阶微分方程解的存在定理

1、第三章 一阶微分方程解的存在定理教学目标1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。2. 了解解的延拓定理及延拓条件。3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。教学重难点 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。教学方法 讲授，实践。教学时间 12学时教学内容 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。考核目标 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。3.利用解的存在唯

2、一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论

3、，稳定性理论以及其他理论的基础。例如方程 过点的解就是不唯一，易知是方程过的解，此外，容易验证，或更一般地，函数 都是方程过点而且定义在区间上的解，其中是满足的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。1存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程2 / 19 （3.1）这里是在矩形域： （3.

4、2）上连续。 定理1：如果函数满足以下条件：1）在上连续：2）在上关于变量满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数，使对于上任何一对点，均有不等式成立，则方程（3.1）存在唯一的解，在区间上连续，而且满足初始条件 （3.3）其中,称为Lipschitz常数.思路：1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 的连续解。2） 构造近似解函数列 任取一个连续函数，使得，替代上述积分方程右端的，得到 如果，那么是积分方程的解，否则，又用替代积分方程右端的，得到 如果，那么是积分方程的解，否则，继续进行，得到 （3.4）于是得到函数序列.3） 函数序列在区间上一致收敛于，即 存在，对(3.

5、4)取极限,得到 即.4) 是积分方程在上的连续解.这种一步一步求出方程解的方法逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理. 为了讨论方便,只考虑区间,对于区间的讨论完全类似.命题1 设是方程(3.1)定义于区间上,满足初始条件 （3.3）的解,则是积分方程 (3.5)的定义于上的连续解.反之亦然.证明 因为是方程(3.1)满足的解,于是有 两边取到的积分得到 即有 所以是积分方程定义在区间上的连续解.反之,如果是积分方程(3.5)上的连续解,则 （3.6）由于在上连续,从而连续,两边对求导,可得 而且 ,故是方程(3.1)定义在区间上,且满足初始条件的解.构造Picard的逐次逼近

6、函数序列. （3.7）命题2 对于所有的，（3.6）中的函数在上有定义，连续且满足不等式 （3.8）证明 用数学归纳法证明 当时，显然在上有定义、连续且有 即命题成立. 假设命题2成立，也就是在上有定义、连续且满足不等式 当时， 由于在上连续,从而在上连续，于是得知在上有定义、连续,而且有 即命题2对时也成立.由数学归纳法知对所有的均成立.命题3 函数序列在上是一致收敛的.记,证明 构造函数项级数 (3.9)它的部分和为 于是的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计. (3.10)由Lipschitz条件得知设对于正整数,有不等式 成立,则由Lips

7、chitz条件得知,当时,有 于是由数学归纳法可知, 对所有正整数,有 (3.11)由正项级数 的收敛性,利用Weierstrass判别法,级数(3.9)在上一致收敛.因而序列在上一致收敛. 设,则也在上连续,且 命题4 是积分方程(3.5)的定义在上的连续解.证明 由Lipschitz条件 以及在上一致收敛于,可知在上一致收敛于.因此 即 故是积分方程(3.5)的定义在上的连续解.命题5 设是积分方程(3.5)的定义在上的一个连续解,则,.证明 设,则是定义在的非负连续函数,由于 而且满足Lipschitz条件,可得 令,则是的连续可微函数,且,即,于是在上, 故,即,命题得证.对定理说明几

8、点:(1)存在唯一性定理中的几何意义.在矩形域中,故方程过的积分曲线的斜率必介于与之间,过点分别作斜率为与的直线.当时，即,（如图(a)所示），解在上有定义；当时,即,（如图(b)所示），不能保证解在上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形外去，只有当才能保证解在内，故要求解的存在范围是. (2)、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数在矩形域上关于的偏导数存在并有界，即，则李普希兹条件条件成立. 事实上 这里. 如果在上连续，它在上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数不一定有偏导数存在.例如函数在任何区域都满足李普希兹条

9、件,但它在处没有导数. (3)、设方程(3.1)是线性的,即方程为 易知,当在区间上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值所确定的解在整个区间上有定义、连续. 实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在上,是因为在构造逐步逼近函数序列时,要求它不越出矩形域,此时,右端函数对没有任何限制,只要取. (4)、Lipschitz条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程 经过平面上任一点的解都是唯一的. 证明 时, ,在上连续, 也在上连续,因此对轴外的任一点,方程满足的解都是唯一存在的.又由 可得方程的通解为 ,其中为上半平面的通解, 为下半平面的通解

10、,它们不可能与相交.注意到是方程的解,因此对轴上的任一点,只有通过,从而保证平面上任一点的解都是唯一的. 但是 因为,故不可能存在,使得 所以方程右端函数在的任何邻域并不满足Lipschitz条件. 此题说明Lipschitz条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程 (3.12)由隐函数存在定理,若在的某一邻域内连续且,而,则必可把唯一地表为的函数 (3.13)并且于的某一邻域连续,且满足如果关于所有变元存在连续的偏导数,则对也存在连续的偏导数,并且 (3.14)显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2 如果在点的某一邻域中:) 关于所有变元连续,且存在连续的偏导数；）则方程（3.12）存在唯一的解 （为足够小的正数）满足初始条件 （3.15）1、 近似计算和误差估计求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法 对方程的第次近似解和真正解在内的误差估计式 （3.16）此式可用数学归纳法证明. 设有不等式 成立,则