北京导航高等数学讲义下

1、第六章 多元函数微积分学（下）本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三、四共同要求的内容，有利于大家的复习和把握。同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。第一节 多元函数微分学 多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的概念；多元函数极值的必要条件

2、；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。 数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小值应用问题。【考点分析】应用

3、链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。一、多元函数微分学的基本概念及其关系定义1 设二元函数的某心邻域内有定义，如果动点(x,y)以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A，则称当时，。定义2 如果连续。如果在区域D上每一点都连续，则称在区域D上连续。定理1 最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。定理2 介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，可以取到它在D上的最小值与最大值之间的任何值。定义3 偏导数的定义 设函数的某个邻域内有定义，如果极限存在，则称此极限为函数处对x的偏导数，记作

4、即 .类似地，函数的偏导数定义为 .定义4 如果二元函数z=f(x,y)在区域D的每一点(x,y)处都有偏导数，一般地说，它们仍是x,y的函数，称为f(x,y)的偏导函数，简称偏导数，记为定义5 高阶偏导数 如果二元函数 仍然具有偏导数，则它们的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数，记作 其中称为混合偏导数，类似地可以定义三阶、四阶以及n阶偏导数。定理3 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数都在区域D内连续，则在D内，即二阶混合偏导数与求偏导的先后次序无关。定义6 全微分 设二元函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，当f(x,y)的全增量可以表示为，其中A，B不依赖于，

5、而仅与x,y有关，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，称为函数f(x,y)在点（x,y）处的全微分，记作定理4 若函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则必在(x,y)处连续。定理5 可微的必要条件 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则该函数在点(x,y)处的两个偏导数都存在，且。又对于自变量x,y有定理6 可微的充分条件 如果函数z=f(x,y)的偏导数 连续，则函数在该点可微。偏导数的几何意义：设有二元函数在几何上分别表示曲线的切线对x轴和对y轴的斜率。【考点七十一】（1）求二元函数的极限值时，一般应用两边夹定理或化为一元函数的极限进行求解。 （2）当点沿着不同的

6、路径趋于点时，若函数的极限值不同，则二重极限 不存在。【例1】求下列二重极限：（1） （2）（3）【考点七十二】多元函数连续、偏导数存在与可微之间的关系： 可微偏导数存在，但偏导数存在. 可微连续，但连续，连续偏导数存在。若一阶偏导数连续，则可微。【例2】考虑二元函数的下面4条性质：的两个偏导数存在。若用“”表示可由性质P推出性质，则有（ ）（A） （B）（C） （D）【例3】二元函数存在，是在该点连续的（ ）（A）充分条件而非必要条件。（B）必要条件而非充分条件。（C）充分必要条件。（D）既非充分条件又非必要条件。二、多元函数微分法 复合函数求导法则1若处偏导数存在，函数z=f(u,v)在对

7、应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数处偏导数存在，且 2设有连续偏导数，都可导，则，这里称为z对t的全导数。3设有连续偏导数，偏导数存在，则 .【考点七十三】1. 求偏导数时，只需将中的非视为常数，利用一元函数的求导公式和导数的运算法则即可，类似地可求出表示先对求偏导，然后再对求偏导，其余类推。 2求复合函数的偏导数时，主要把握三点：（1） 关键问题是弄清复合函数的结构，分清中间变量与自变量。（2）避免丢项。一般地，函数有几个自变量就求几个偏导数；函数有几个中间变量，偏导数公式中就有几项的和；函数有几重复合，偏导数公式中就有几项因子的乘积。（3） 对于求抽象函数的偏导数。首先必须设出中间变

8、量，构成复合函数，再利用复合函数求偏导数。【例4】设f(u)具有二阶连续导数，且，求【例5】设，求.【考点七十四】隐函数的求导公式1设函数的某邻域内具有连续的偏导数，且，则方程在点的某邻域内恒能惟一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，并有 .2由方程组确定的隐函数的导数设方程组，上式两边分别对x求偏导，注意到u和v是x及y的函数，有当时，从上式中可解出。同理，原方程两端对y求偏导，可求出【评注】计算由方程组所确定的隐函数的偏导数应该使用直接法，其关键是事先要明确哪些变量是自变量，哪些变量是因变量，这应根据具体问题来判定。例如求，可判定是因变量，一般地，在一定条件下，对于有个方程、个自变量的

