同济大学弹性力学往年试题

1、同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸A 卷2006 2007学年第一学期课程名称：弹性力学课号：任课教师：专业年级：学号：考试（V）考查（）考试（查）日期：2007年1月22日出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、遇春、尧舜、邹祖军、赖永瑾、蔡永 昌教学管理室主任签名：1. 是非题（认为该题正确，在括号中打 V;该题错误，在括号中打 X。）（每小题2分）（1） 薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积的横向荷载q来等代。（）（2） 对于常体力平面问题，若应力函数 （x, y）满足双调和方程2 20，那么由（x, y）确定的应力分量必然满足平衡微分方程。（）（3 ）在求解弹性力学问题时，要

2、谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结果会有所差别。（）（4） 如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。（）（5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其截面扭矩均满足如下等式：M 2 F（x,y）dxdy,其中F （x, y）为扭转应力函数。（）（6） 应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。（）（7 ）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。（）（8） 对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。（）（9） 位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（）（10 ）三个主应力方向一定是两

3、两垂直的。（）2. 填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小题2分（1）弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 的一门学科。（2）平面应力问题的几何特征是： 。（3）平衡微分方程则表示物体 的平衡，应力边界条件表示物体 的平衡。（4）在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是 。（5）弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是：。 应力函数 x, y ax4 bx2 y2 cy4如果能作为应力函数，其a, b,c的关系应该（7）轴对称的位移对应的 一定是轴对称的。（8）瑞利-里兹法的求解思路是： 首先选择一组带有待定系数的、满足的位移分量

4、，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。（9）克希霍夫的直法线假设是指：变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且 。（10）一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有 个，但其不为零的应力、应变和位移分量有个。3. 分析题（共20分，每题10分）（1）曲梁的受力情况如图 1所示，请写出其应力边界条件（固定端不必写）（2）点应力量为已知在经过该点的某一平面上应力矢量为零，求y及该平面的单位法向矢量。xxyxz012yxyyz1y1zxzyz2104. 计算题（共40分）（1）图2中楔形体两侧受均布水平压力q作用，求其应力分量（体力为

5、零）。提示：设应力函数为： r2（Acos B） （10分）比为口，应力函数可取(2)如图3所示的悬臂梁结构，在自由端作用集中力P,不计体力，弹性模量为 E,泊松Axy3 Bxy Cy2 Dy3，试求应力分量。(15分)x(3)如图4所示，简支梁受均布荷载Po和跨中集中荷载 p作用，试用瑞雷一里兹法求解跨中挠度。挠度函数表达式分别为：比较两种挠度函数计算结果间的差异。xasi nL(2)x asin -LbsinM(15 分)DL同济大学本科课程期终考试(考查)统一命题纸A卷标准答案2006 2007学年第一学期1. 是非题(认为该题正确，在括号中打 V;该题错误，在括号中打 X。)(每小题2

6、分)(1)薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积的横向荷载q来等代。(V)(2 )对于常体力平面问题，若应力函数 (x, y)满足双调和方程2 20,那么由(x, y)确定的应力分量必然满足平衡微分方程。(V)(3 )在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结果会有所差别。(X )(4) 如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。(X)(5) 无论是对于单连通杆还是多连通杆，其载面扭矩均满足如下等式：M 2 F(x, y)dxdy,其中F (x, y)为扭转应力函数。(X)(6) 应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的

7、。(V)(7 )平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。(V)(8) 对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。(X)(9) 位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。(V)(10 )三个主应力方向一定是两两垂直的。(X )2. 填空题(在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。)(共20分，每小题2 分(1) 弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的应力、应变和位移的一门学科。(2) 平面应力问题的几何特征是：物体在一个方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸。(3) 平衡微分方程则表示物体部的平衡，应力边界条件表示物体边界的平衡。(

8、4) 在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是主平面。(5) 弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是：解的唯一性定律。 应力函数x, y ax4 bx2 y2 cy4如果能作为应力函数，其a,b,c的关系应该是3a b 3c 0。(7) 轴对称的位移对应的 几何形状和受力 一定是轴对称的。(8) 瑞利-里兹法的求解思路是：首先选择一组带有待定系数的、满足位移边界条件或几何 可能的位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。(9) 克希霍夫的直法线假设是指：变形前垂直于薄板中面的直线段(法线)在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且长度不变

9、 。(10) 一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有8个，但其不为零的应力、应变和位移分量有9个。3. 分析题(共20分，每题10分)(1)主要边界:0, rr a 0， r r b 0， r r b q次要边界:odrPsinodrPcos0 rdr Pesin M(2) 点的应力量与该点的任意斜面上各应力分量的关系为:及l2故有2l解得:2n ,由此得：y1, v le1me2ne3xlyxlzxl2nymV1xymymzym,2(yznzny 1)n01 16e2 '6e34. 计算题(共40 分)(1)解：极坐标下的应力分量为:2(AcosB)Acos 2B2r1()Asi

