高等数学课后习题答案

1、第九章习题解答（2）习题9.31、 求上半球面含在柱面内部的曲面面积解：被积函数为 所以 积分区域为：，化成极坐标：设， 2、 求圆锥面被柱面所截下的曲面面积解：被积函数为 ， 所以 积分区域为：，设， 3、 求抛物柱面含在由平面所围的柱体内的面积解：被积函数为 ， 所以 积分区域为：，围成的闭区域。4、 求下列图形的形心（1）、，围成的闭区域解：将密度看成1； 于是得形心坐标为： 形心为（2）、，围成的闭区域解：将密度看成1； （前面求出的结果） 由图形关于轴的对称性得 形心为（3）、，围成的闭区域解：面积 由图形关于轴的对称性得形心为5、 圆盘内各点处的密度，求此圆盘的质心解：，由对称性得

2、 所求质心为6、 设有一个等腰直角三角形薄片，各点处的密度等于该点到直角顶点距离的平方，求此圆薄片质心解：设等腰直角三角形的顶点为则由对称性得， 所求质心为7、 设有顶角为，半径为的扇形薄片，各点处的密度等于该点到扇形顶点距离的平方，求此薄片质心解：设扇形顶点为关于轴对称 则 由对称性得，所求质心为8、 设均匀薄片（面密度为常数，战局的区域如下，求指定的转动惯量（1）、求，其中是过原点切倾斜角为的直线解：由题设可知薄片上任意点到直线的距离为（2）、求，其中是过原点与点的对角线由题设可知薄片上任意点到直线的距离为=习题9.41、 化三重积分为三次积分（只须先次对后对一种次序）（1）、由三个坐标面

3、与平面围成解：，（2）、由旋转抛物面与平面围成解：，（3）、由圆锥面与上半球面围成解：，（4）、由双曲抛物面与平面围成解：，2、 设有一物体，点据空间闭区域密度函数为，求该物体的质量解：+3、 计算三重积分（1）、 （2）、 （3）、 2（4）、 （5）、 解；积分区域是，这样计算很繁琐，改为下面的方法（是很高的技巧）任意取一点则截口面积为4、 利用柱坐标计算（1） 其中是由上半球面与旋转抛物面围成的闭区域解：先确定该区域在面的投影区域为就是设：，有，（2） 其中是由旋转抛物面与平面围成的闭区域解：先确定该区域在面的投影区域为就是设：，有，5、设密度为常量的均匀物体占据由与围成的闭区域，求（1

4、）、物体的质量（2）、物体的重心（3）、物体对于轴的转动惯量解：先确定该区域在面的投影区域就是（1）、 （2）、由对称性得，所以物体的重心是（3）6、设密度为常量1的均匀物体占据由上半球面与圆锥面围成的闭区域，求（1）、物体的质量（2）、物体的重心（3）、物体对于轴的转动惯量解：先确定该区域在面的投影区域为就是设：，有， ，于是（1）、 （2）、由对称性得，所以物体的重心是（3）、 所以（B）的习题1、 2、 皆7：先确定该区域在面的投影区域为就是设：，有， ，于是习题9.51、 计算下列对弧长曲线积分（1）、，其中为圆周解：设，（2）、 其中是连接点，的直线段解：的方程为 （3）、 其中是连

5、接点上点，的一段弧解：的方程为 （4）、 其中是连接点，的直线段解：的方程为 ， ， （5）、，其中为与所围区域的边界解：的方程为 ， 的方程为 ， （5）、，其中为与所围区域的边界解：的方程为 ， 的方程为 ， （6）、，其中为圆周解：设，（7）、，其中为圆周在第一象限的区域的边界解：在直线上 在弧上设，在直线上 （8）、 其中是围成的矩形的边界解：的方程为 ，的方程为 的方程为 ，的方程为 （9）、 其中是摆线的一拱解：（10）、 其中是上半圆周与轴围域的边界解：，：化为设， ：， 2、 求半径为中心角为的扇形圆弧的质心（密度均匀解：选择与书上168页图9-34一样的坐标系，于是根据对轴的

6、对称性得设，所求质心为3、 计算下列关于坐标的曲线积分（1）、，是抛物线上到一段弧解：（2）、，是矩形的边界按照逆时针方向解：， ， ，（3）、，是一段针方向的弧解：（4）、，是圆周沿逆时针方向解：，（5）、，是折线从到一段解：，弧，（6）、，是摆线的一拱，从到解： 4、计算，其中分别是（1）、上点到（2）、点到的直线段解：（1）、在上点到，（2）、点到的直线段，5、计算，其中分别是（1）、上点到的一段弧（2）、点到的一段弧（3）、点到点再到点的折线解：（1）、上点到，（2）、点到的一段弧，（3）、点到点再到点的折线6、一力场由沿轴正向的常力构成，求将一个质量为的质点沿按逆时针方向移动过第一象

7、限那段弧所做的功解：节9.6习题处理1、计算下列关于坐标的曲线积分，并验证格林公式的正确性（1），是椭圆沿逆时针方向解：设用格林公式 （2）、直线段围成的闭路解：； ；用格林公式 2、求星形线所围的面积解：3、用格林公式计算（1）、直线段围成的三角形边界解： （2）、逆时针方向解： （3）、由的弧解：先补足成闭路于是（4）、上由的弧解：先补足成闭路于是（5）、 上由的弧解：先补足成闭路于是（6）、 上由的上半椭圆解：先补足成闭路于是4、 证明下列曲线积分在面内与路径无关，并计算积分值（1）、 都是初等函数，因此在面内有连续的偏导数 得 所以曲线积分在面内与路径无关（2）、 都是初等函数，因此在面内有连续的偏导数 得 所以曲线积分在面内与路径无关（3）、 都是初等函数，因此在面内有连续的偏导数 得 所以曲线积分在面内与路径无关5、验证下列在整个面内是某一个函数的全微分，并且求这样的函数（1）、解答： 都是初等函数，因此在面内有连续的偏导数 得 所以曲线积分在面内存在，使（2）、解答： 都是初等函数，因此在面内有连续的偏导数 得 所以曲线积分在面内存在，使（3）、解答： 都是初等函数，因此在面内有连续的偏导数 得 所以曲线积分在面内存在，使