9、方程组来说，有个因变量，有-个自变量。然后依次对所给方程的两端关于求偏导，得到一个线性方程组，再解出所求（偏）导数即可。【例6】设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程 (A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y). (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 【例7】设，其中是由方程确定的隐函数，则.【例8】设函数，方程确定是的函数，其中可微；连续，

10、且，求。【考点七十五】计算全微分的方法：（1） 先求和，然后代入公式：。（2） 对已知函数或方程取微分，根据微分形式的不变性，直到计算出和上为止，再解出即可。【例9】设，求与 .二、多元函数的极值与最值 定义1 设函数在点的某实心邻域内有定义，若对该邻域内异于的任意点，总有 （或）成立，则称是函数在点处取得的极大值（或极小值），并取点为的极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点。定义2 方程组的解，称为函数的驻点。定理1（极值存在的必要条件） 设函数在点处的一阶偏导数存在，且为的极值点，则有 .定理2（极值存在的充分条件） 设函数在点处的某实心邻域内有连

11、续的二阶偏导数，且。若，则点是的一个极值点。 （1）若（或），则为极大值； （2）若（或），则 为极大值； （3）若，则不是极值。【考点七十六】在函数的定义域D上求极值，这是无条件极值。求多元函数无条件极值的程序是： （1） 求函数的驻点（可能极值点），即求解方程组 的一切实数解（或偏导数不存的点），即得函数的可有极值点。 （2）利用极值存在的充分条件判定所求驻点是否为极值点。（3）求出极值。 【评注】 驻点不一定是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。【例10】求函数的极值。【考点七十七】1. 求函数，在约束条件下的极值问题，称为条件极值问题。求解条件极值的一般方法有两种。一是利用所组的约

12、束条件把条件极值问题转化为无条件极值问题；一是拉格朗日乘数法。【拉格朗日乘数法】 其步骤是： （1）作辅助函数（称为拉朗日函数） ，其中为待定常数（称为拉格朗日乘数）；（2）求解方程组 得可能极值点；（3） 判定在可能极值点处是否取得极值。（对于实际应用问题，由实际确定，一般免去了这一步骤）。2二元函数的最大值与最小值：有界闭区域上连续的二元函数在区域内的驻点、偏导数不存在的点及其边界点上取得最大值与最小值。【例11】求函数在条件及下的极值。【例12】求二元函数在由直线、轴和轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。【详解】（1）先求区域D内部的极值。令解得惟一内部驻点（2，1）。用充分条件

13、判定是否取得极值。 于是因此点点，极大值为.（1） 求最大值和最小值，当时，有由边界是方程中得令上的惟一内部驻点，即D边界上点（4，2）. 以下比较所有怀疑点的函数值：由此知【评注】极值是邻域中的最大值或最小值，因此极值点只能在区域的内点处取得，而最大值和最小值可以在区域的任何点处（包括边界点）取得。第二节 二重积分【大纲内容与要求】理解二重积分的概念、几何意义与基本性质，了解二重积分的中值定理，掌握在直角坐标系下与极坐标系下二重积分的计算。会计算简单的无界区域上的二重积分。【考点分析】本节考点的核心是二重积分的计算，要熟练掌握。二重积分计算的关键是化二重积分为二（累）次积分.【考点七十八】在

14、直角坐标系下计算二重积分的公式：【型区域】若，则.【型区域】若，则.【例1】计算二重积分其中D是由双曲线及直线所围成的平面区域。【例2】设连续，且，其中是由所围区域，则等于（ ）（A）（B）（C）（D）【例3】设 ，求，其中。【考点七十九】如果在二重积分的被积函数中含有绝对值，则先令绝对值中的函数为零，将积分区域分割，再利用二重积分的可加性进行计算。 【例4】计算，其中【例5】计算二重积分【考点八十】当积分区域D为圆域、环域或圆域的某部分。被积函数为等形式时，选用极坐标较为方便。在极坐标系下计算二重积分的公式：【极点在区域D内】，【极点在区域D外】，.【极点在区域D的边界上】，.【例6】设具有

