2024年湖北省武汉市九年级调考数学试卷（含解析）

2024年湖北省武汉市九年级调考数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.一5的相反数是（）

11

A.-5B.5C.1D.

2.对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是（）

A.轴对称，平移，旋转B.轴对称，旋转，平移

C.旋转，轴对称，平移D.平移，旋转，轴对称

3.下列事件中，是随机事件的是（）

A.通常温度降到（TC以下，纯净的水结冰

B.随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数

C.明天太阳从东方升起

D.任意画一个三角形，其内角和是360。

4.如图所示的正三棱柱的主视图是（）

5.下列整式计算的结果为的是（）

A.a3+a3B.（a2）3C.a12+a2D.（a3）3

6.光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线

（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角.如图一个平面镜

斜着放在水平面上，形成乙4。8形状，^AOB=36°,在OB上有一点E,从点E射，_________

OE

出一束光线（入射光线），经平面镜点。处反射光线DC刚好与0B平行，贝IUDEB的

度数为（）

A.71°B.72°C.54°D.53°

7.毕业季来临，甲、乙、丙三位同学随机站成一排照合影，甲站在中间的概率为（）

%A-B4Dl

8.“漏壶”是一种古代计时器，在一次实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了

如图所示的液体漏壶，由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀

速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，下表是实验记录的圆柱体容器

液面高度ycm与时间x九的数据：

时间支〃112345

圆柱体容器液面高度y/cm610141822

如果本次实验记录的开始时间是上午8：00,那么当圆柱体容器液面高度达到8cm时是（）

A.8：30B.9：30C.10：00D.10：30

9.如图，△48。内接于。。，^ACB=135°,CD1AB于点D,若4。=4,BD=6,

贝I」CD的长为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

10.如图1,点P从边长为6的等边三角形2BC的顶点力出发，沿直线运动到三角形内部一点Q,再从该点沿

直线运动到顶点B.设点P运动的路程为乃*=y,能反映点P运动时y随x变化关系的部分大致图象如图2,

点P从点Q运动到B的路程为（）

y八

（图1）（图2）

A.6B.3C.2<3D.73

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.据中国网4月7日“文旅之声”微信号消息：2024年清明节假期国内旅游出游1.19亿人次，对数据1.19

亿用科学记数法表示为.

12.请写出一个图象分布在第二、四象限的反比例函数的解析式为.

13•计算去-晏五的结果是—

14.一名滑板运动员在滑板过程中某一时刻的实物图与示意图如图，已知运动员的小腿FD与斜坡AC垂直，

大腿GF与斜坡力C平行，”为头部，假设H,F,。三点在同一条直线上，且头部到斜坡的距离HD为

1.04m,上身与大腿夹角NHGF=53。，膝盖与滑雪板后端的距离EF长为0.8m,若/FED=30。.则此运动员

的身高约为7H.（参考数据：s出53。=0.8,cos53°~0.6,tan53°~

15.如图，边长为2的菱形力BCD中，AABC=60°,E,F分别是AD,BD

上的动点，DE=BF,连4尸，CE,贝U4F+CE的最小值为.

7

16.抛物线y=a/一§0%+。Q,c为不为0的常数）经过点（一1,丫1）,（2,丫2），（矶0），（几。），且V2>yi，现

有以下结论：

①抛物线对称轴为％=

@a>0；

③关于％的方程a/一（|。_i）x+。+1=0一定有两个不相等的实数根.

④若c=-1,n<|,则一焉<0.

其中正确的结论是.

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

求满足不等式组F-3x+1叩的整数解.

18.（本小题8分）

在△ABC中，点E为48中点，过点E作与BC平行的直线和过点C作的平行线交于点。.

（1）求证：AADE支ECB；

（2）若乙4c8=90。，试判断四边形4ECD为什么特殊四边形，并说明理由.

D

19.(本小题8分)

某校七年级举行了知识竞赛活动.为了解全年级1200名学生此次竞赛成绩(百分制)的情况，随机抽取了小个

参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图.

