高数各章综合测试题与答案

1、第十一章 无穷级数测试题一、 单项选择题1、若幂级数在处收敛，则该幂级数在处必然( )(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性不定.2、下列级数条件收敛的是( ). (A) (B) (C) (D) 3、若数项级数收敛于，则级数( )(A) (B) (C) (D) 4、设为正常数，则级数( ).(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与有关.5、设，而，其中，则等于( )(A) (B) (C) (D) .二、 填空题1、 设，则( )2、 设的收敛域为，则级数的收敛区间为( )3、 设，则以2为周期的傅里叶级数在处收敛于( )4、 设的

2、傅里叶级数为则( )5、级数的和为( )三、计算与应用题1、求级数的收敛域2、求的和3、将函数展开为的幂级数，并求4、求的和函数5、 已知满足，为正整数，且，求函数项级数的和函数.6、 设有方程，其中为正整数，证明此方程存在唯一正根，并证明当 时，级数收敛.四、证明题设（1） 求（2） 试证：对任意常数，级数收敛提示：，. 因为,所以,第十一章 无穷级数测试题答案与提示一、1、A； 2、D；3、B；4、C；5、B.二、1、1；2、；3、；4、；5、.三、1、答案：.2、答案：提示：原式为级数的和函数在点的值.而,分别求出和的和函数即可.3、答案： .提示: 4、答案：提示：，而5、答案：提示：

3、先解一阶线性微分方程，求出特解为 ，记，则可得6、提示:设,则,故在内最多有一个正根.而,所以有唯一正根.由方程知,故当 时，级数收敛.四、提示：，. 因为,所以,第十章 曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题1、已知为某二元函数的全微分，则等于( )(A) (B) (C) (D) .2、设闭曲线为的正向，则曲线积分的值等于( ) (A) (B) (C) (D) .3、设为封闭柱面，其向外的单位法向量为，则等于( )(A) (B) (C) (D) .4、设曲线为，则等于( ) (A) (B) ; (C) (D) .5、设为下半球的上侧，是由和所围成的空间闭区域，则不等于( ) (A) (B)

4、; (C) (D) .二、填空题1、设是圆周，则( )2、设质点在力的作用下沿椭圆的逆时针方向运动一周，则所做的功等于( )3、设是平面被圆柱面所截下的部分，则等于( )4、设是球面的外侧，则等于( )5、设与路径无关，其中连续且，则( )三、计算与应用题1、求，其中为正常数，为从点沿曲线到点的弧.2、计算，其中为圆周.3、在变力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦挂线的点，问取何值时，力所做的功最大？并求出最大值.4、设为椭球面的上半部分，点，为在点处的切平面，为点到平面的距离，求.5、求，其中为曲面的上侧.6、设对于半空间内任意光滑有向闭曲面，都有，其中函数在内具有连续的一阶导数

5、，且，求.答案：提示：由题设和高斯公式得由的任意性，知，解此微分方程即可.四、 证明题已知平面区域，为的正向边界，试证：（1）；（2）第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、1、D；2、C；3、A；4、B；5、B.二、1、；2、；3、；4、；5、.三、1、答案：.提示：添加从沿到点的有向直线段，然后用格林公式.2、答案：.提示：利用变量“对等性”.3、答案： .提示：直线段，从0变到1，功为 再求在条件下的最大值即可.4、答案： .提示：曲面在点处的法向量为，切平面方程为：，点到平面的距离.5、答案：.提示：添加曲面为平面上被椭圆所围的下侧，在和所围封闭曲面上用高斯公式. 注意到在的积分

6、等于为0.6、提示：（1） 左边=，同理，右边=（2） 由（1）得=，而由和泰勒展开式知道，而.第九章 重积分测试题一、选择题1、若区域是平面上以，和为顶点的三角形区域，是在第一象限中的部分，则( ).(A) ;(B) (C) (D) 02、设连续，且，其中是平面上由 和所围区域，则等于( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) 3、设其中，则( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) 4、设空间闭区域由及确定，为在第一挂限的部分，则( ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) 5、设空间闭区域，则下列将化为累次积分中不正确的是( ).(A) ; (B) ;(C) ; (

7、D) 二、填空题1、设区域为，则的值等于( )2、设，则的值等于( )3、积分的值等于( )4、积分可化为定积分，则等于( )5、积分的值等于( )三、计算与应用题1、求，其中是由圆和所围的平面区域.2、求，其中.3、计算，其中由曲线绕轴旋转一周而成的旋转曲面与平面所围的立体.4、计算，由及确定.5、计算.6、设有一高度为（为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为），问高度为的雪堆全部融化需多少小时？四、证明题设函数在上连续，并设，证明.第九章 重积分测试题答案与提示一、1、A；2、D；3、A；4、C；5、B.