15、连续的导数，且， 。（1）证明： （2）求（3）【例7】计算二重积分 其中积分区域D=【例8】设函数在上连续，且满足方程, 求。【考点八十】计算无界区域上简单的二重积分的方法：根据积分区域和被积函数的情况，选用直角坐标或极坐标化成二次积分进行计算。无界区域上简单的二重积分按无界区域分类，常见的有三类： （1），则 . （2），则 .（3）记为圆与无界区域的交集，则 ，在用极坐标计算.【例9】计算二重积分，其中是曲线和在第一象限所围成的区域。【例10】化为极坐标下的二次积分，则.【考点八十一】利用区域的对称性与被积函数的奇偶性计算二重积分：（1） 若D关于x轴对称，则 ，其中（2）若D关于y轴对

16、称，则 ，其中（3）若D关于坐标原点对称，则其中D1为D的右半平面或上半平面部分。（4）若D关于直线y=x对称，则，（5）如果被积函数，积分区域关于变量x,y具有轮换对称性（即x换成y，y换成x ，其表达式均不变），则.【例11】设D是xoy面上以（1，1），和为顶点的三角形区域，D1是D在第一有限的部分，则.（A）（B）（C）（D）0【例12】设区域，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则（ ）(A) . (B) . (C) . (D) . 【例13】求二重积分的值，其中是由直线及围成的平面区域。【考点八十二】交换积分次序的程序是： （1）由二次积分推出积分区域由哪些曲线围成； （2

17、）画出积分区域的草图； （3）由积分区域的图形按新的积分次序写出二次积分.【例14】交换积分次序 .【例15】计算【例16】设f(x)为连续函数，则等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. 第七章 微积分在经济学中的应用【大纲内容与要求】了解导数的经济意义（含边际与弹性的概念），会用定积分求简单的经济应用问题。【考点分析】微积分在经济学中的应用是数学三和数学四考试的重点，除了2005年和2006年的研究生试题外，其余每年均有一道大题出现。【复习要点】一、经济学中常见的函数（1）需求函数 设某产品的需求量为x，价格为p。一般地，需求量x是价格p的函数，称为

18、需求函数，并且价格p上升（下降），需求量x下降（上升）。需求函数的反函数称为价格函数。也常称为需求函数。（2）供给函数 设某产品的供给量为x，价格为p。一般地，供给量x是价格p的函数，称为供给函数，并且价格上升（下降）供给量上升（下降）。（3）成本函数 成本生产产品的总投入。它由固定成本（常量）和可变成本两部分组成，其中x表示产量。即称为平均成本。记为或，即（4）收益（入）函数 收益产品售出后所得的收入。它是销售量x与销售单价p之积。即收益函数为（5）利润函数 利润收益扣除成本后的余额。它由总收益减去总成本组成。即利润函数为（其中x为销售量）二、边际函数与边际分析在经济学中，导函数称为边际函数

19、。若函数可导，则称 为的边际函数。称为在点的边际值。用边际函数来分析经济量的变化叫边际分析。令 即 ，取， 得 .于是，边际值被解释为：在点，当改变一个单位时，函数近似（实际问题中，经常略去“近似”二字）改变个单位。的符号反映出自变量的改变与因变量的改变是同向还是近向。（1）边际成本 设总成函数为（q为产量） 则边际成本函数（记为MC）为 .产量为时的边际收益表示：当产量为时，产量q改变一个单位，总成本C（q）将改变个单位。的符号反映出产量q的改变与成本C（q）的改变是同向还是反向。 （2）边际收益 设总收益函数为（q为产量）则边际收益函数（记为MR）为 .销售量为时的边际收益表示：当销售量为