知识竞赛成绩分组统计表

组别分数/分频数

A60<x<70a

B70<%<8020

C80<%<9028

D90<%<10036

请根据图表信息解答以下问题：

(1)直接写出机和a的值；

(2)所抽取的参赛学生成绩的中位数落在的“组别”是；

(3)请你估计，该校全年级竞赛成绩低于80分的学生约有多少人?

知识竞赛成绩扇形统计图

20.(本小题8分)

在AABC中，AB=AC,NB2C=120。，点。为边BC中点，以点。为圆心的圆与4C相切于点。.

(1)如图1,求证：是。。的切线；

(2)若。。与BC交于点G,过点G作4C的垂线，垂足为点F,交。。于点E,连4E交BC于点H,如图2.求噜

的值.

AA

(图1)(图2)

21.(本小题8分)

如图.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线.

(1)在图1中先将线段EF绕点尸顺时针旋转90。得线段F”，再在上画点M,使GM〃EH；

(2)在图2中先画AAFG的高4V,再在DC所在格线上画点P,连PG,使NDPG="IGF.

22.(本小题10分)

现计划在如图所示的三角形ABC地块内种植草皮，需预留一个矩形场地EFHG硬化后进行改扩建，预留的

硬化余地的一边HG在BC上，两个直角顶点E,F在4B,2C上.现已测得BC的长为60m,AABC中BC边上的

高为307n.设EF的长为刀小，EG的长为ym.

(1)直接写出y与x间的函数关系；

(2)为保证预留的地块能符合改扩建要求，需EG的长不低于16小，求预留地块面积Sa2的最大值.

(3)记AAEF的面积为Si，ABEG的面积为52，AFHC的面积为S3,当9sl=4(S2+S3)时，求的长.

A

23.（本小题10分）

问题呈现：在矩形4BCD中，点E为BC上一点，且满足黑=器，如图1.求证：△ABESAADC；

数学思考：将AABE绕着4点逆时针旋转得△7!%,N4FG=90。，连接CG,取CG的中点H,如图2.求证:

FH=HD；

拓展运用：若BE=1,EC=2,旋转过程中，CG的中点”刚好在4D上，则直接写出4H的长.

（图1）（图2）（备用图）

24.（本小题12分）

已知抛物线Li；y—x2—2mx+m2—m+1（实数zn为常数）

（1）用ni的式子表示5的顶点坐标；

（2）若抛物线5与直线y=x有唯一公共点P,此时将5平移，使它的顶点在x轴上，点P的对应点为点Q,求

PQ的长.

（3）若抛物线L经过平移后的新抛物线人对称轴为y轴，过y轴正半轴上一定点尸的任意直线交抛物线也于点

A,B,分别过点A,B作x轴的垂线，垂足分别为点。，E,连。4OB,如图1.若记A/lOB,AAOD,A

BOE的面积分别为S「S2,S3,当兵为定值，求定点尸坐标.

32,3

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.

根据相反数的定义直接求得结果.

【解答】

解：-5的相反数是5.

故选：B.

2.【答案】A

【解析】解：下列各表情图片的变换顺序是轴对称变换一平移变换一旋转变换.

故选：A.

根据平移变换，旋转变换，旋转变换变换的定义判断即可.

本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息.

3.【答案】B

【解析】解：4、通常温度降到（FC以下，纯净的水结冰，是必然事件，故A不符合题意；

8、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，故8符合题意；

C、明天太阳从东方升起，是必然事件，故C不符合题意；

D、任意画一个三角形，其内角和是360。，是不可能事件，故。不符合题意；

故选：B.

根据三角形内角和定理，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答.

本题考查了三角形内角和定理，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关

键.

4.【答案】D

【解析】解：从几何体的正面看所得到的形状是矩形，中间有一道竖直的虚线，

故选：D.

主视图是分别从物体正面看所得到的图形.

本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.