10、 nr r应力边界条件为:q cosr将应力分量代入边界条件，可解得：qsi nA q,所以应力分量解答为：1qcos2r q(cos cos )q(cos 2cos )qsin（2）解：由题可知，体力X=0, Y=0,且为弹性力学平面应力问题。2 20(a)2）、应力分量为：2x2yXx6Axy 2C 6Dy2y2 xYy02xyxyB 3Ay21）、本题所设应力函数满足双调和方程:(b)3）、用应力边界条件求待定常数应力边界条件，在上、下表面A、B、C、D:y2a处，必须精确满足：(y) y2a0,(xy ) y 2a0(c)则有：B12Aa20(d)X=0的左边界为次要边界，利用圣维南原

11、理则有：2aX方向力的等效：（x）x odypsin ；2aJ2a对0点的力矩等效：（x）x 0 ydy Pa sin2a2aY方向力的等效：（xy）x°dy Pcos 。2a将式（b）代入上式得：8Ca32Da3Psi n4BaPasin16Aa3Pcos(e)联立式(d)和式(e)，P3 cos ,32a3应力分量为：3P3 xy cos 16a3、解:1 ）挠度函数取为:梁的总势能为dx对总势能求驻值-0町aa2L3434poL2PLa44EI5ei解得：3Pcos8aPsin4a(1) V回代即得梁的挠度函数32L (2PoLLv（2）(1P .sin , 8a4ay)，x

12、asin -LLp(x)vdxoPv（£）0,423一 a4L3EI2poLxyP) . x5sin -5EILL 2，则有跨中挠度4poL4a55ei2PL32 ）挠度函数取为:x a sin -Lbsin -梁的总势能为L 2 2EI d2v 7o(dx2) dx 叮2 8忙4L3p(x)vdx2p° 丄 a3b P a bP .2 sin 32a23P cos8a2p0 L a Pa对总势能求驻值EI 4 2poL亍El2poL4-81b34poL42 PL35EI4EI4PoL45243 El2PL381 4EI回代并令x L 2，即得梁的跨中挠度968 po L4

13、巾 a b 243 5eI3164 PL481 EI两种挠度函数假定下相差为b。完毕同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸B 卷2006 2007学年第一学期课程名称：弹性力学课号：任课教师：专业年级：学号：考试（V）考查（）考试（查）日期：2007年1月22日出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、遇春、尧舜、邹祖军、赖永瑾、蔡永 昌教学管理室主任签名：1、图1中楔形体顶端受水平集中力P作用，求其应力分量（体力为零）。提示：设应力函数为： r (Acos Bsin )(20分)2、如图2所示的悬臂梁结构，在自由端有一个微小的垂直位移，不计体力，弹性模量为E,泊松比为，应力函数可取 Axy3

14、 Bxy，试求应力分量。（20 分）图23、图3所示悬臂梁，截面抗弯刚度EI，梁长L,竖向弹簧刚度k;悬臂端受集中荷载 F作用。试用瑞雷-兹法求解悬臂端挠度和固定端弯矩。提示：梁的挠度函数可选为：Bi 1x cos21（20 分）FEIk4、图4所示材料密度为P的三角形截面坝体，一侧受静水压力，水的密度为P 1, 另一侧自由。设坝中应力状态为平面应力状态：x ax by, y cx dy, xy ex fy请利用平衡方程和边界条件确定常数 a,b, c,d,e和f。（20分）5、如图5所示的半无限平面，证明应力图51 A-Bs in221A Bsin22rAsin2为本问题的解答。（20 分）

15、同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸B卷标准答案2006 2007学年第一学期1解：极坐标下的应力分量为:1122/口 ecuA cin 、r22O wMO/Oll 1 jr r rr220rrdr r-)0两斜面应力边界条件为:0自动满足r0由隔离体平衡条件：X0:rrdcos 0Y0:rrdsin P 0将应力分量代入上面二式:可解得：APB 02si n2所以应力分量解答为：2Psinr(2 sin2 )0, r 02、 解：由题可知，体力 X=0, Y=0, （v）xo y 01 ）、本题所设应力函数满足双调和方程：2 ）、应力分量为：且为平面应力问题。2 20(a)2X2Xx6

16、Axyy2y2Yy0(b)X2xyB 3Ay2Xy3)、由物理方程得应变分量为:xyE1E( !2(1E4)、由几何方程得出位移分量为:y)x)xy6 AAxy EExy2(1y由式(d)的前两式积分得：xy3八2AxE色AE2xy将上式(e)代入式(d)的第三式，整理得:f2 (x)3 Ax2欲使上式恒等地成立，只能令f2(X)fi (y)其中，常数a，b满足解式(g) 得:f2(X)fi(y)则位移分量为:fi(y)6 AAxyE6A xyE2(1 )E(c)6(1) 2-Ay6(1"EAy2(e)(d)f2(x)(y)3(2EAy22(1 )EB (f)2Ax EAy2E(h)