20、时，销售量改变一个单位，总收益将改变个单位。的符号反映出销售量的改变与总收益R的改变是同向还是反向。 （3）边际利润 设利润函数为 （q为产量）则边际利润函数（记为ML）为.销售量为时的边际利润表示：当销售量为 时，销售量改变一个单位，利润将改变个单位，的符号反映出销售量的改变与利润L的改变是同向还是反向。【考点八十七】1. 复利问题：（1） 假设本金为，年利率为r，存款期限为t年，t年后的本利和称为t年后的期末价值。如按单利计息，t年后的期末价值为.如按复利计算，t的后的期末价值为.如按连续复利计息，t年后的期末价值为。（2） 反问题：t年后a元，其现值即贴现价值为多少？设年利率为r，如一年

21、计算复利一次，则，故a的贴现价值。如按连续复利计算，则2 收支流的贴现价值：（1） 设r表示年利率，若按连续复利计息，则在时间间隔0，T内总收入（或支出）的贴现价值为：（2） 若按复利计息（非连续复利），则T期总收入的贴现价值【例1】某酒厂有一批新酿成的酒，若当即卖掉（t=0），收入元，若窖藏t年按陈年酒售出，售价为元。如果窖藏不需支付储存费，问窖藏多少年按现值计算可使利润最大（连续计息年利息为0.1）【详解】设该酒的生产成本为c，则t年后出售得到利润的贴现值为。令，得=25,且当t>时.所以，为最大值点，即在25年后出售该批酒按现值计算可获最大利润。【例2】设一辆轿车，售价14万元，现

22、某人分期支付，准备20年付清，按年利率0.05连续复利计息，问每年应支付多少元？【详解】设每年付款数（相同）均为a万元，共付20年，即T=20，全部付款的总贴现价值N=14万元，年利率r=0.05，则（万元）所以每年应付款 1.1006万元。【考点八十八】经济问题中出现较多的是最值问题，特别是利润最大化问题。其解题程序是：首先建立目标函数，然后求导数，该函数的极值点往往就是所求的最值点。【例3】假设某种商品的需求量是单价（单位：元）的函数：；商品的总成本是需求量的函数：，每单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额。【详解】总成本。销售利润额为。令，解得惟一驻点。因为，所以

23、当时，有最大值，即最大利润额（元）。【例4】已知某企业的总收入函数为，总成本函数为，其中表示产品的产量，求利润函数，边际收入函数，边际成本函数，以及企业获得最大利润时的产量和最大利润。【详解】（1）利润函数为（2）边际收入函数为。（3）边际成本函数为。（4）由得（舍去）。又，知当时取极大值为 ，因为时，只有一个极大值，故此极大值是就是最大值。于是，当产量为1时利润最大，最大利润为11。【例5】假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是其中和分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），和分别表示该产品在两上市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种

24、产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即。（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两上市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。【详解】（1）根据题意，总利润函数为令解得，则（万元/吨），（万元/吨）。因驻点（4，5）惟一，且实孙问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到。最大利润为（万元）（2）若实行价格无差别策略，则，于是有约束条件。因此数学模型为构造接格朗日函数 令解得，则，最大利润为（万元）。由上述结果可知，企业实行差别定

25、价所得总利润要大于统一价格的总利润。【考点八十九】弹性函数与弹性分析：在经济学中，把因变量对自变量变化的的应的灵敏度，称为弹性或弹性系数。设函数可导，称 为函数的弹性函数。称 为函数在处的（点弹性。表示在处，当自变量x改变1%时，因变量y将改变。其符号表示自变量x与因变量y的改变是同向还是反向。用弹性函数来分析经济量的变化叫弹性分析 （1）需求的价格弹性 设需求函数为（其中p为价格，Q 为需求弹性）则 .由于需求函数单调递减，从而。 其经济意义是：当价格为p时，若提价（降价）1%，则需求量将减少（增加）。 （2）供给的价格弹性 设供给函数为Q=（p为价格，Q为供给量），则供给弹性为 .由于供给

