导数的概念及几何意义基础

1、导数的概念及几何意义【学习目标】1 .知识与技能(1)理解导数的概念，知识瞬时变化率就是导数，能解释具体函数在这一点的导数的 实际意义.(2)通过函数图象直观的理解导数的实际意义，理解曲线在某一点处切线的意义，会 求一些简单的初等函数在某点的切线方程.2 .过程与方法经历导数概念的形成过程，掌握通过逼近无限的数学研究方法；经历由割线得到切线的形成过程，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的理解和认识.3 .情感、态度与价值观领悟导数的概念、切线的定义形成过程所体现的具体与抽象、特殊与一般、无限与有限、静止到运动的形成过程，体会导学的思想及其内涵，完善对切线的理解和认识.【要点梳理】要点一：导数的

2、概念1.导数的概念设函数y=f(x),当自变量X从Xo变Xi时，函数值从f(Xo )变到f(Xi),函数值关于X的平均变化率为.-y f X -f Xo f Xo ；：x -f Xo一 =:_， :-=':-',.XX -XoL.X当Xi趋于X。，即3趋于o时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f (X)在Xo点的导数，通常用符号 f 丫欣示，记作y f XoX - f Xof (xo A ljm =ljm o.X-o X .X-o,%要点诠释：(1)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是 位移在这一时刻的瞬间变化率.(2

3、)对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义.如位移运动中，位移S从时间ti到t2的平均变化率即为ti到t2这段时间的平均速度.(3)增量 也 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于o. Axt o的意义：Ax与。之间距离要多近有多近，即| Ax -o |可以小于给定的任意小的正数.(4) Axt o时，Ay在变化中都趋于 o,但它们的比值却趋于一个确定的常数.即存在一个常数与-y = f (Xo .x) - f (Xo)无限接近.LX二 X(5)函数y=f (x)在Xo点的导数还可以用符号 y'|xj表示.要点二：导数的几何意义f ,(X0淤示曲线y=f (x)在x=x0处的切

4、线的斜率，即f)=tana ( ct为切线的倾斜角)已知点P(xo, yo)是曲线y=f(x)上一定点，点Q(Xo+Ax,y0+Ay)是曲线y=f(x)上的动点，我们知道平均变化率型表示割线PQ的斜率.如图所示：.x当点Q无限接近于点P,PT叫做曲线在点P处的切线.也就是：当 Axt 0时，害U线PQ斜率的极限，就是切线的斜率.即:k = lim ,J0 -x=ixm0f (%以)- f (x)x=f (x0) 要点诠释：(1)曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关.(2)关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：曲线在点P处的切线：点P在曲线上，在点 P处作曲线的切线

5、(P是切点)，此时数 量唯一.如图1 .曲线经过点P处的切线：点P位置不确定(在曲线上或曲线外)，过点P作曲线上任 意位置的切线(只要切线经过点P即可)，数量不唯一.如图 2,无论点P在曲线上还是曲线外，过点P都可以作两条直线11、12与曲线相切.图2(3)直线与曲线相切直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线 12与曲线C有唯一公共点M，但我们不能说直线12与曲 线C相切；而直线1 i尽管与曲线C相切，却有不止一个公共点.这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因.在物理学中，如图物体运动的规律是s=s(t),那么该物体在时刻to的瞬时速

6、度v就是s=s(t )在 t=to 时的导数,即 v=s'(to )；如果物体运动的速度随时间变化的规律是v=v(t )，那么物体在时刻to的瞬时加速度a就是v=v(t庐t=to时的导数，即 a=v'(to).要点诠释：f'(Xo)表示函数f(x)在Xo处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率 来定义的.比如，瞬时角速度是角度 e(t2时间t的变化率；瞬时电流是电量 Q(t )对时间t的 变化率；瞬时功率是功 W(t闪时间t的变化率；瞬时电动势是磁通量(t)对时间t的变化率.最常用的是瞬时速度与瞬时加速度.【典型例题】类型一：导数定义的应用1例1.用导数的7E乂，

7、求函数 y = f (x)= 产在x=1处的导数.x【思路点拨】三步法求函数在某点处的导数值.1【解析】先求增量:y = f(1：x) - f (1)：1、1 xJ x (1.1 . x) . 1 . x(1 .,1 x) , 1 X再求平均变化率:(1.1 x) , 1 X求极限，得导数:.y 1f (1)0-=-2【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下:(1)求函数的增量:y= f (% + Ax) f (x0)；(2)求平均变化率：y _ f (xo +/x) f (xo)Lx(3)求极限，得导数:f(x0 - x) - f(x0)Lx【变式1】已知函数f