5.【答案】B

333

【解析】解：a+a^2a,故A选项不符合题意；

(。2)3=。6,故B选项符合题意；

122w

a^a^a,故C选项不符合题意；

(a3)3=a9,故。选项不符合题意，

故选:B.

根据整式的同类项相加、同底数幕的相除、塞的乘方分别进行计算，即可得出答案.

本题考查了整式的混合运算，解决的关键是整式混合运算的计算法则来解答.

6.【答案】B

【解析】解：过点。作。尸120交。B于点尸.

zl=z3，

•••CDU0B,

•••z.1=z.2,

z2=N3,

在DOF中，ZODF=90°,^AOB=36°,

Z2=90°-36°=54°,

在4DEF中，4DEB=180°-2z2=72°,

故答案为：B.

过点。作。F14。交OB于点F.根据题意知，DF是NCDE的角平分线，故N1=N3；然后又由两直线CD〃OB

推知内错角Nl=N2；最后由三角形的内角和定理求得NDEB的度数.

本题主要考查了平行线的性质，解答本题的关键是作出辅助线DF14。，在直角三角形中解决问题.

7.【答案】B

【解析】解：甲、乙、丙三位同学随机站成一排，所有等可能的结果有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙

甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，

其中甲站在中间的结果有：乙甲丙，丙甲乙，共2种，

・••甲站在中间的概率为1=:

63

故选:B.

由题意可得出所有等可能的结果以及甲站在中间的结果，再利用概率公式可得出答案.

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：设y与x的关系式为y=kx+b,

•・•点(1,6),(2,10)在该函数上,

.(k+b=6

Al2k+b=10'

解得：C：

y与x的函数表达式为y=4比+2；

.•.当y=8时，即4久+2=8,

解得：x=1.5,

即当圆柱体容器液面高度达到时是9：30.

故选：B.

根据表格中的数据，可知y与尤的关系为一次函数关系，利用待定系数法可得y=4%+2,将y=8代入解析

式，求出相应的x值即可.

本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是明确题意.

9.【答案】A

【解析】解：作前所对的圆周角乙4PB,连接04OB、OC,延长CD交。。于E点,

过。点作。H1A8于H点，。61。9于6点，如图，

•••乙4cB+^APB=180°,

•••Z.APB=180°-135°=45°,

/.AOB=24APB=90°,

OA=OB=/AB=/x(4+6)=52，

•••OH1AB,

•••AH=BH=OH=\AB=5,

:.DH=BD-BH=6—5=1,

•••OG1CE,CDYAB,OH1AB,

/-OGD=Z.GDH=乙OHD=90°,

・•・四边形OGDH为矩形,

.・.DG=0H=5,OG=DH=1,

在Rt/XOCG中，CG=yjOC2-OG2=J(5/2)2-l2=7，

­.CD=CG-DG=7-5=2.

故选：a.

作卷所对的圆周角乙4PB,连接。4、OB、0C,延长CD交。。于E点，过。点作。“14B于”点，OG1CE

于G点，如图，利用圆内接四边形的性质和圆周角定理求出

^AOB=90°,则利用等腰直角三角形的性质得到04=OB=5/2AH=BH=0H=5,所以=1,

接着证明四边形。GDH为矩形得到DG=0H=5,OG=DH=1,然后利用勾股定理计算出CG=7,最后

计算CG—DG即可.

本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形

的外心.也考查了圆周角定理、勾股定理和垂径定理.

10.【答案】C

【解析】解：由图2得当0〈久W2C时，y=l-即PB：PC=1,PB=PC,

P在BC的垂直平分线上，

如图，过4作4D1BC于D,

BD=CD=3,

AD=,62—32=3/3,

••,点P运动2门时改变运动路线,

AP=2煦

：.PD=质，

•••tanzPBD=苧，

.­.乙PBD=30°,

PB=2PD=2<3.

故选：C.

确定点P的运动路线是在BC的垂直平分线上运动2c长后再向点B运动，再利用勾股定理求出PB即可.

本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题

关键.