26、函数单调增加，从而。 其经济意义是：当价格为p时，若提价（降价）1%，则供给量将增加（减少）。【例6】设某商品需求量Q是价格P的单调减少函数：，其需求弹性.（1）设R为总收益函数，证明（2）求P=6时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。【详解】（1）。上式两边对P求导数，得.(2) ， 经济意义：当P=6时，若价格上涨1%，则总收益将增加0.54%。【考点九十】积分学在经济中的应用 ： 总成本函数，总收益函数等，统称总函数。用微分法对总函数求导数可得边际成本、边际收益等；已知边际成本，边际收益等边际函数，用积分法对边际函数积分可得总成本、总收益等。（1）用不定积分表示总函数 ，用（固定成本

27、）确定积常数C，则 ，用定积分常数C。（2）用定积分表示总函数 （表示固定成本）， （3）由个单位变化到个单位，总成本的改变量、总收益的改变量分别为 .【例7】设生产某产品的固定成本为10，而产量为时的边际成本函数为，边际收入函数为。试求：（1）总利润函数；（2）使总利润最大的产量。【详解】（1）由题意，。对第一式积分，得，因为固定成本为10，即，代入上式，定出，故得总成本函数为 .对第二式积分，得因为，代入上式，定出。故得总收入函数为最后得总利润函数.（2）.令，解得驻点。由于，表明为的极小值，舍去。由于，表明为的极大值，即最大值。故当产量为2时总利润最大。第八章 常微分方程常微分方程是高等

28、数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（E

29、uler）方程；微分方程的简单应用。【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。【考点分析】本章包括三个重点内容：1常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。2微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微

30、分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。3数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。【考点八十三】形如的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当，然后左、右两端积分上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C为任意常数，的一个原函数，表示函数的一个原函数.【例1】若连续函数满足关系式，则等于（ ）（A）（B）（C）（D）【详解】对所给关系式两边关于求导，得，且有初始条件.

31、于是，积分得，故 令应选（B）。【例2】已知曲线处的切线斜率为则.【详解】 将【例3】一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时？【详解】半径为的球体体积为，表面积为，而雪堆为半球体状，故设雪堆在时刻的底面半径为r，于是雪堆在时刻的体积，侧面积。其中体积，半径与侧面积S均为时间的函数。由题意，有. 。即， ，又时，, ，即 .而，即 .，。当雪堆全部融化时，令 ，得（小时）。【例4】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人

32、数为，在时刻已掌握新技术的人数为，在任意时刻已掌握新技术的人数为（将视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数，求。【详解】首先要根据题中所给条件，建立的微分方程。由于题中条件很明确，即：的变化率与成正比，容易得出的微分方程，再求出特解即得。由已知得 , 分离变量，得 .积分得即 , . , 又 代入得 ，故 。【例5】设单位质点在水平面内作直线运动，初速度。已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t为多少时此质点的速度为？并求到此时刻该质点所经过的路程。【详解】设质点的运动速度为。由题设和牛顿第二定律，有。积分解得，得。到此时刻该质点所经过的路程【考

33、点八十四】形如的微分方程称为齐次方程。其解法是固定的：令，则，代入得 .分离变量，得 。两端积分，得，求出积分后，将换成，即得齐次方程的通解。【例6】设函数在上连续。若由曲线，直线与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为 试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解。【详解】由旋转体体积计算公式得于是，依题意得 .两边对t求导得 将上式改写为 ，即 令，则有 当时，由. 两边积分得.从而方程的通解为为任意常数）。由已知条件，求得从而所求的解为 或【例7】求微分方程的通解.【详解】将微分方程进行恒等变形，化为 设，有，则 .积分得 【考点八十五】1. 形如的微分方程称为一阶线性

34、非齐次微分方程，其通解公式为： .【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分，只表示其中一个任意的原函数，不含任意常数c。2. 求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推导公式的方法求解。3. 通解公式的记忆方法：一阶线性非齐次微分方程等价于即两边积分得即 【例8】设为连续函数，（1）求初值问题的解，其中是正常数；（2）若（为常数）。证明：当时，有【详解】原方程的通解为由于在本题中未给出函数的具体表达式，在上式中想利用初始条件来确定常数C很困难。而通解中的式子实为的一个原函数，因此改写为，于是通解为。令，由，得即.故所求的解是。（2）由题设及知，当时， 【

