初三数学圆例题

1、一圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； 不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个

2、弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。 点在圆外dr；点在圆上d=r；点在圆内 dr；【典型例题】例1 在ABC 中，ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系，并说明你的理由。MABC例2已知，如图，CD是直径，AE交O于B，且AB

3、=OC，求A的度数。DOEBAC例3 O平面内一点P和O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_cm。例4 在半径为5cm的圆中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？例5 如图,O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,，ABDCO·E求CD的长例6.已知：O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为，求的度数例7.如图，已知在中，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长BDAC例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB16cm，拱高CD4cm，那么拱形的半径是m。.思考题

4、如图所示,已知O的半径为10cm，P是直径AB上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值.·ABDCEPFO二垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤推论1：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤推论2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论1中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两

5、点，都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB、CD是O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且ABDCO·NM求证：AB=CD例2已知，不过圆心的直线交O于C、D两点，AB是O的直径，AE于E，BF于F。求证：CE=DF 例3 如图所示，O的直径AB15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CECD交AB于E，DFCD交AB于F。（1）求证：AEBFOABCDEFm（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。例4 ABCDPO。.如图，在O内，弦CD与直径AB交

6、成角，若弦CD交直径AB于点P，且O半径为1，试问： 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.例5.如图所示，在O中，弦ABAC，弦BDBA，AC、BD交直径MN于E、F.求证：ME=NF.·OABDCEFMNABMNCP例6.（思考题）如图，与交于点A，B，过A的直线分别交，于M,N，C为MN的中点，P为的中点，求证：PA=PC.三圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断下列图示中，各图形

7、中的角是不是圆周角，并说明理由考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg: 如下三图，请证明。 13.如图，已知A、B、C、D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD、AD（1）求证：DB平分ADC； （2）若BE3，ED6，求AB的长 14.如图所示，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E连接AC、OC、BCEDBAOC（1）求证：ACO=BCD （2）若EB=，CD=，求O的直径15.如图，在RtABC中，ACB90°，AC5，CB12，AD是ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。（1）求证：ACAE；ACBDE（

8、2）求ACD外接圆的半径。16.已知：如图等边内接于O，点是劣弧上的一点（端点除外），延长至，使，连结（1）若过圆心，如图，请你判断是什么三角形？并说明理由（2）若不过圆心，如图，又是什么三角形？为什么？AOCDPB图AOCDPB图四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）ABEFOOPOCO1O2ODO例1如图所示，点O是E

9、PF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD例2、已知：如图，EF为O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。求证：PA=PC。·OABC例3如图所示，在中，A=，O截的三条边长所得的三条弦等长，求BOC.例4如图，O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE求证：AC=AE O·CAEBD例5如图所示，已知在O中，弦AB=CB，ABC=，ODAB于D，OEBC于E求证：是等边三角形·OADEBC例6.如图所示，已知ABC是等边三角形，以BC为直径的O分别交AB、AC于点D、E。（1）试说明ODE的形状；（

10、2）如图2，若A=60º，ABAC，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。例7弦DFAC，EF的延长线交BC的延长线于点G.（1）求证：BEF是等边三角形；·AOBEDCGF（2）BA=4，CG=2，求BF的长.例8已知：如图，AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。六会用切线，能证切线考点速览：考点1直线与圆的位置关系图形公共点个数d与r的关系直线与圆的位置关系0d>r相离1d=r相切2d<r相交考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言 OA l 于A， OA为半径

11、l 为O的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）1、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且ACB=DCE(1)判断直线CE与O的位置关系，

12、并证明你的结论；(2)若AB=3,BC=4,DE=DC，求O的半径2.如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交半圆 于点，交于点使（1）判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论；CAOBED3.如图，已知R tABC，ABC90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD（1）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与O相切（2）在（1）的条件下，若AB3，AC5，求DE的长；ACBDEO·4.如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，COB=2PCB. （1）求证：PC是O的切线； （2）求证：BC=AB；5.如图，在ABC中，

13、AB=AC，D是BC中点，AE平分BAD交BC于点E，点O是AB上一点，O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点FBACDEGOF（1）求证：BC与O相切；（2）当BAC=120°时，求EFG的度数6.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的O经过点D，E是O上一点， （1）若AED45º试判断CD与O的关系，并说明理由（2）若AED=60º,AD=4，求O半径。ABCDEO7.在RtACB中，C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作O交AB于点D.（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线

14、ED与O相切？请说明理由.ODCBA8.如图，已知ABC内接于O，AC是O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、FFADEBCO·（1）求证：EF是O的切线；（2）若AB8，EB2，求O的半径如图，已知O是ABC的外接圆，AB为直径，若PAAB，PO过AC的中点M，求证：PC是O的切线。20. 已知：AB是O的弦，ODAB于M交O于点D，CBAB交AD的延长线于C（1）求证：ADDC；（2）过D作O的切线交BC于E，若DE2，CE=1，求O的半径20在Rt中，F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，联结AC，将

15、AFC 沿AC翻折得，且点E恰好落在直径AB上.（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_；并证明你的结论.（2）若OB=BD=2,求CE的长20如图所示，AB是O的直径，OD弦BC于点F，且交O于点E，若AEC=ODB（1）判断直线BD和O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长（20题图） 20已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交BC、AC于点D、E，联结EB交OD于点F（1）求证：ODBE；（2）若DE=，AB=5，求AE的长20. 如图，AB是的直径，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F

