平行四边形回顾与反思

1、回顾与反思教学目标知识目标1.理解和掌握平行四边形的性质定理和判定定理.2.掌握矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，并能灵活应用性质定理解决问题.3.掌握多边形的内角和定理与外角和定理.4.能应用三角形的中位线的性质定理进行证明.过程与方法1.在应用平行四边形的性质定理和判定定理的过程中，掌握解题的思路和方法.2.提高学生综合运用知识解决问题的能力，锻炼学生的思维.情感态度价值观培养学生良好的学习态度，树立学好数学的信心，激发学生的学习热情，提高学生的成就感 教学重难点【重点】平行四边形及特殊的平行四边形的性质定理与判定定理【难点】特殊的平行四边形的性质定理与判定定理的应用知识总结性质和判

2、定牲.锻谢定一|正珈(柱质和判宦三肃磷中昭的性质參边旌的内肃和、外弗利教学过程专题一 平行四边形的性质【专题分析】平行四边形的“中心对称性”是核心，“对边相等”“对角相等”“对角线互相平分”均可以看作是由中心对称性”衍生岀来的已知如图所示，在？ABC肿,0为对角线的中点.过0的直线MN交AB边于点M交CD边于点N过0的另一条直线PQ交AD边于点P,交BC边于点Q连接PNMQ求证:QOM.解析 由0为？ABCD勺对角线的中点，易证得厶POmQ0测可得OF=OQ同理可得0忖01然后由“SAS证得POmAQOM.证明：T四边形ABC是平行四边形，AD/ BCZPDO/QBO丁0为BD的中点，二OB=

3、OD.在厶PODHAQ0肿，fZ.PDQ -/-QBQ.0D = 03./.POmAQO(ASA,上PM - Q05tOP=OQ.同理ONOM.(OP - DQr在厶PONHQOM中 ,l卿-OMt:.POX QOMSAS.规律方法平行四边形的性质除从边、对角线考虑外，还有如下性质：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是其对称中心.因此,一切居于对称位置的元素或三角形，都是可以证明相等或全等的，这是分析平行四边形问题时的一条重要思路.平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据.在应用平行四边形的性质时，要根据题目的需要写结论，不需要的不写.【针对训练 1】 已知:如图所示

4、，?ABC呼，/BCD勺平分线交AB于E交DA的延长线于F.(1)求证DF=DC当DEL FC时，求证AE=BE.解析:(1)通过角平分线的定义可得出 /DCFZFCB根据平行四边形的对边平行可得出AD/ BC得/DFC/FCB从而/F=ZDCF根据等角对等边可证得结论.(2)首先根据题意可得出FE=EC然后根据(1)中的结论结合题意 可证得AFEABCE这样也就证得了结论.证明:(1)/ CF平分/BCD:/DCFZFCB./四边形ABCC为平行四边形，: FD/ BC:/DFCZFCB:/DCFZDFC: DF=DC.丁DF=DCDEL FC: FE=EC./四边形ABCC为平行四边形，:

5、 FD/ BC:ZDFCZFCB.又TZAEf=ZCEB:AFEABCE：AE=BE.专题二平行四边形的判定【专题分析】平行四边形的判定方法有:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形如图所示，在?ABCD中，对角线ACBD相交于点OAEL BD于ECF丄BD于F.fi(1) 求证ABEACDF(2) 连接AFCE试判断四边形AEC是什么特殊的四边形？写出结论并加以证明.解析:(1)根据“ AAS 即可证明ABEACD2)可先证明AOFACO可得OF=OE

6、又有OAOO据对角线 互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形AFCE是平行四边形.证明:(1)T四边形ABCDI平行四边形，: AB=DCAB/ DC:.ZABEZCDF.TAE! BD于ECFLBD于F,:ZAEBZCFD90.rZABE = ACDFt在CDF中，朋=ZDFUiAB = DCt:.ABEACDFAAS.ft解:(2)如图所示，连接AFCE四边形AECF是平行四边形 理由如下：证明：TAELBDCF丄BD:/AEO/CFO.rZAEO = ZCFO.在厶A0审COP中，“= 8F M=act:AOACOFAAS, ：OFOE.又TOAOC:四边形AFCE是平行四边形.规律方

7、法平行四边形的判定方法很多，主要从边、角、对角线考虑.判定一个四边形是平行四边形需要 两个条件，这两个条件必须对应：当有一组对边相等时，可考虑证这组对边平行，或另一组对边相等 当已知一 组对边平行时，可考虑证这组对边相等，或另一组对边平行；当题目中岀现一条对角线被一点平分时，可考虑另一条对角线也被这点平分.【针对训练 2】 在?ABCD中 ,EF分别是ABDC的中点，A(=Ch求证四边形EHF(是平行四边形.解析 首先根据平行四边形的性质得到AB和CD平行且相等，结合已知条件发现AE和CF平行且相等 证得四边形AECF为平行四边形.然后根据平行四边形的性质和已知条件“A(=CH得到GF和EH平

8、行且相 等,四边形EHFG是平行四边形.证明:在?ABC呼,AB=CDAB/ CD: AE/CF.TE,F分别是ABDC的中点，: AE=CF.:四边形AECF为平行四边形.: AF=EC且AF/ EC即GF/ EH.又TA3CH:AFAGECCH即GF=EH.:四边形EHFG是平行四边形.专题三 矩形、菱形、正方形的性质的应用【专题分析】(1) 矩形的性质：四个角都是直角两条对角线互相平分，且相等.(2) 菱形的性质：菱形的四条边相等，两条对角线互相平分且垂直，且每条对角线平分一组对角(3)正方形的性质：正方形具有矩形、菱形的一切性质如图所示，在矩形ABC中，将ABC& AC对折至A