35、例9】设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件：，且f(0)=0, (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由 = =(2-2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为 (2) =将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.于是 【例10】f (u , v)具有连续偏导数，且满足.求所满足的一阶微分方程，并求其通解.【分析】本题综合了复合函数求偏

36、导数与微分方程。先求，利用已知关系，可得到关于y的一阶微分方程.【详解】因为，所以，所求的一阶微分方程为.解得 (C为任意常数).【例11】设连续，求解方程 .【详解】因为原方程中，均可导，故可导。对方程两边同时求导，将积分方程转化为微分方程： ，即 .根据一阶线性微分方程通解公式，得又 , 当时， .代入得 . 【例12】过点且满足关系式的曲线方程为.【详解】方程化为设 于是 通解由【例13】求微分方程，使得由曲线轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小。【详解】题设方程可化为利用求解公式，得通解旋转体体积由解得由于故为惟一极小值点，也是最小值点，于是得【考点八十六】可降阶的高阶微分方

37、程：1.大纲要求：会用降阶法解下列高阶微分方程：； （缺）； （缺）。2方程：直接求次积分，即可求解。3方程：这类方程的特点是不显含未知函数。令，则化为关于的一阶微分方程，然后再用解一阶微分方程的解法解之。4方程：这类方程的特点是不显含自变量。令，则 .因而原方程化为关于的一阶微分方程： .【例14】微分方程的通解为_。【详解】设，则 .方程化为 。分离变量，得 。两端积分，得，即， .积分得 . 因此应填 .【例15】设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于，求的一般表达式。【详解】曲线在点处的切线为。令，得切线在轴上的截距为。由已知 ，即。两端对求导，得 。令，则。代入得，分离变量，得

38、。 即 。积分得。【例16】函数且满足等式（1）求导数；（2）证明：当【详解】（1）原方程两边乘后再求导，得设则方程化为，故 ，.由及，知，从而，故.（2）对两端积分，得，即 当于是，所以 【考点八十七】二阶常系数齐次线性微分方程:1标准形式：，均为常数。2通解公式：特征方程为；若特征方程有互异实根，则通解为；若特征方程有相等实根，则通解为；若特征根为共轭复根（为常数，），则通解为【例17】求下列微分方程的特解：，当时，。【详解】对应的特征方程为 ，有二重特征实根. 所以微分方程的通解为。求导得 .由已知，当时，。代入得， 即 ，故所求特解为。【例18】设（为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微

39、分方程的通解，则该方程为_。【详解】设所求二阶常系数线性齐次微分方程为。由所给的通解形式知，故特征方程有共轭复根特征方程为，即.对比知，所求微分方程为方程为：.【考点八十八】二阶常系数非齐次线性微分方程：1大纲要求：会解自由项为多项式，指数、函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。2二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是：，其中为常数，若特解为，对应的齐次微分方程的通解为，则原方程的通解为。3求二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法：设，其中是次多项式，设特解，其中也是次多项式，当不是的单特征根时，；当是的重特征根时，再设，将代入微分方程，两端比较同次幂系

40、数，就可求出符定系数。设其特解为其中，而按 （或）不是特征方程的根据或是特征方程的单根依次取0或1。4求二阶线性常系数非齐次微分方程的常数变易法：设，且对应齐欠微分方程的通解为，其中为任意常数。将换成函数，保持不变，即令是的通解，其中是待定系数。函数的求法如下：先求方程组解出与，再积分就可得出与代入得就是原方程的通解。【例19】设函数满足，且，求【详解】，。，齐次方程的特征方程为齐次方程的通解为.设特解，代入得 ， .原非齐次方程的通解为 .代入初始条件，得， .故 .【例20】求微分方程的通解。【详解】对应齐次方程为，其特征方程为。对应齐次方程的通解为。设非齐次方程的特解为，代入得。因此。又