16、,且（1）证明CF是的切线(2) 设O的半径为1且AC=CE,求MO的长. 21.如图，AB BC CD分别与圆O切于E F G且AB/CD，连接OB OC，延长CO交圆O于点M，过点M作MN/OB交CD于N求证 MN是圆O切线当OB=6cm，OC=8cm时，求圆O的半径及MN的长七切线长定理考点速览：考点1切线长概念： 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长和切线的区别·AAOACADABAPA 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量考点2 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切

17、线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切O于A、B两点，PA=PB PO平分考点3 两个结论： 圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长经典例题：例1 已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，若PO=13，的周长为24，A·EPDBCO求：O的半径；若，的度数例2 如图，O分别切的三边AB、BC、CA于点D、E、F，若·EFDCOAB（1）求AD、BE、CF的长；（2）当，求内切圆半径r·EFDCOAB例3如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？例4 如图

18、甲，直线与轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C是第二象限内任意一点，以点C为圆心与圆与轴相切于点E，与直线AB相切于点F.（1）当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；（2）如图乙，若C与轴相切于点D，求C的半径r；（3）求m与n之间的函数关系式；（4）在C的移动过程中，能否使是等边三角形（只回答“能”或“不能”）？八三角形内切圆考点速览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形考点2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质外心（三角形外接

19、圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三角形内部考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形ABC内切圆O的半径为.2、一般三角形已知三边，求ABC内切圆O的半径r. （海伦公式S ， 其中s=)例1如图，ABC中，A=m° （1）如图（1），当O是ABC的内心时，求BOC的度数； （2）如图（2），当O是ABC的外心时，求BOC的度数；（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求BOC的度数例

20、2如图，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90°，I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求RtABC的内心I与外心O之间的距离考点速练21如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（ ）A（）nR B（）nR C（）n1R D（）n1R 3如图，已知ABC的内切圆O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，如果AF=2，BD=7，CE=4 （1）求ABC的三边长；（2）如果P为弧DF上一点，过P作O的切线，交AB于M，交BC于N，求BMN的周长十圆与圆位置的关系考点速览：1圆和圆的位置关系（设两圆

21、半径分别为R和r，圆心距为d）外离外切相交内切内含图形O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2公共点0个1个2个1个0个d、r、R的关系外公切线2条2条2条1条0条内公切线2条1条0条0条0条2有关性质： （1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 （2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 （3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。 两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁外公切线内公切线3相交两圆的性质 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点经典例题：例1、如图，已知与相交于A、B两点，

22、P是上一点，PB的延长线交于点C，PA交于点D，CD的延长线交于为N.（1）过点A作AE/CN交于点E.求证：PA=PE.PABC·EN·D（2）连接PN，若PB=4，BC=2，求PN的长.例2 如图，在中，圆A的半径为1，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设的面积为y.（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（2）以点O为圆心，BO长为半径作O，当圆O与A相切时，求的面积.OBCA课堂练习：1.已知O1与O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距020=7cm，则两圆的位置关系为 A外离 B外切 C相交 D内切2.已知两圆半径分别为2和3，圆心距为，若两圆没有公共

23、点，则下列结论正确的是（ ）ABC或D或3.大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ） A外离 B外切相交 D内含 5.若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ）A内切 B相交 C外切 D外离6.外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是A11B7C4D3十一.圆的有关计算考点速览：【例题经典】有关弧长公式的应用例1 如图，RtABC的斜边AB=35，AC=21，点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC于D、E两点，求弧DE的长度 有关阴影部分面积的求法·COABDE例2

24、 如图所示，等腰直角三角形的斜边，是的中点，以为圆心的半圆分别与两腰相切于、求圆中阴影部分的面积求曲面上最短距离例3 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是（ ） A2 B4 C4 D5求圆锥的侧面积例4 如图10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件的表面积（结果保留根号）三、应用与探究：AOCB1如图所示，A是半径为1的O外一点，OA=2，AB是O的切线，B为切点，弦BCOA，连结AC，求阴影部分

25、的面积 2已知：如图，ABC中，ACBC，以BC为直径的O交AB于点D，过点D作DEAC于点E，交BC的延长线于点F 求证：（1）ADBD； （2）DF是O的切线3如图，在RtABC中，B90°，A的平分线与BC相交于点D,点E在AB上，DE=DC,以D为圆心，DB长为半径作D（1）AC与D相切吗？并说明理由（2）你能找到AB、BE、AC之间的数量关系吗？为什么？4、如图，已知：内接于O，点 在的延长线上，（1）求证：是O的切线； （2）若，求的长圆的综合测试一：选择题1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧

26、其中正确的有（ ）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2下列判断中正确的是（ ）A.平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦3如上图，已知O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则AEC等于（ ）A.60° B.100° C.80° D.130°4圆内接四边形ABCD中，A、B、C的度数比是2:3:6，则D的度数是（ ）A.67.5° B.135° C.112.5° D.110

27、6;5.过O内一点的最长弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则的长为( ). A、B、C、D、6两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和 5，如果P与这两个圆都相切，则P 的半径为( ) A.2 B.7 C.2或7 D.2或4.57ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则ABC的面积为（ ）A.（abc）r B.2（abc） C.（abc）r D.（abc）r8已知半径分别为r和2 r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（ ）A.0d 3r B.r d 3r C.r d 3r D.r d 3r9.将一块弧长为p 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为（）CABDFOA B C D10.如图，圆 O中弦AB、CD相交于点F，AB=10，AF=2，若CF:DF=1:4，则CF的长等于（ ）。A B2 C3 D2DABCABCC11.有一张矩形纸片ABCD，其中AD=4cm，上面有一个以AD为直径的 半圆，正好与对边BC相切，如图（甲），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（ ）A. BC D12.如图，两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为 16，过小 圆上任一点作 大圆的弦，则的值