11.【答案】1.19x108

【解析】解：1.19亿=119000000=1.19x108,

故答案为：1.19x108.

将一个数表示成ax10日的形式，其中n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可

求得答案.

本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

12.【答案】y=-；（答案不唯一）

【解析】解：•.•函数图象分布在第二、四象限，

kV0,

二反比例函数的解析式可以为：y=-；（答案不唯一）.

故答案为：y=-；（答案不唯一）.

根据函数图象分布在第二、四象限可得出k<0,进而可得出结论.

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析

式是解答此题的关键.

13.【答案】47

%+1

【解析】解：原式岩一岛

X—1

%2—1

X—1

一（%+1）（%—1）

_1

x+l*

故答案为：—77.

将异分母分式通分后，即可进行计算.

本题考查异分母分式的减法运算.通分是解题关键.

14.【答案】1.68

【解析】解：・・・FD14C,

・•.Z.FDC=90°,

•・•FG//AC,

・••乙HFG=Z.FDC=90°,

在RtZkFDE中，A.FED=30°,EF=0.8m,

I

FD=-EF=0.4(m),

HD=1.04m,

・•.HF=HD-DF=1.04-0.4=0.64(m),

在中，^HGF=53°,

丁=048(m),

3

田=焉^需=。-8(脸

此运动员的身高=HG+FG+DF=0.8+0.48+0.4=1.68(m),

故答案为：1.68.

根据垂直定义可得NFDC=90°,再利用平行线的性质可得NHFG=乙FDC=90°,然后在RtAFDE中，利

用含30度角的直角三角形的性质可得尸D=0.4根，从而求出的长，再在RtA”FG中，利用锐角三角函

数的定义求出FG和HG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

15.【答案】2/1

【解析】解：过点B作B714B,使B7=4B,连接TF,AT,如下图所示：

D

••,四边形4BCD为菱形，乙ABC=60°,

；.AB=DC=2,/.ABC=/.ADC=60°,B。平分NHBC,

^ABD=4CBD=|z?lBC=30°,

•••BT1AB,BT=AB=DC=2,

在RtA4BT中，由勾股定理得：AT=VXB2+TB2=2<2,

•••BT1AB,^ABD=30°,

.­•乙FBT=90°-乙4BD=60°,

•••Z4DC=乙FBT=60°,

在△£•£)£1和△FB7中，

DE=BF

^ADC=4FBT,

.DC=BT

:AEDCq4FBT(SAS),

：.CE=TF,

：.AF+CE=AF+TF,

根据“两点之间线段最短”得：AF+TF>AT,

即AF+TF>2，I,

.•.4F+7T的最小值为2调，

AF+CE的最小值为2，！.

故答案为：2，^.

过点B作BT14B,使BT=AB,连接TF,AT,根据菱形性质得力B=DC=BT=2,^ABC=^ADC=

60°,BD平分乙4BC,由勾股定理可求出27=2瓶，证△EDC和△FB7全等得CE=TF,贝MF+CE=

AF+TF,根据“两点之间线段最短”得ZF+TF>AT,即4F+TF>272，从而得AF+TF的最小值为

2，1,据此可得出4F+CE的最小值.

此题主要考查了菱形的性质，线段的性质，全等三角形的判定和性质，理解菱形的性质，线段的性质，熟

练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，准确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难

点.

16•【答案】①②④

【解析】解：；抛物线y=a/一gax+c,

••・抛物线的对称轴为直线式=-W=故①正确；

•••抛物线的对称轴为直线X=

点(-1,%)到对称轴的距离比点(2,、2)到对称轴的距离近，

1•1y2>%，

抛物线开口向上，a>0,故②正确；

,抛物线y=ax2-|ctx+c与直线y=-x-1不一定有交点，

••・关于x的方程a/—(|a—1)工+c+1=0不一定有两个不相等的实数根.故③错误；

若c=—1,n<|,则0,0)在y轴的左侧,

•••抛物线开口向上，对称轴为直线x=

-1<m<0.故④正确.

故答案为：①②④.

