线面角、面面角

1、 平面的一条斜线平面的一条斜线和它在平面上的射影和它在平面上的射影所成的所成的锐角锐角，叫做，叫做。一条直线一条直线垂直垂直于平面，它们于平面，它们；一条直线和平面，或一条直线和平面，或在平面在平面内，它们内，它们。直线和平面所成角的范围是直线和平面所成角的范围是。1 1、平面的斜线和平面所成的角、平面的斜线和平面所成的角例如图，在正方体例如图，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求ADAD1 1和平面和平面A A1 1D D1 1CBCB所成的角。所成的角。分析：找出分析：找出ADAD1 1在平在平面面A A1 1D D1 1CBCB内的射影。内

2、的射影。 求直线（或斜线）与平面所成的角求直线（或斜线）与平面所成的角关键关键是确定斜线在平面的射影是确定斜线在平面的射影 其步骤是：一找，二证，三求。其步骤是：一找，二证，三求。A1D1 C1B1ABCDO112OAAD0130 .ADO 平面内的一条直线，把这个平面分成平面内的一条直线，把这个平面分成两两部分，每一部分都叫做部分，每一部分都叫做半平面半平面。 从一条直线引出的两个从一条直线引出的两个半平面半平面所组成的所组成的图形叫做图形叫做二面角二面角。这条直线叫做二面角的。这条直线叫做二面角的棱棱，这两个半平面叫做二面角的，这两个半平面叫做二面角的面面。1、半平面：、半平面：2、二面角

3、、二面角：半平面及二面角的定义半平面及二面角的定义l棱棱半平面半平面半平面半平面l2、二面角的记法：、二面角的记法： 面面1棱面棱面2（1）、以直线）、以直线 为棱，为棱，以以 为半平面的二为半平面的二面角记为：面角记为： ll,（2）、以直线）、以直线AB 为棱，为棱，以以 为半平面的二面角为半平面的二面角记为：记为： , ABlAB二面角的画法与记法二面角的画法与记法角角BAO边边边边顶点顶点从一点出发的两条射线从一点出发的两条射线所组成的图形叫做所组成的图形叫做角角。定义定义构成构成边边点点边边 （顶点）（顶点）表示法表示法AOB二面角二面角AB面面面面棱棱 a从一条直线出发的两个从一条

4、直线出发的两个半平面所组成的图形叫半平面所组成的图形叫做做二面角二面角。面面直线直线面面 （棱）（棱）二面角二面角l或二面角或二面角AB图形图形角与二面角的比较角与二面角的比较注意二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在在两个面内两个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这的两条射线，这两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 lOABAOB思考思考

5、:OOABABAOB=BOA 等角定理等角定理：如果一个角的如果一个角的两边和另一个角的两边分别两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么平行，并且方向相同，那么这两个角相等。这两个角相等。注注:（1）二面角的平面角与点的位置无）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。关，只与二面角的张角大小有关。 （2）二面角是用它的平面角来度）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。说这个二面角是多少度的二面角。 （3）平面角是直角的二面角叫做）平面角是直角的二面角叫做直二面角。直二面角。 （4）二面角的取

6、值范围一般规定）二面角的取值范围一般规定为（为（0,）。）。二面角的二面角的 平面角的定义、范围及作法平面角的定义、范围及作法l 的大小与点的大小与点O在在L上的位置上的位置有关吗有关吗?为什么为什么?AOB二面角的计算：二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、证明此平面角就是所求的角证明此平面角就是所求的角3、计算出此角的大小计算出此角的大小一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”161、如图，、如图，AB是圆的直径，是圆的直径，PA垂垂直圆所在的平面，直圆所在的平面，C是圆上任一是圆上任一点，则二面角点，则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B

7、.ACP C.都不是都不是2、已知、已知P为二面角为二面角 内一点，且内一点，且P到两个半到两个半 平面的距离都等于平面的距离都等于P到到 棱的距离的一半，则这棱的距离的一半，则这 个二面角的度数是多少？个二面角的度数是多少？ pABOABCP60二面角OABPC取取AB 的中点为的中点为E，连连PE，OEO为为 AC 中点中点， ABC=90OEBC且且 OE BC212221在RtPOE中， OE ，PO 2tan2PEO22所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为3 3如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABCP-ABC的顶点的顶点P P在底面在底面ABCABC上的射上的射影是

8、底面影是底面RtRtABCABC斜边斜边ACAC的中点的中点O O，若，若PB=AB=1PB=AB=1，BC= BC= ，求二面角，求二面角P-AB-CP-AB-C的正切值。的正切值。PEO为二面角为二面角P-AB-C 的平面角的平面角OEAB ，因此因此 PEABE解：解：223在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PE21线段线段MN长长6，M到平面到平面的距离是的距离是1，N到平面到平面的距离是的距离是4，求，求MN与平面与平面所成角的余弦值。所成角的余弦值。MNMNOMOM就是就是MN与平面与平面所成的角所成的角移出图移出图MNNMO614解：解：当当M，N在平面同则时有在平面同则时有164OMOMOM=21sin2MOM3cos.2MOM 如图，已知如图，已知P P是二面角是二面角-ABAB-棱上一点，过棱上一点，过P P分别分别在在 、 内 引 射 线内 引 射 线P MP M 、 P NP N， 且， 且 M P N = 6 0 M P N = 6 0 BPM=BPN=45BPM=BPN=45 ，求此二面角的度数。，求此二面角的度数。ABPMNCDO解解：在PB上取不同于P 的一点O，在内过O作OCAB交PM