41、非齐次方程的特解设为，代入方程得，因此 。故原方程的通解为。【例21】设函数满足微分方程，且其图形在点处的切线与曲线在该点的切线重合，求函数。【详解】特征方程为，特征根为。因此对应齐次方程的通解为.设原方程的特解为，代入原方程，解得。原方程的通解为。又在点处与曲线有公共切线，而，.代入通解中，得 .故所求函数为.【考点八十九】（只数学一要求掌握） 1伯努利（Bernoulli）方程（1）概念 形如的一阶微分方程称为伯努利方程，当n=0时，是一阶线性非齐次微分方程；当n=1时，是一阶线性齐次微分方程。（2） 解法 当时，引进新的未知函数则伯努利方程变为这是关于未知函数的一个一阶线性微分方程，然后

42、用一阶线性微分方程的解法解之，解出后，再用代回，即可得伯努利方程的通解。2. 全微分方程若存在可微函数则称一阶微分方程为全微分方程。是全微分方程的通解，其中C是任意常数。一般地，当就是全微分方程，这时，只要求出了全微分式的一个原函数也就得到了此方程的通解。而利用对坐标的曲线积分，可求出3. 欧拉(Euler)方程形如 的微分方程称为n阶欧拉方程，其中是常数。作变换因此欧拉方程变为 这是一个以t为自变量，y为未知函数的n阶线性常系数微分方程，然后再用解n阶线性常系数微分方程的解法解之。【例22】解方程。【详解】形如 的方程称为伯努利方程，其解法是固定的，方程两端同时除以，令，即令，则, 即 .原

43、方程化为, 即.从而化为一阶线性非齐次微分方程。下面套用上述固定解法用同时除以方程两端，得 .令，则, .即, 故 通解为。【例23】设具有二阶连续导数，且为一全微分方程，求及此全微分方程的通解。【详解】（1）由全微分方程的充要条件知即 （1）此方程的齐次方程的通解为非齐次方程（1）的特解形式为代入方程（1）中可知 故方程（1）的通解为由，求得，从而得 .（2）将表达式代入原方程中，得因为 所以原方程的通解为【考点九十】差分方程数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。考虑到很多理工类学生跨专业考数学三，这里一并

44、列出。1 谓“差分”：假设函数经过定义域上的点，那么便为两点的差分（严格说是一阶差分）。可以看出，差分的极限便是的导数。若对再求差分，则称为二阶差分。其实差分的概念被广泛运用：Lagrange中值定理所描述的就是函数在一个区间上的差分等于这区间中的一点的导数；对于等差数列，就是数列的公差；对于某些商品，差分就是单价。牛顿的成功乃是因为他创立了微积分将差分变为了导数！2 函数 函数在t时刻的一阶差分定义为： 。3. 形如的差分方程称为一阶常系数线性差分方程，其中为已知函数，a为非零常数。则对应的齐次差分方程的通解为： 。（1）若 ，且，则原方程的特解为： 为待定系数； 若，则 。（2） 若，则当

45、时，原方程的特解为：；当a+d=0时 ，则 。【例24】差分方程的通解为。【详解】应填. 对应齐次方程的通解为C (C为任意常数)。非齐次方程的特解形式为，则，代入原方程得 . 所以 故特解为，通解为 。【例25】差分方程的通解为。【详解】化原方程为标准形式：，齐次方程的通解为. 设非齐次方程的特解形式为 .代入方程中，得 ，化简得 ， 所以 ，故所求通解为.第九章 无穷级数无穷级数是高等数学的重要组成部分，是一种研究和表示函数的重要方法，是数学一和数学三的考试重点。第一节 常数项级数【大纲内容】常数项级数的收敛与发散的概念；收敛级数的和的概念；级数的基本性质与收敛的必要条件；几何级数与级数以

46、及它们的收敛性；正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法；交错级数与莱布尼茨定理；任意项级数的绝对收敛与条件收敛.【大纲要求】1. 了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念. 2掌握级数的基本性质及级数收敛的必要条件.掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法. 3了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.【考点分析】常数项级数的考研题型主要是选择题和证明题，其中选择题的解答需综合应用常数项级数的知识，而证明题的难度一般较大。【复习要点】一、无穷级数的概念定义1. 已知数列：，那么