利用对称轴公式求得对称轴即可判断①；由点(-1,%)到对称轴的距离比点(2,%)到对称轴的距离近，且

%>打，即可判断②；由抛物线丫=。/—|a%+c与直线y=—尤―1不一定有交点，即可判断③；利用

抛物线的对称性即可判断④.

本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟知二次

函数的性质以及函数与方程的关系是解题的关键.

17.【答案】解：解不等式①得：x>-3,

解不等式②得：x<l,

・•.不等式组的解集为—3<x<1,

.••不等式组的整数解为一3,-2,-1,0.

【解析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案.

本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式组的解集

是解此题的关键.

18.【答案】⑴证明：•；ED〃BC,

Z.AED=/-B,

••・CD〃A8,点E为4B中点，

CD//BE,AE=EB,

四边形BCDE是平行四边形，

ED=BC,

在△ADE和△ECB中，

AE=EB

^.AED=乙B,

、ED=BC

••.△ZDEaECB(SZS).

Dr

(2)解：四边形AECD是菱形，A-----------

理由：设AC交OE于点。，/\

•••CD//AB,点E为中点，\J\

A--------------£----------------B

CD//AE,

•••CD=EB,AE=EB,

CD=AE,

••・四边形2DCE是平行四边形，

•••ED//BC,

：.AAOE=^ACB=90°,

AC1BD,

••・四边形4ECD是菱形.

【解析】(1)由ED〃BC,得UED=4B,因为CD〃BE,所以四边形BCDE是平行四边形，贝=BC,

而4E=EB,即可根据“SAS”证明△ADEgAECB；

(2)设力C交DE于点。，由CD〃/1B,点E为力B中点，得CD〃4E,再证明CD=AE,则四边形4DCE是平行

四边形，由乙4OE=41CB=90。，得4C1B。，则四边形4ECD是菱形.

此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，

推导出E73=8C,进而证明△ADE丝AECB是解题的关键.

19.【答案】C

【解析】解：(l)m=36+36%=100,

则a=100x16%=16；

(2)所抽取的参赛学生成绩的中位数是第50、51个数据的平均数，而这2个数据均落在C组，

所以所抽取的参赛学生成绩的中位数落在C组，

故答案为：C；

(3)1200x需=432(人)，

答：该校全年级竞赛成绩低于80分的学生约有432人.

(1)由。组人数及其所占百分比可得总人数小，再根据各组人数之和等于总人数可得a的值；

(2)根据中位数的定义可得答案；

(3)总人数乘以样本中4、B组人数和所占比例即可.

本题考查了统计表和扇形统计图的综合运用.读懂统计图表，从中得到必要的信息是解决问题的关键.扇

形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.也考查了利用样本估计总体.

20.【答案】(1)证明：连接OD,OA,过点。作。于M,如图1所示：

AB=AC,点。为边BC中点，

。2平分NB4C,

与AC相切于点。，

.•・。。为。。的半径，S.OD1AC,

又•••OM1AB,

OM=OD,

■-0M为O。的半径，

•・•4B是。。的切线，

(2)连接。力，OD,DG,OE,DE,设DE交。G于T,如图2所示:

（图2）

•.•在AABC中，AB=AC,ABAC=120°,点。为边BC中点,

。4平分NBAC,OA1BC,

1

・••/.OAC=^BAC=60°,/-AOC=90°,

Z.C=90°-^OAC=30°,

OD1AC,

・•.AAOD=90°-£.OAC=90°-60°=30°,

・•・(DOG=Z.AOC一乙AOD=90°-30°=60°,

OD=OG=OE,

・•.△ODG为等边三角形，

OD=OG=DG,Z-ODG=60°,

•・•ZC=30°,GF1AC,

・•・乙OGE=乙CGF=90°-ZC=60°,

・•.△OEG为等边三角形，

.・.OE=OG=EG,乙OEG=60°,

OD=DG=OE=EG=OG,

・•・四边形ODGE为菱形，

・•・DE1OG,乙DEG=：4OEG=30°,

•••ODLAC,乙ODG=60°,

・•.Z.GDC=90°一4ODG=30°,

•••乙GDC=Z-C,

又GF1AC,

GD=CG=GE=OD,

设G/7=a,

在RtZkCGF中，乙C=30°,

••・CG=2a,

.・.OD=CG=EG=2a,

在RtAA。。中，NA。。=30。，OD=2a,cosN力。D=黑

八AOD2a4V-3a

J.(Jr\■—--,

cos乙40。cos30°3

FT

在RtAEGT中，A.DEG=30°,EG=2a,cos/DEG=粤,

EG

ET=EG-cosZ-DEG=2a-cos30°=V~^a，

DE1OG,AO1BC,

・•・ED11AO,

.•.AEHTSAAHO,

EH：AH=ET-.AO=Via：早，

.HF_3

"AH-4'

【解析】（1）证明：连接OD,0A,过点。作0M14B于M,根据等腰三角形的性质得。4平分NB4C,再根

据切线的性质得0D为。。的半径，且。D14C,由此得0M=。。，贝|0M为。。的半径，然后根据切线的

判定进而得出结论；

（2）连接。4OD,DG,OE,DE,设DE交。G于7,证AODG,△OEG均为等边三角形，进而得四边形

ODGE为菱形，设GF=a,则。。=CGEG=2a,再利用三角函数分别求出04=号,ET=73a,然

后证△EHTS^AH。,最后利用相似三角形的性质可得出喘的值.

此题主要考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质，理解直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，相似三角形的判

定和性质，灵活利用锐角三角函数进行计算是解决问题的关键.

21.【答案】解：（1）如图1中，线段尸“，GM即为所求；

H

（图1）（图2）

（2）如图2中，线段AN,PG即为所求.

【解析】（1）利用旋转变换的性质作出线段FH即可；连接EH,取中点T,连接F7,连接GH交TF于点。，连

接E0,延长E。交F"于点M,连接GM（证明△GOEZAMOH,推出EG=HM）,线段GM即为所求；

（2）取格点/,连接可交EF于点N,线段4V即为所求；连接G/,作△AG/的中线40,延长4。交网格线于点

W,连接GIV交CD于点尸，线段GP即为所求（证明四边形力G叼是平行四边形，7推出4〃/GP,推出PG1

EF,可得结论）.

本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

A

22.【答案】解：⑴过点4作4K1BC于点、K,AK交EF

于点D,如图，

•••四边形EFHG为矩形，

EF//BC,乙FEG=LEGH=90°,

•••AK1BC,

•••AD1EF,

cKac

四边形EGK。为矩形，

•••KD=EG=ym,

・•.AD=AK-KD=(30-y)m,

•・•EF//BC,

AEF^AABC,

•.•EF_AD,

BCAK

.x_AD

6030

AfD=-1X.

1

・•・30—y=-x.

1

.・.y=30--x.

(2)•••EG的长不低于16m,

1_

30——x216,

••・x<28.

I1r1

S=EF'EG=xy=x(30—-%)=--x2+30%=--(x—2+450,

1

v-1<0,

.,・当x<30时，S随x的增大而增大，

.•.当％=28时，S取得最大值为-5X4+450=448(m2),

即预留地块面积Sa2的最大值448nl2；

⑶由题意得：Si-^EF-AD=1xx-|x=i%2(m2),

11

VSXABC=•AK=/60x30=900,

111

$2+53=sZABC-SZAEF-S矩形EFHG=900--x2-(-2^2+30久)=疝/+30%+900.

・•・9S]=4(S2+S3),

9x疗=4(#+3ox+900),

x2+96x-2880=0.

解得：x=—120(不合题意，舍去)或x=24.

EG=30-|x24=18(m).

•••四边形EFHG为矩形，

FH=EG=18(m).