8、二、1、；2、；3、；4、；5、.三、1、答案：.提示:将看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可.2、答案：提示：为确定，必须将分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可.3、答案：提示:旋转曲面的方程为,用柱面坐标计算即可.4、答案：.提示: , .5、答案：.提示：交换积分次序.6、答案：小时提示：先利用三重积分求出雪堆的体积； 再求出雪堆的侧面积；由题意，所以，解出并令其等于0，则可得结果.四、提示：交换积分次序，并利用.第八章 多元函数微分法及应用测试题一、选择题1、已知函数在上连续,那么( ). (A) (B) (C) ; (D) 2、在矩形域内，是（常数）的（

9、）.(A) 充要条件； (B)充分条件； (C) 必要条件; (D).既非充分又非必要条件3、若函数在区域内的二阶偏导数都存在，则（ ） （A） 在内成立； （B）在内连续； （C） 在内可微分； （D）以上结论都不对4、的值为（ ）(A) ； (B) 不存在； (C) ； (D) .5、设有三元函数，据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）. （A）只能确定一个具有连续偏导的隐函数； （B）可确定两个具有连续偏导的隐函数和； （C）可确定两个具有连续偏导的隐函数和； （D）可确定两个具有连续偏导的隐函数和.二、填空题1、设,则的值为（ ）.2、设具有连续偏导数，且，令，则的

10、值为（ ）.3、设，其中是由确定的隐函数，则（ ）.4、曲线在点处的切线方程为（ ）.5、函数在点处沿（ ）方向的方向导数最大？三、 计算和应用题1、设为某一函数的全微分，求和的值2、设，具有二阶连续偏导数，且，如果，求常数的值.3、在椭球内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体积最大?4、设，而是由方程所确定的的函数，求5、设有二阶连续偏导数, , 且, 证明 在取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.6、设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占的区域为，小山的高度函数为（1） 设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导

11、数的最大值为，试写出的表达式.（2） 现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置.四、 证明题设可微，试证曲面上任一点处的切平面都通过定点.第八章 多元函数微分法及应用测试题答案与提示一、1、C；2、A；3、D；4、B；5、D.二、1、；2、；3、1；4、；5、.三、1、答案：.提示： 利用这一条件.2、答案：.提示: ，又因为，所以，.3、答案：.提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为，则求体积在条件下的极值就可.4、答案：.5、答案：故是极大值.提示：由全微分的定义知 A= , 且, 故是极大值.6、答案: 攀登起点的位置: .

12、提示: 沿梯度方向的方向导数最大,方向导数的最大值即为梯度的模. 然后再求在条件下的极大值点就可.四、答案: 通过定点.第六章 微分方程测试题一、选择题1、设是的解,若且,则在点 ( ).(A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 在某邻域内单增; (D) 在某邻域内单减.2、微分方程的一个特解应具有形式 ( ) (为常数).(A) (B) (C) (D) 3、微分方程的特解形式可设为( ). (A) (B) (C) (D) 4、设线性无关的函数都是非齐次线性微分方程的解，是任意常数，则该方程的通解为( ). (A) (B) (C) (D) 5、方程满足的特解为( ). (A) (B) (

13、C) (D) 二、填空题1、已知微分方程有一个特解,则其通解为( ).2、以为特解的二阶常系数齐次微分方程是( ).3、若连续函数满足，则等于( ).4、已知函数在任意点处的增量，其中是比高阶的无穷小，且，则等于( ).5、的通解为( ).三、计算和应用题1、 设是二阶常系数线性微分方程的一个特解，求该微分方程的通解.2、 设函数在内具有二阶导数，且是的反函数.(1) 试将所满足的微分方程变换为所满足的微分方程;(2) 求变换后的微分方程满足条件的解.3、已知都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程4、 已知连续函数满足，求.5、 已知连续函数满足，求.6、设函数在上连续恒正，若

14、曲线，直线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为，试求所满足的微分方程，并求该方程满足的特解.四、证明题证明方程（其中连续）的通解为，其中为任意常数.第六章 微分方程测试题答案与提示一、1、A；2、B；3、A；4、D；5、C.二、1、；2、；3、；4、；5、.三、1、答案：.提示：将代入原方程，比较同类项系数，求出的值，然后再去求解微分方程.2、答案: (1) ;(2) .3、答案: .提示: 是对应齐次微分方程的特解,从而可得出对应齐次微分方程为, 设非齐次线性微分方程为,再将其中任意个非齐次特解代入,得出.4、答案: .5、答案: .提示：作代换，则.6、答案: .提示：依题

15、意可得：，然后两边求导.四、略.第五章 定积分及应用测试题一、选择题1、设连续，则的值是( ).（A） 依赖于和； （B）是一个常数； （C）不依赖于但依赖于； （D）依赖于但不依赖于.2、下列积分中,等于零的是( ).(A) (B) (C) (C) 3、设在上，令，则( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .4、已知，则的值等于( ). (A) (B) (C) (D) 5、设在处可导，且，则极限的值等于( ).(A)不存在； (B) (C) (D) 二、填空题1、设连续，则等于( ).2、定积分的值为( ).3、定积分的值为( ).4、若积分,则常数的值等于( ).5、曲线与轴所