8、 (x )= - x2 + x的图象上的一点A(-1, -2)及临近一点B(-1+Ax,-2+Ay),贝U '= x【解析】 2+Ay =(1 +Ax)2 +(1+Ax),2.Ay_(T+&x)斗(1.x)+2_3 x.(一1)= f(1)=蚂:；=蚂'3一"x)=3【变式2】求函数f (x) =3x2在x=1处的导数.【解析】Ay=f(1+Ax) f(1) = 3(1 + Ax)2-3=6Ax + 3(Ax)2,2y 6 x 3( x)=6 3 x ,LXLX臼(H6 A3 =) , 6P f'(1)=6 .，函数f(x)=3x2在x=1处的导数为6

9、 .【变式3】求函数f (x )= -x2 +x在x = -1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.【解析】: Ay = f (x0 +Ax) - f (x0) = -(-1 +Ax)2 +(-1 +Ax) -2 =3Ax - (Ax)2,一 ，、23=3»(.凶=3-x ,(-1)=蚣？=雪(3 -') = 3 .4例2.已知函数f (x ) = = ,求f (x). x【解析】先求增量:44 x(2x x),.、2 一 2(x 二x)x2,.、2，x (x Lx)再求平均变化率:求极限，得导数:【变式1】求函数1y = 丁在(0,十/)内的导函数. y4(2 x：x)二

10、, 2,二72 .xx (xx)4(2 x x) 8x2 (x x)x3【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导. 举一反三：x : =xx x ： =x xV x - x x _ ( x - x x)(，x 工 x x) x x x x x x x . x (、x . x x)x x x、. x ( , x . x x)-1, xqNX 、x ( , x , x， ：、x)-1lx ；x ( x 、x lx) x 2,x-x-32【变式 2】已知 f (x) = 7TT2 ,求 f '(x) , f'(2).【解析】. ：y = Jxx 2 - , x-2

11、,所以.：yx ：/x 2 一忑x 2(x x 2) - (x 2)lx( x lx 2 , x 2)一，、，.1(x) = yxmo.x-x 2、x 2 = 2、当 x=2时，f'(2) =2.224例3.若f '(%) = 2,则叫f(xo-k)-f(xo)2k【思路点拨】【解析】根据导数定义：f'(%) = limfXo+(一k) - f(xo)(这时增量 Ax=-k),所以 lim "一 f(x。)k 0 2k1 fxo (-k)-f(xo)=lim -k o 2-k1 .fxo (-k)-f(xo)二一一lim2 k)。-k1 9=-22二T.【思路

12、点拨】(1)有一种错误的解法:根据导数的定义：f '(xo) = lim f (Xo -k) f(Xo)(这时增量Ax = k),所以lim f(Xo k) f(Xo)lim f(X。-刈-1。)1 2=1k p 2k2kp k2(2)在导数的定义中，增量 Ax的形式是多种多样的，但不论 Ax选择哪种形式， Ay也必须选择与之相对应的形式.利用函数f (x)在x=x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式.概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性, 把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题.举一反三：【变式1】函数f(x)满足f'(1) =

13、2 ,则当x无限趋近于0时, f(1 x)-f2x f(1 2x)-f(1)【答案】(1)Ximof(1 X) - f(1) 1f (1 X) - f(1) 1(2)2xf(1 2x) - f(1)=2limX Pxf (1 - 2x) - f (1)f '(1)=12x=2f '(1) = 4【变式2】若f'(%) =a(1)求 lim.jof Xo - x - f Xo X的值;f (XoX) - f(Xo - X)的值.1 11mof Xo - X -f XoX二-f '(Xo)f (Xo ：X) - f (Xo - X)2 嗯f (Xo , LX) -

14、f (Xo LX)二 lim，：x - (- x) 12f(Xo X -f(Xo - ；：X)=2 limx o2；x=2f '(Xo)-2a【变式3】设函数f(X)在点xo处可导，则的f(X0 h) - f (X0 -h)2h【答案】原式=limh 02hf(Xo h)-f(x)f (Xo) - f (Xo - h)二 1 lim f (X。h) - f (X。) lim f (X。-h) - f (X。)- 2 _h。 hh w hf '(x0) lim-h-0f(X。'h) 'f(X。)i= 2【f '(Xo)+f '(Xo)】=f 

15、9;(X。).类型二：求曲线的切线方程例4.求曲线y = X2+1在点P(1,2型的切线方程.【思路点拨】利用导数的几何意义，曲线在点P (1,2)处的切线的斜率等于函数 y=X2+1在X =1处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程. 【解析】先求切线的斜率 f'(1):22：y1+ X 11 - 1lim = - ljm = lim ( x+2 )=2 ,. X 0 : X X 0:：X.x 0由条件可知f(1)=2,由点斜式可得，过点 P的切线方程为：y2=2(x-1),即 y = 2x .【总结升华】求曲线 y = f (x )在x =x。处切线的步骤：(1)先求f

