简单复合函数的求导法则

1、复习：两个函数的和、差、积、商的复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。求导公式。1、 常见函数的导数公式：常见函数的导数公式：0C1)(nnnxxxxcos)(sinxxsin)(cos2、法则、法则1 )()()()(xvxuxvxu法则法则2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x , ( )( )Cu xCu x 法则法则3 2(0)uu vuvvvv复合函数的导数复合函数的导数新授课新授课函数函数 ， ， 构成间的关系？构成间的关系？2uy 23 xu2)23( xy可由可由 与与 复合得到复合得到 2uy 23 xu2)23( xy例

2、例1 指出下列函数的复合关系：指出下列函数的复合关系： 32)2(xy （1）2sin xy （2） xy4cos （3）)13sin(ln xy（4） 由由 复合而成复合而成 32)2(xy 232,xuuy 解解：（：（1）（2 2） 由由 复合而成复合而成 2sin xy 2,sinxuuy （3 3） 由由 复合而复合而成成 xy4cos xuuy 4,cos （4 4） 由由 复合而复合而成成 )13sin(ln xy13,sin,ln xvvuuy复合函数的导数复合函数的导数新授课新授课例例2 写出由下列函数复合而成的函数：写出由下列函数复合而成的函数： （1） （2 2）21,c

3、osxuuy xuuyln,ln 解解：（：（1 1）).ln(lnxy )1cos(2xy （2）1.复合函数的概念:( ),( ),( )( )( )yfxuxyf uuuxxyfx对 于 函 数令若是 中 间 变 量 的 函 数 ，是 自 变 量 的 函 数 ， 则 称是复自 变 量 x的合 函 数 .二、讲授新课：*如何对复合函数求导呢？引例引例 一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，其面积成一个圆形油膜，其面积 是半径是半径 的函数：的函数：Sr 油膜半径油膜半径 随着时间随着时间 的增加而扩大，其函数关的增加而扩大，其函

4、数关系为：系为：tr2)(rrfS12)(ttr 问：油膜面积问：油膜面积 关于时间关于时间 的瞬时变化率是多的瞬时变化率是多少？少？St分析：分析：油膜面积油膜面积 关于时间关于时间 的新函数：的新函数：St2)12()(ttfS)12(4)48()(tttf)144()12()(2tttftf由于由于所以由导数的运算法则可得：所以由导数的运算法则可得：2)(,2)(trrrf)()12(2)12(2)(ttfttf定理定理 设函数设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，均可导，则复合函数则复合函数 y = f ( (x) 也可导也可导.且且( )( )xyf ux，xuxuy

5、y 或或复合函数的求导法则复合函数的求导法则即：即：因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.( .( 链式法链式法则则 ) )注意：1、法则可以推广到两个以上的中间变量；2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导. xuuyxyxx00limlimxuuyxx 00limlim，xuxuuyxuuy 00limlim.xuxuyy 即即证证设变量设变量 x 有增量有增量 x，. 0lim0 ux所所以以由于由于 u 可

6、导，可导， 相应地变量相应地变量 u 有有增量增量 u，从而从而 y 有增量有增量 y.复合函数复合函数 中，令中，令 ，则，则)(xfy)(xu)()()(xufxf注意：注意：注意：注意：不要写成不要写成 ！)(xf对对x求导求导对对 求导求导)(x复合函数的导数复合函数的导数若若 ， ，求，求 23,2 xuuy)(,xfuyxu 2)23()( xxf并分析三个函数解析式以及导数之间的关系并分析三个函数解析式以及导数之间的关系新授课新授课128)4129()23()(22 xxxxxfuyu2 3 xu12183)23(232 xxuuyxu函数函数 可由可由 复合而成复合而成23,2

7、 xuuy)(xfxuuyxf )(例例1：求：求xy2sin的导数的导数分析：分析：解解1：(sin 2)(2 sinc o s)yxxxx )sinsincos(cos2xxxx解解2：xy2sin可由y=sinu,u=2x复合而成2,cosxuuuyxuuyxy=2cos2xxuxuuy2cos2cos2.x2cos2xxxx2cos)2(sincos)(sin?复合函数的导数复合函数的导数例题讲解例题讲解例例2 求求 的导数的导数5)12( xy解：设解：设 ， 则则 12,5 xuuyxuxuxxuuyy) 12()(5 444) 12(102) 12( 525 xxu（1）首先要弄