16、围成的面积值等于( ).三、计算和应用题1、已知，且，求.2、计算3、设，求4、 计算.5、设，求.6、设可导，且与无关，求.四、证明题设函数在上连续，在内，证明存在唯一的使曲线和所围面积是和所围面积的倍.第五章 定积分及应用测试题答案与提示一、1、D；2、C；3、B；4、A；5、D.二、1、；2、；3、；4、；5、.三、1、答案：.提示：用分部积分.2、答案：.提示：利用奇偶对称性.3、答案：1.提示：分别求出和的值即可.4、答案：.提示：.5、答案：.6、答案：.提示：令， 由得，所以.四、提示：，令，用零点定理和单调性证明即可.第一章综合测试题一、单项选择题1、当时的左极限和右极限都存在

17、且相等是存在的( )条件.(A) 充分; (B) 必要; (C) 充要; (D) 无关.2、设 ( ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) 极限不存在.3、设，则当，有 ( ).(A) 与是等价无穷小; (B) 与是同阶但非等价无穷小; (C) 是比高阶的无穷小; (D) 是比低阶的无穷小.4、设，则是的( ).(A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 第二类间断点; (D) 连续点.5、方程至少有一个根的区间是( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .二、填空题7、 若，则( )8、 已知函数在连续，则 ( )9、 ( )10、 设 ( )5、已知，则 ( )，

18、( )三、计算与应用题1、设，求函数项级数 .2、设，要使在内连续，应当怎样选择数？3、设，求的间断点，并说明间断点所属类型4、计算极限 5、计算极限 6、设的定义域是，求函数的定义域.四、证明题证明方程在开区间内至少有一个根.第一章综合测试题答案与提示一、1、C；2、C；3、B；4、B；5、C.二、1、；2、1；3、；4、；5、任意常数，6.三、1、答案： .2、答案：3、答案： 是第一类间断点，是第二类间断点4、答案： 15、答案：.6、答案: .四、提示：利用零点定理第二章综合测试题一、单项选择题1、若在处可导，则的值应为( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .2、设 (

19、).(A)不连续; (B)连续，但不可导; (C)连续，且有一阶导数; (D) 有任意阶导数.3、若为内的可导奇函数，则 ( ).(A) 必为内的奇函数; (B) 必为内的偶函数; (C) 必为内的非奇非偶函数; (D) 在内，可能为奇函数，也可能为偶函数.4、在处可导，则 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .5、设，则 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .二、填空题11、 在点可导是在点连续的（ 充分 ）条件，在点可导是在点可微的（ ）条件12、 设，则 ( )13、 设为可微函数，则当时，在点处的是关于的( )无穷小.14、 已知，则 ( )， ( )

20、15、 设函数由方程确定，则 ( )三、计算与应用题1、讨论函数在处的连续性和可导性.2、已知，求 . 3、设且存在，求.4、设，求微分. 5、用对数求导法计算函数的导数 6、求函数的阶导数.四、证明题设在内有定义，且，恒有，其中，证明在内处处可导. 第二章综合测试题答案与提示一、1、A；2、C；3、B；4、D；5、B二、1、充要；2、；3、高阶；4、；5、1三、1、答案：连续不可导.2、答案：3、答案：. 4、答案：； 5、答案：.6、答案: .四、提示: ，有，第三章综合测试题一、单项选择题1、下列函数在上满足拉格朗日定理条件的是 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .2、

21、设 ，则( ).(A) 是的极大值; (B) 是的极大值; (C) 是的极小值; (D) 是曲线的拐点.3、设函数在上满足，则，或的大小顺序是 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .4、指出曲线的渐近线 ( ).(A) 没有水平渐近线; (B)只有一条垂直渐近线; (C) 既有垂直渐近线，又有水平渐近线; (D) 只有水平渐近线.5、曲线 ( ).(A) 有极值点，但无拐点; (B) 有拐点，但无极值点; (C) 有极值点，且是拐点; (D) 既无极值点，又无拐点.二、填空题16、 设常数，函数在内零点的个数为（ ）17、 若在上连续，则 ( )18、 曲线的渐近线方程为 (

22、)19、 ( )5、若是的四次多项式函数，它有两个拐点，并且在点处的切线平行于轴，那么函数的表达式是 ( )三、计算与应用题1、当为何值时，在处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值.2、求.3、求.4、求椭圆上纵坐标最大和最小的点. 5、求数列的最大项.6、曲线弧上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.四、证明题设在内二阶可导，且. 证明对于少内任意两点及，有.第三章综合测试题答案与提示一、1、B；2、D；3、B；4、C；5、B二、1、2；2、；3、；4、；5、三、1、答案： 是极大值.2、答案：.3、答案： . 4、答案： 和5、答案：.6、答案: 处的曲率半径最小，值为1.四

23、、略第四章综合测试题一、单项选择题1、 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .2、已知的一个原函数是，求 ( ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) 以上答案都不正确.3、已知，则 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .4、已知曲线上任一点的二阶导数，且在曲线上处的切线为，则这条曲线的方程为( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) 以上都不是.5、若，则 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .二、填空题20、 设函数的二阶导数连续，那么( ).21、 若，则 ( ).22、 已知曲线上任意点的切线的斜率为，且时，是极大值，则( )；的极小值是 ( ).23、 ( ).5、 ( ).三、计算与应用题1、求不定积分.2、求不定积分.3