47、表达式 称为无穷级数，简称级数。这里称为级数的一般项。 级数的前n项的和，称为级数 的部分和。定义2. 若级数的部分和数列有极限，即 存在，则称级数收敛，并称s为级数的和。记为.若没有极限（即不存在），则称级数发散。二、正项级数敛散性的判别法若级数满足，则称级数为正项级数。定理 1. 设为正项级数，则收敛的充分必要条件是其部分和数列有上界。 2比较判别法 （1）比较判别法 设，那么，若收敛，则 也收敛；当发散时，则也发散。设存在常数，使得。那么若收敛，则也收敛，若发散，则也发散。 （2）比较判别法的极限形式 设与均为正常级数，那么，若则与同时收 敛或同时发散；当时，若收敛，则收敛；若发散，则发

48、散；当时，若收敛，则收敛；若发散，则发散。【常用于比较的级数】 （1）几何级数当时，级数收敛且；当时，级数发散。 （2）p-级数当p>1时，级数收敛；当时，级数发散。 （3）调和级数发散。3比值判别法 设，且，那么，若，则级数 收敛；若，则级数发散；若，则该法失效。 4根值（柯西）判法 设，且，那么，若，则级数 收敛；若，则级数发散；若，则该法失效。【评注】比值与根值判别法中的条件都是充分但非必要条件。凡涉及级数命题有关论证，不能用比值或根值判别法，只能用比较判别法。三、任意项级数的敛散性判别1 莱布尼茨判别法交错级数收敛的充分条件若交错级数满足条件（1），（2），则交错级数收敛，且和。

49、 2绝对收敛与条件收敛设为任意项级数。定义3. 若级数收敛，则称级数绝对收敛；若级数 收敛，而级数发散，则称条件收敛。 定理2. 若收敛，则必收敛【评注】若发散，且此结论是由比值判别法得出的，则 发散；若发散，且结论不是由比值判别法得出的，则应直接考虑的敛散性（这时，级数有可能为条件收敛）。【考点九十一】判别正项级数的敛散性，可综合使用正项级数的各种判别方法，但主要用正项级数的比较判别法进行判别，也可用级数收敛的定义进行判别。同时，在解答关于级数的选择题时，常用利用级数收敛的性质加以判别。 无穷级数具有以下基本性质： （1）若，则 【评注】若收敛，发散，则发散； 若与均发散，则的敛散性不能确定

50、。（2）级数（为非零常数）与有相同的敛散性，且当时，有。（3）级数增加或去掉有限项，不改变级数的敛散性。（4）收敛级数的项间可以任意括号，所得新级数仍然收敛，且收敛于原级数的和。【评注】若加括号所得新级数发散，则原级数必发散；若加括号所得新级数收敛，则原级数的敛散性不能确定。（5）级数收敛的必要条件 若级数收敛，则必有。 【评注】这一级数收敛的必要条件，常用于判别级数的发散，即时，则级数必发散；这用于验证（或求）极限值为“0”的极限。【例1】判别下列正项级数的敛散性：（1）设， （2）设，（3），其中是单调递增而且有界的正项数列。【例2】设（1）求的值。（2）证：对任意的常数，级数收敛。【例3

51、】设正项数列单调减少且发散，问级数是否收敛？并说明理由。【例4】下列命题中正确的是（ ）.(A) 设正项级数发散，则(B) 设收敛，则收敛. (C)设 ，至少一个发散，则发散（D）设收敛，则，均收敛.【例5】设=在0，1上收敛，证明：收敛。【例6】设有方程，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根，并证明P>3时，级数收敛。【考点九十二】涉及交错级数和任意项级数的单项选择题, 一般应先判定级数是否绝对收敛, 转化为正项级数问题。这就要应用正项级数的有关审敛法，特别是正项级数的涉及交错级数和任意项级数的单项选择题。这种题型一般应先判定级数是否绝对收敛。这就要应用正项级数的有关审敛法。在比较审敛法中特别要重视它的极限形式，即：若具有相同的敛散性。【例7】设，且,则级数（ ）（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛性不能确定【例8】设正项级数收敛，则（ ）. （A）条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)不能确定敛散性第二节 幂级数【大纲内容】函数项