【解析】(1)过点4作2K1BC于点K,AK交EF于点D,利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质解答即

可；

(2)利用已知条件求得x的取值范围，利用矩形的面积公式求得S与x的函数关系式，再利用二次函数的性质

解答即可得出结论；

(3)利用三角形的面积公式和图形的特征分别求得S】，S2+S3与x的关系式，再利用已知条件得到关于x的

方程，解方程求得工值，利用(1)的结论解答即可得出结论.

本题主要考查了三角形的有关性质，矩形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，配方

法，二次函数的图象与性质，函数的极值，作出三角形的高线，利用相似三角形的判定与性质解答是解题

的关键.

23.【答案】⑴证明：•••四边形ABCD是矩形，如图1,

图I

NB==90°,AD=BC,AB=CD,

AB__BC_

~BE~AB'

ABAD

~BE而'

又,:Z.B=Z.D,

■■.AABE^AADC；

(2)证明：如图，连接AC,延长FH至M,使HM=FH,连接DM、CM、DF,延长FG交CD的延长线于点

N,

«N

图2

•・•点H为CG的中点，

・•.CH=GH,

又・・•乙FHG=乙MHC,

••.△FHG名△MHC(SZS),

・•.FG=CM,乙GFH="MH,

・•.FG//CM.

(N=Z-DCM,

••・将△ZBE绕着4点逆时针旋转得^AFG,

ABE=LAFGi

/.AB=AF,AE=AG,^ABE=^AFG=90°,

•・,△ABE^LADC,

:AAFGSAADC,

,AF__PG_

'•AD=~CDf

•・•FG=CM,

tAF_CM

''AD~~CD"

•••^AFG=乙ADN=90°,

zJV=Z-FAD,

・•.Z.FAD=4CM,

:.AAFDs〉CMD,

•••^ADF="DM,

•・•^ADF+乙FDC=90°,

・•.LCDM+Z.FDC=90°,

BPZFDM=90°,

•・•FH=HM,

DH=FH；

(3)解：当点F在BA的延长线上时，如图3,过点G作GL1AD,交D4的延长线于3贝此L=90。,

图3

•••BE=1,EC=2,

BC=BE+EC=3,

•••四边形4BCD是矩形，

乙D=/.BAD=90°,CD=AB,AD=BC,

由旋转得：^AFG^^ABE,

AF^AB,FG=BE=1,Nf=48=90°,

又•••Z.FAL=ABAD=90°,

••・四边形2FGL是矩形，

GL=AF,AL=FG1,

DL=4。+AL=3+1=4,GL=CD,

•••点H是CG的中点，

CH=GH,

在^GHL^ACHD中，

2L=乙D

乙GHL=乙CHD,

GH=CH

GHL义工CHD{AAS},

1

...LH=DH=^DL=2,

..AH=LH-AL=2-1=1；

当F不在8/的延长线上时，如图4,过点G作GK1Z0于K,

陟

贝IJ/4KG=乙HKG=90°,

在^GHK^A中，

NHKG="=90°

乙GHK=CHD,

GH=CH

・•.△GHKQXCHD{AAS^

・•.GK=CD,HK=HD,

・•.GK=AB,

vAG=AEf

・•・Rt△AGK^Rt△£48(HL),

.・.AK=BE=1,

・•.HK+HD=DK=2,

・•.HK=HD=1,

・•.AH=AK+HK=2；

综上，AH的长为1或2.

【解析】(1)由矩形性质可得AB=ND=90。，AD=BC,AB=CD,得出黑=等进而证得结论；

DCCLf

(2)连接AC,延长FH至M,使=连接DM、CM,DF,延长尸G交CD的延长线于点N,可证得△

FHGg△M”C(SAS),得出FG=CM,lGFH=4CMH,再证得△AFGS^ADC,CMD,得出

乙FDM=90。，利用直角三角形的性质即可证得结论；

(3)分两种情况：当点尸在B4的延长线上时，当F不在B4的延长线上时，分别求得4”的长即可.

本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定

与性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的

辅助线是解题的关键.

24.【答案】解：(1)y=x2-2mx+