17、(g)13 Ax axE(2)3盲AyC2by C1u 3 Ax2E3 Av AE2xy(2 E)Ay3 by Ci-Ax3Eax C2(j)5)、由应力边界条件和位移边界条件求待定常数-处2处，xy )yG、G 和 a、b:应力边界条件，在上、下表面必须精确满足:则有:位移边界条件,(y)y 2 0,B 3 Ah24(I)(k)联立解式(I)、(n)6 )、(v)x 0y 0，(U)xy(V)xyQ)xx y0则有:C2Ci 0-AL3 E-AL2EaL(m)式(h)和式(m)得:E27, B3Eh2"8?,a2L3(2L2 h24L3h2)Ci0, C2本题的应力分量: 应力分量

18、为：青xy，0,xy3Eh28L33E2L3 y(o)3、解:总势能为El Ld2vdx2dxFvxEl2 Bi22Icos2 卫 dx01kBi22FBi对总势能求驻值BiEIBi2IkB,FEl -k2I 23213 FEl_32kI3回代并令即得悬臂梁挠度函数32I3F ,x4EI 32kI3 C0S2II，则有悬臂端挠度为Vx I32I3F4El332 kI梁弯矩为Eld2vd?2Ix cos 2II，则有固定端弯矩为Mxei 8 2IF0 El 434 El 32kI3完毕4、（ 一）由平衡方程得:yxxyxyyy(1)（二）边界条件xlyxlyxmym在边界x 0上：I1, m故边

19、界条件可写为b 1gf 0sin在边界 y xctg 上: I cos ,m故边界条件可写为ax bx.ctg cosexsin0excos cx dx.ctg sin 0联合方程（2）、（3）、（4）可解得 af 0,bigc gctg 2 igctg3 d igctg2ge igctg25、证明:(1) 应力满足相容方程2代入得：2 2A 0满足。(2) 满足平衡方程将应力代入平衡方程得2As inABsi n2 0 B 1A2 A . 21 Bcos2sin 0rr满足。(3 )边界条件0,0, r 0,q, r 0将应力代入得A-si n2q A 2满足。故其为本问题解答。同济大学课程

20、考核试卷（A卷）2007 2008学年第一学期命题教师签名：审核教师签名：课号：030192 课名：弹性力学考试考查：考试此卷选为：期中考试（）、期终考试（V）、重考（）试卷年级专业学号得分一. 是非题（正确，在括号中打 V;该题错误，在括号中打 X。）（共20分，每小题2分）（1 ）在薄板小挠度弯曲时将边界上的扭矩变换为静力等效的横向剪力，再将它与原来的横向剪力合并成总的分布剪力来处理边界条件问题。（）（2 ）求解位移变分方程时所设的位移分量不必事先满足位移边界条件，只要满足静力边界条件即可。（）（3）由弹性扭转的薄膜比拟可知，最大的剪应力应发生在横截面周界上，找到周界上斜率最大的点，就是最

21、大剪应力所在之处， 它的方向一定沿着周界在该点的切线方向。（）（4） 如果主应力 i 23，贝V 3的方向与 1和2的方向可以垂直也可以不垂直，但1和2的方向相互必须垂直。（）（5） 在轴对称问题中，与轴对称应力对应的位移一定是轴对称的。（）（6） 平面问题中的应力协调方程与材料无关，应变协调方程与材料有关。（）（7 ）对于单连通和多连通物体来说，应变分量满足应变协调方程是保证物体连续的充要条件。（）（8） 真实解答一定满足该弹性问题的平衡方程和物理方程。（）（9） 满足平衡方程的一组应力分量，也一定满足应力相容方程。（）（10 ）开口薄壁杆的抗扭刚度比相同形状同材料、同截面积的闭口薄壁杆的抗

22、扭刚度小。（）二. 填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小题2分（1）圣维南原理：若把作用在物体 _边界上的面力用另一组与它静力等效的力系来代替， 则在力系作用区域的附近，应力分布将有显著的改变，但在远处所受的影响可以不计。（2）在平面问题中，取二次多项式为应力函数，对应的应力分量为应力状态。（3）最小势能原理简述为： 在满足边界条件的一切 中，真正的使总势能取最小值。（4）用伽辽金法时所选择的位移函数式，不仅满足 条件，而且还满足 条件。（5）过物体某一点总可以找到三个相互垂直的方向，这三个方向的微分线段在物体变形后只有相对伸长或缩短，而且相互之间的夹角保持直角不变，该方向称为主方向。（6）若已知弹性体仅受体力与面力作用，则弹性体在平衡时，体各点的应力分量与应变分量是的；若已知弹性体受体力