法外，还应掌握一定的规律如长方体的外接规律：长方体的外接球直径恰为其对角线长为，即特别地，正方体的外接球直径恰为其对角线长，即9（安徽卷）表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A B C D解：此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，则此球的直径为，故选A。10（福建卷）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于A.2 B. C. D.解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于，

6、选D.11（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为(A)1 (B)13 (C)13 (D)19解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为13，选C12.（广东卷）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_.解：五巧构模型13（山东卷）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,DAB=60°,E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则PDCE三棱锥的外接球的体积为(A) (B) (C) (D) 解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，选C14.(陕西卷)水平桌面上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面的距离是 解：水平桌面上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连