二面角大小的求法的归类分析

1、二面角大小的求法的归类分析四、射影法：利用面积射影公式 S射=S原COST,其中二为平面角的大小，此 方法不必在图形中画出平面角；例3在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PAL平面ABCD， p PA =二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言， 二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小， 在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求 二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时中选择方法， 作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。现 将二面角大小的求法归类分析如下：AB = a

2、,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。、定义法：直接在二面角的棱上取一点特殊点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性;例1在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA丄平面 ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。、三垂线法：二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,五、：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法尤其要考虑射影法例5、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形,PA丄平面 ABCD , PA=AB = a,求平面PBA与平面PDC所成二面角 的大小。补形化为定义法或逆定理作出二面角的

3、平面角；例2在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平 行四边形，PA丄平面ABCD，PA=AB=a， / ABC=30，求二面角P-BC-A的大小。由此可见,面角的类型和求法可用框图展现如下:、垂面法：二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知, 平面与棱垂直；例3在四棱锥P-ABCD中, ABCD是正方形，PAL平面 ABCD PA=AB=a 求 B-PC-D的大小。面角的平面角所在的PDBC可见棱型'转ft根底练习广定义法三垂线法垂酝法积法*15 一22BC在棱I)D 120上，假设AB与面CAC1. 二面角是指A两个平面相交所组成的图形

4、B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2. 平面a与平面B、丫都相交，那么这三个平面可能有A 1 条或2条交线B 2条或3条交线C仅2条交线D 1条或2条或3条交线3 .在300的二面角的一个面内有一个点，假设它到另一个面的距离是10,那么它到棱的距离是A 5 B 20 C10、. 2 D4.在直二面角a -l- B中，Rt ABC在平面a内，斜边 B所成的角为60°，那么AC与平面B所成的角为A 30 0B 450C 600的二面角，那么菱形中含600角的两个顶点间的距离

5、为 。12 .如图， ABC在平面a内的射影为 ABC,假设/ ABC= 0, BC=a,且 平面ABC与平面a所成的角为书，求点 C到平面a的距离13.在二面角a -AB- B的一个平面a内，有一直线 与平面B成300角，求二面角a -AB- B的度数深化练习5.如图，射线BD BA BC两两互相垂直，AB=BC=114.假设二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和、2a，到棱的距离为那么弧度数为一的二面角是3A D-AC-B B A-CD-B C A-BC-D6.A ABC在平面a的射影是厶 ABC，D A-BD-C如果 ABC所BD=，A22a,那么此二面角的度数是 。15.把等腰直

6、角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，假设/BAC=60, 那么此二面角的度数是。16 .如图，正方形 ABCD和正方形ABEF所在平面成60°的二面角，求直线 BD与平面ABEF所成角的正弦值。A S A1B1C=S ABC sin 0B S A1B1C= Sa ABC cos 0C S ABC =s A1B1C1 sin 0D S ABC =s A1B1C1 COS 07.如图，假设P为二面角M-l-NA为l上一点，且/ PAB=a， 角M-l-N的大小为丫，那么有A sin a =sin B sin 丫的面N内一点，PB丄I，B为垂足,PA与平面M所成角为B,二面B

7、 sin B =sin a sin 丫CBA17.如图，在棱长为a的正方体 ABCABCD中，求：1面AABB与面ABCDC sin 丫 =sin a sin B D8 .在600的二面角的棱上有两点所成角的大小；2二面角G BD-C的正切值。AB以上都不对A、B，AC BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，：AB=6 AC=3 BD=4那么CD=。9. ABC和平面 a，Z A=3C0，Z B=60，AB=2 A圧 a,且平面 ABC与a所成角为300,那么点C到平面a的距离为。10. 正方体ABCA1B1CD中，平面 AACC和平面ABCD所成的二面角锐角11. 菱形的一个内角

8、是600,边长为a,沿菱形较短的对角线折成大小为 600二面角大小的求法答案因 PB=2 a,BC=a,PC= . 3 a, - PB -BC=S PBC=- PC-BH2 2PA _ ABPB=PD那么BH=?=DH , 又BD= J2a在厶BHD中由余弦定理，得:31.、 AB=AD=aPA_ADAB = AD = an PB =PD , BCPC二 DC 二：PBD 二. PDC二 PC过B作BH丄PC于H，连结DHBH2 + DH2-BD2cos/ BHD =2BHBDa<3丿-V2afDH丄PC 故/ BHD为二面角 B-PC-D的平面角1PB -BC=S PBC= PC -B

9、H2 2因 PB=、2 a,BC=a,PC= 3 a,-2兀又 0v/ BHD V n 那么/ BHD= 3-2仝a乜a33,二面角B-PC-D的大小是 o3那么 BH=DH 又 BD= 2a3在厶BHD中由余弦定理，得:AD _ PA4解面积法如图 AD _ ABPAD AB = A1u AD 丄 PBA于 Acos/ BHDBH2 DH2 - BD2同时，BC丄平面BPA于B，故 PBA是厶PCD在平面PBA上的射影2BHLBD2 Ta"设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为0,那么cos=S .PCD20 =45 °2兀 又 Ov/ BHD V n 那么/ BHD=

10、 一Q-tt,-二面角B-PC-D的大小是 。32解：三垂线法如图PAL平面BD过A作AHL BC于H,连结PH,又AHL BC故/ PHA是二面角 P-BC-A的平面角，a贝U PHLBC在 Rt ABH 中,AH=ABsinZ ABC=aS in 30 =在 Rt PHA中,tan / PHA=PA/AH=a 二 2a2,那么/ PHA=arctan2.5解补形化为定义法如图将四棱锥P-ABCD补形得正方体 ABCD-PQMN , 贝U PQ 丄 PA、PD,于是/ APD是两面所成二面角的平面角。在 Rt PAD 中，PA=AD，那么/ APD=45。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为 45 参考答案3解垂面法如图PAL平面 BD B