16、9;(x。),即曲线y=f(x)在P(x。，f(x。)处切线的斜率.(2)再求f (x0 ),则切线过点(x0, f (x0 )；(2)最后由点斜式写出直线方程：y - f (x。)=f'(x0)(x-x0).特别的，如果y=f (x )在点(x。，f(x。)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义知：切线方程为:举一反三21.、一【变式】求曲线 y=x +5上一点x = 2处的切线方程.x【答案】先求y'|X:y = (2 lx)2- 22 + = 4lx lx2 2 x 22(2：x)"=4 + Ax +-,x2(2 . ：x)y =lim2x)0 x=

17、lim(4,x 0-1、1:_x ) = 4 -=2(2 . ：x)4154再求y|x二心T5啜由点斜式得切线方程：9 15y- = (x-2 ),即 15x-4y + 8 = 0.【高清课堂：导数的几何意义 385147例2】例5.求曲线f(x)=x3经过点P(1,1)的切线方程.【思路点拨】本题要分点P (1,1柱切点和P(1,1)不是切点两类进行求解.【解析】第一步：先求导函数.：yf(x-6)-f(x)y 二 1jm 一 二 lim - x0 -x .J0-x(x Lx)3 -x3冰=11mox3 3x2| x+3x x2+、x3)-x3Lx=1jmQ 3x2 +3xL x+3 x2

18、=3x2第二步：验证点P (1,1柱否在曲线上.由于f (1 ) = 1,所以P在曲线上.第三步：分类讨论.若点P是切点，则切线的斜率为f'(1)=3,于是切线方程为 y-1=3(x-1),即y=3x 2;若点P不是切点，设切点为(x0, x03 ) (x0 #1 ).则切线的斜率为f'(x0 )=3%2,于是切线方程为：y-xo3 =3xo2(x-xo).由于切线经过点P(1,1),于是有1 %3 =3%2(1 %),整理得：2x03 3x02+1=2x03%2+%2+1=2x032婷x。21 =2x。2x01x°+1x 1221 ,、=(x0 1 )(2x0 x&

19、#176; 1 产(x0 1 )(2x0+1 尸0 ,解得 小 = 2 或 % =1 (舍去). 13131所以切线方程y+ = (x+),即 y = - x十一. 8 4244一 一 .、一.31综上所述，所求切线方程为y =3x-2或y =3x+1.44【思路点拨】求曲线 f (x )经过点P(x0, y )的切线方程的一般步骤：(1)求导函数f '(x );(2)验证点P是否在曲线上：计算 f(x0),观察f (x0 )=y0是否成立；(3)分类讨论：若f (飞尸y0,则P是切点，切线唯一，方程为 y f(飞户f'(x0)(x x0)：若f )/y0,则P不是切点，求切点

20、：设切点坐标为(a, f(a),则切线方程yf (a)=f'(a)(xa),代入点P(x°, y°)坐标,求出a的值(注意a#x0),可得切线方程.举一反三：【变式1】已知函数f(x)=x33x,过点(2,2)作函数图象的切线.求切线方程.【解析】先求导函数：f (x)=1 争=3x2 - 3.再验证：一一 _ 3f(2)=2 -32=2,所以点(2,2)在函数f(x)图象上.最后讨论:则切线方程为：(1 )当点(2,2晁切点时，切线的斜率为f '=9 ,9x-y-16= 0(2)当点(2,2)不是切点时，设切点坐标为(x0,£3x0).则切线的斜

21、率为f (xo) =3x2 -3 ( X0 #2),所以切线方程为,32y(比3x0 )= (3x0 3 y x x0).代入点(2,2)得：2(x3 3x0)=(3x2 3)(2x0)xo =整理得：x3 -3x； 4 =0= (x0 1)(x0 -2)2 =0二此时切线方程为 y = 2.综上所述，所求白切线方程为 9x-y -16 = 0或y=2.1【变式2】已知曲线y = x(1)求曲线过点 A(1,0)的切线方程;1(2)求满足斜率为 的曲线的切线方程.3解析y'= limQf (x x) - f (x)=则0-1x x xx2(1)由于点A不在曲线上，设切点坐标为1a,一

22、a则切线的斜率为y'|xF-二，切线方程为y-(xa)，1y = 4x 4将A(1,0)代入，得a = 2 .所以所求的切线方程为1:一所以斜率为的切线的切点为V3,3所以所求的切线方程为 丫 = 1*+友或丫 = _1*_友.3333【高清课堂：导数的几何意义 385147例3】【变式 3】设函数 f （x） =x3+2ax2 + bx+a, g（x）=x23x + 2 （其中 xw R , a,b 为常 数）.已知曲线y = f （x）与y = g （x）在点（2, 0）处有相同的切线l .求a, b的值，并写出切线l的方程.【答案】f '(2) = l.mf (2+.：x) f(2)323(2 . ：x) 2a(2 . ：x) b(2. ：x) a -(2 8a 2b a)=lim |12 8a b 6lx (lx)29,(2)=肥干+ ；?既=12 8a b22(2 .：x) -3(2=x) 2 -(2 -3 2 2)lx=lim (1 lx) =1 .J0由条件可知：f (2) =0且 f'(2) =g&