8、清复合关系，特别要注意中间变量；）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量；（2）尽可能地将函数化简，然后再求导；）尽可能地将函数化简，然后再求导；（3 3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用；运用；（4）复合函数求导法则，常被称为）复合函数求导法则，常被称为“链条法则链条法则”，一环套一环，缺一不可。一环套一环，缺一不可。复合函数求导法则的注意问题：复合函数求导法则的注意问题： 例例3 求函数求函数 的导数。的导数。13 xy例例4 求函数求函数 的导数。的导数。3)12(xy 利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要利用复合函数的求导法则来求导数

9、时，首先要弄清复合关系，而选择中间变量是复合函数求导的弄清复合关系，而选择中间变量是复合函数求导的关键。关键。分析：分析： 令令 ，则函数是由，则函数是由 与与 复合而成，由复合函数求导法则复合而成，由复合函数求导法则可知：可知：13)(xxu21)(uuuf13)(xxu解：解：1323321)()()13(xuxufx 例例3 求函数求函数 的导数。的导数。13 xy解：解： 令令 ，则函数是由，则函数是由 与与 复合而成，由复合函数求导法则复合而成，由复合函数求导法则可知：可知：12)(xxu12)(xxu3)(uuf223)12(623)()()12(xuxufx例例4 求函数求函数

10、的导数。的导数。3)12(xy（1）分解；（2）求导；（3）相乘；（4）回代。复合函数求导的基本步骤：复合函数求导的基本步骤：例例5 5、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度中，水面高度y y（单位：（单位：cmcm）。关于时间）。关于时间t t（单位：（单位：s s）的函数为）的函数为12100)(tthy，求函数在，求函数在t t=3=3时的导数，时的导数，并解释它的实际意义。并解释它的实际意义。12100)(tthyxxf100)(12)(ttx解：函数解：函数是由函数是由函数与与复合而成的，其中复合而成的，其中x x是中间变量。是中

11、间变量。22) 12(2002100)()()(txtxfthyt将将t t=3=3代入代入)(th得：得：49200)3( h（cm/s）。）。它表示当它表示当t=3时，水面高度下降的速度为时，水面高度下降的速度为 49200 cm/s。例例6 求下列函数的导数：求下列函数的导数：)(sin)2()()1(2xfyxfy 前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题中的对应法则中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们是未知的，是抽象的复合函数。它们的导数如何求得？的导数如何求得？ 而而对于抽象复合函数的求导对于抽象复合函数的求导, ,一方面要

12、从其形式一方面要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。分运用复合关系的求导法则。分析分析: : 求复合函数的导数求复合函数的导数, ,关键在于分清函数的复合关关键在于分清函数的复合关系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导。个变量对哪个变量求导。解：解：（1）函数是由）函数是由 与与 复合而成的，复合而成的， )(ufy 2)(xxu)(sincoscos)()()(xf xxufxufy)(22)()()(2xf xxufxufy由复合函数的

13、求导法则知：由复合函数的求导法则知：（2）函数由）函数由 与与 复合而成，复合而成，由复合函数的求导法则知：由复合函数的求导法则知：)(ufy xxusin)(xeyxycos110) 2() 25()(11. 求下列函数的导数：求下列函数的导数：2. 求曲线求曲线 在在 处的切线方程。处的切线方程。2)12(xxy6x)25(50 xyxexycos1sin014343 yx动手做一做动手做一做)1()2()1()(2xfyxfy1求下列函数的导数：求下列函数的导数：动手做一做动手做一做)1(xf )1(12xfx)1(1222xfxx小结小结关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。关键

14、：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。 复合函数求导公式：复合函数求导公式：)()()(xufxf利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。 对于抽象复合函数的求导对于抽象复合函数的求导, , 要从其形式上把握其要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关系的求导法则。系的求导法则。 抽象复合函数的导数：抽象复合函数的导数： 利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清是由哪些基本函数