二次函数与特殊四边形综合问题专题训练(有问题详解)

1、标准文档二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练一、知识准备：抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能 构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式(1)抛物线上的点能否构成平行四边形(2)抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解 决这类问题的关键。二、例题精析【抛物线上的点能否构成平行四边形】1例一、(2013河南)如图，抛物线y =-x +bx+ c与直线y =-x+ 2交于C,D两点，其 2中点C在y轴上，点 D的坐标为(3,7)。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点 P作 2P

2、E _Lx轴于点E ,交CD于点F .(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m ,当m为何值时，以O,C,P, F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。1【解答】(1)二.直线y=x+2经过点C ,C(0,2)22.一一7、抛物线 y = x +bx+c经过点 C(0, 2) , D (3-)2=c7 M .=-3 3b cblc = 2.抛物线的解析式为y = -x27x 222(2)二,点P的横坐标为 m且在抛物线上271-P(m, -m- m 2), F(m,-m 2) PF / CO,，当PF=CO时，以O,C,P, F为顶点的四边形是平行四边形719当 0<m<

3、3 时，PF =-m + m+2 -(一 m+2) =-m +3m 222_-m + 3m = 2 ,解得：m1 = 1, m2 = 2即当m = 1或2时，四边形OCPF是平行四边形1979 当 m 至3时，PF =( m+2)(m +m+2) = m 3m 2223 .万3- .17 ，一m 3m=2,解得：m 二,m2 =(舍去)223 .17即当m1 =时，四边形 OCFP是平行四边形2练习 1 ： (2013?盘锦)如图，抛物线 y=ax2+bx+3与x轴相交于点A ( - 1, 0)、B (3, 0),与y轴相交于点C,点P为线段OB上的动点(不与 Q B重合)，过点P垂直于x轴的

4、直线与 抛物线及线段BC分别交于点E、F,点D在y轴正半轴上，OD=2连接DEOF.(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形 ODE陛平行四边形时，求点P的坐标；考点：二次函数综合题.分析：(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)平行四边形的对边相等，因此 EF=OD=2据此列方程求出点 P的坐标;解答：解：(1)二.点 A ( - 1, 0)、B (3, 0)在抛物线 y=ax2+bx+3 上，,fa-b+3=01 ,19a+3b+3=0解得 a= - 1, b=2,，抛物线的解析式为：y= - x2+2x+3.(2)在抛物线解析式 y=-x2+2x+3 中，令 x=0,得 y=3,C

5、(0, 3).设直线BC的解析式为y=kx+b ,将B (3, 0), C (0, 3)坐标代入得：f 3k+b=0lb=3解得 k= - 1, b=3,y= x+3 .设 E 点坐标为(x, - x +2x+3),则 P (x, 0), F(x, - x+3),- - EF=yE- yF=- x2+2x+3 - (- x+3) =- x2+3x.- 四边形ODE陛平行四边形，.EF=OD=2- x2+3x=2,即 x2- 3x+2=0,解得x=1或x=2 ,.P点坐标为(1, 0)或(2, 0).点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对

6、称的性质等知识点.第(3)问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质，只要求出其对称中心的坐标，即可利用待定系数法求出所求直线的解析练习 2：已知抛物线的顶点为 A2, 1),且经过原点 O,与x轴的另一交点为 R(1)求抛物线的解析式；(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以 O C H B四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D点的坐标；(3)连接OA AR如图，在x轴下方的抛物线上是否存在点 P,使得OBPWOABf 似？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由。(1 )由题意可设抛物线的群听式为y=a (x-2) 2+1;抛物浅过原点，/.Oa ( 0-2 ) 2+

7、1,14抛物线的解析式为片(X-2 ) 2+1, 4(2 )如图1,当四边形OCDB是平行四边形时r CD=OB r由。二工(X-2 )得*=0 f X2=4 r4文案大全,-.B (4,0) r OB=4,由于对秀轴一,Q点的嗤叁标为6 , 12将叉=泄入¥=/(X-2J- + 1 r得bT r4.Df6r-3)；根据抛物爱的对方性可知.在对称相的左侧花物线上存在点D ,使得四边形。DC B是平行四边形，此时。点的坐稳为(-2. *3) r当四边彩。匚BD是三行四边形时，D点即为A点，此时D点的坐标为(2 r 1)不存在.如图2 ,由他物辨又寸称性可知:AO-AB r zAOB=z

8、ABQ .若-3DP与-AOB用限，必须再dOB =4BOA =/BPCl设。P对蛾线的对称轴于A点r显然A' (2 r -1)直线OP的解析式为y吟1 1 1主 T=-k+X r 得X1 = O J X产 62 4/.P(6r-3)过P作PmJ_乂轴，在Rt-BEP中 r BE=2 f PE=3 r,PE=、13X .z.PB/OB ,/,zBOP*zBPO f.一PB。与-BA。不唱似r同理可说明在对邪由左边的攫物浅上也不存在符含条件的P点.所以在阂旭物浅上不存在点P r使得BOP与-A。B相似.2练习3：(本题满分12分)如图，抛物线y=axbx 3与y轴交于点C,与x轴交于A1

9、B两点,S.Abc =6tan ZQCA = 一3 ，(1)求点B的坐标;(2)求抛物线的解析式及顶点坐标;(3)设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果 A、C、E、F构成平行四边形，请写出点 E的坐标（不必书写计算过程）答案：24> 解：(1) , y = ax2 +bx + 3 C (0,3) 1 分1又. tan Z OCA3A (1, 0) 1分1- x3x AB =6又Saab(f62.AB=4 1分.B ( -3, 0) 1分(2)把 A (1, 0)、B (-3, 0)代入 y = ax2 +bx+3得:1 1分p = 9a-3b+3 - a 1, b = 2y = -x2

10、-2x +3 2 分y = -(x +1产 +4，顶点坐标(1, 4) 1分(3)AC为平行四边形的一边时E 1 析(-1, 0) 1 分E2 ( 2 - '7 , 0) 1 分E3 ( -2 + 防,0) 1 分AC为平行四边形的对角线时E4 (3, 0) 1 分练习 4： (2011南宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+m)+n经过点A (3, 0)、B(0, -3),点P是直线AB上的动点，过点 P作x轴的垂线交抛物线于点 M设点P的横坐标 为t .(1)分别求出直线 AB和这条抛物线的解析式.(2)若点P在第四象限，连接 AM BM当线段PM最长时，求 ABM勺面积.

11、(3)是否存在这样的点 P,使得以点P、M B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定.专题：压轴题；存在型.分析：(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A (3, 0) B (0, -3)分别代入y=x2+m)+n与y=kx+b,得到关于 m n的两个方程组，解方程组即可；(2)设点P的坐标是(t, t - 3),则M (t, t2-2t -3),用P点的纵坐标减去 M的纵坐标得 至ij PM的长，即PM=

12、(t-3) - (t2-2t- 3) =-t2+3t,然后根据二次函数的最值得到当t=-=3时,PM最长为 9 、 =9，再利用三角形的面积公式利用Saab后S一2：-4 BPM+SX APM计算即可；(3)由PM/ OB根据平行四边形的判定得到当PM=O印寸，点R M B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当 P在第四象限：PM=OB=3, PM最长时只有，所以不可能；当 P在第 一象限：PM=OB=3, (t2-2t- 3) - (t-3) =3;当 P 在第三象限：PM=OB=3, t2- 3t=3,分别 解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.解答：2解：(1)把 A (3, 0

13、) B (0, - 3)代入 y=x+m)+n,得。二9+3叶门解得了-2 ,所以抛物线的解析式是y=x2- 2x-3.3=nn= - 3设直线AB的解析式是y=kx+b,r A- OU J Lf 1-=1把A (3, 0) B (0, - 3)代入y=kx+b,得一 ，解得，一-3=b b= - 3II所以直线AB的解析式是y=x-3;(2)设点 P 的坐标是(t, t - 3),则 M (t, t2-2t - 3),因为p在第四象限，所以 PM= (t 3) ( t22t 3) =-t2+3t ,，3.一 ，一 八-9当t=-士一一二3时，二次函数的最大值，即PM最长值为 =-,一 一：2

14、1.4则 S；AABM=S BPI+SAPMpA V X 于2 .2 4 ° S(3)存在，理由如下:PM/ OB当PM=OB寸，点P、M B O为顶点的四边形为平行四边形， 9 当P在第四象限：PMIO&3, PM最长时只有一，所以不可能有 PM=3.4_当 P在第一象限：PM=O93, (t2- 2t -3) (t 3) =3,解得 ti="-21, t2=3 -何 (舍22去)，所以P点的横坐标是亘叵；2当P在第三象限：PM=OB=3, t2-3t =3,解得ti上返!(舍去)，tzN一叵，所以p点的22横坐标是"2.2所以P点的横坐标是 过叵或尤誓

15、.22【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】三、形成提升训练(下面两题难度较大)21、(2007义乌币)如图，抛物线 y=x 2x 3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于 A C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线 AC的函数表达式；(2) P是线段AC上的一个动点，过 P点作y轴的平行线交抛物线于 E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在 x轴上是否存在点 F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的 四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.52、如图，抛物线经过 A(1,0), B(5,

16、0),C(0,-)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC勺值最小，求点 P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由x(第26题图)(第26题图)1a =2,解得b = 2,5 c =.2由题意，得5k b =0,u 5b =-.2解得b”2解析：解：(1)设抛物线的解析式为y = ax2+bx +c,a -b +c =0, 根据题意，得4 25a+5b+c = 0,5c =.121 95.抛物线的解析式为：y = -x2 -2x-5. （3分）22

17、P,(2)由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点设直线BC的解析式为y = kx + b , 15直线BC的解析式为y =-x. （6分）221 o _5-:抛物线y =x22x的对称轴是x=2,2 21 53.当 x = 2时，y= _ x_ = _.2 223点P的坐标是(2,-). (7分)(3)存在(8分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，二,四边形ACN谑平行四边形，CW x轴,5点C与点N关于对称轴x=2对称，= C点的坐标为(0,-3)，.点N的坐标为（11 分）（4,-|）.(II )当存在的点N在x轴上方时，如图所示，作 N'H，x轴于点H, 四边形ACM'N'是平行四边形， AC = M N , . N M H , CAO ,RtACAO RtA N M H , N H =OC .5，55点C的坐标为(0,_),. N H =，即N点的纵坐标为一，222'1 x2 2x -=,即 x2 -4x-10=022 2解得 x1 =214,x2 = 2 - 14.55点 N 的坐标为(2 Jl4,)和(2 + VT4, ).综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分