9、ECF位置,CE与AD交于点F.求证ENDF.E解析 观察图形，可得AE=DC由/EFAFZDFC/ AEf=ZCDF可证厶AEFACDF即卩得EF=DF.证明：由矩形的性质可知，AEAB=DC/AEC/ADC90。.根据对顶角相等，得/EFA=ZDFC二AE CDFEF=DF.规律方法矩形、菱形、正方形的性质可从边、角、对角线、对称性考虑，它们除具有平行四边形的一切性质外，还有自身的特殊性质.因此要弄清矩形、菱形、正方形与平行四边形的区别与联系【针对训练 3】 如图所示，菱形ABC啲周长为 12 cm，相邻两角的度数之比为 5 : 1,求菱形的对边AB与CD之间的距离.解析:过点A作AELC

10、D于E，先由菱形的性质得出边长，再根据已知条件求出/D=30，用含 30角的直角三 角形的性质即可得岀结果.解:过点A作AEL CD于E如图所示，则/AED90 丁菱形ABCD勺周长为 12 cm，二AB=AD=3 cm，/C+/D=180.vZC：/D=5：1，/ D=30，二AE= AD=1.5(叭,2即菱形的对边AB与CD之间的距离为 1.5 cm.专题四 矩形、菱形、正方形的判定的应用【专题分析】矩形、菱形、正方形的定义既是其性质，又是其判定方法.它们既有区别又有联系，要注意从判定方法上加以区分.正方形是特殊的矩形、也是特殊的菱形，所以正方形的判定必须在矩形或菱形的基础上加以判定CD已

11、知:如图所示，在 ?ABC肿，点E，F在对角线BD上，且BF=DE.(1)求证四边形AECF是平行四边形；当?ABCDI菱形时，判断四边形AECF的形状.解析(1)连接AC与BD相交于点Q利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形AECI是平行四边形;(2)由菱形的性质知对角线ACLEF可得四边形AECF!菱形.证明:(1)连接AC与BD交于点O./四边形ABCD1平行四边形，/i-AGCOBODO./ BF=DEBOBF=DODEOF=OE.二四边形AECF是平行四边形.解:(2)四边形AEC是菱形.理由如下：当？ABC是菱形时，在四边形AECF中，对角线ACLEF,由(1)知四边形A

12、ECF是平行四边形，故四边形AECF是菱 形.规律方法矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，即有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻 边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形，其他的一些 判定方法都是由定义得岀的，在应用时，要注意定理满足的条件.【针对训练 4】EF,MN分别是正方形ABC四条边上的点，AE=BF=CMDN四边形EFM是什么图形？证明你 的结论.解析 可通过证明AENADNIMCfFBE全等，得EF=FM=MNEN得出四边形ENM是菱形，再证明四边 形EFMN中的一个内角为 90,从而得出四边形EFM是正方形.解:四边形EFMN1

13、正方形.证明：AE=BF=CMDN二AN=DMCf=BE.A=ZB=ZC=ZD=90,AENADNIWACMRABFE.二EN=NMTMI=EF,ZENA/DMN.二四边形EFMN是菱形.J /ENA/DMN/DMN/ DNM90 ,:丄ENA/DNM90./ENIM90.:四边形EFMN是正方形.专题五三角形的中位线的性质【专题分析】三角形的中位线的性质主要包括位置关系和数量关系：位置关系是指其与第三边平行；数量关系是指其长度等于第三边的一半.解题时可利用三角形的中位线的性质进行证明和计算如图所示,ADAABC的边BC上的高,E,F,G分别为ABBCAC的中点，求证FGDE.解析 根据三角形

14、的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得FG AB直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得D匡AB从而得证.证明：F,G分别为BCAC的中点，: FG是ABC的中位线，:FGFAB.2丁AD%AABC边BC上的高,E为AB的中点，:DWAB.: FGDE.规律方法三角形的中位线在解决几何问题时经常用到，要注意它的性质，即三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，它经常用来证明线段之间的倍分关系.【针对训练 5】 如图所示，若AOBDACL BDE,F,GH分别是ABBCCDDA的中点.求证四边形EFGH为正方形.解析 由三角形的中位线定理可先证明四边形EFGH为平行四边形，再由AC=

15、BD可证明其为菱形，结合ACLBD可得/FEF=90 ,可证明四边形EFGH为正方形.证明：E,F分别是ABBC的中点，EF/AC且EF= AC.2同理可得HG/ACHG1AC.2二EF/ HGEF=HG.四边形EFGF为平行四边形.同理可得EH/ FGEH= BD.2丁AC=BD二EF=EH.四边形EFGH为菱形.丁ACLBD二EF丄EW FEI=90.四边形EFGH为正方形.专题六多边形的内角和与外角和【专题分析】多边形的内角和定理与外角和定理的推导都是在三角形的内角和定理的基础上进行的，利用转化的思想可知多边形的内角和定理为：(n-2)X180，而任意多边形的外角和都是 360.在各个内

16、角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的 右求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数.解析 已知关系为：一个外角的度数=一个内角的度数X，隐含关系为：一个外角的度数+个内角的度数=180，由此即可解决问题.解:设这个多边形的每一个内角为x，则 180 -X =xX，解得x=.那么边数为 360 - (180-)=7.答:这个多边形的每一个内角的度数为二，它的边数为 7.【针对训练 6】有两个各个角都相等的多边形，它们的边数之比为 1 : 2,且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大 15 ,求这两个多边形的边数.解析一个多边形的边数与另一个多边形的边数之比为1 : 2,因而设一个多边形的边

17、数是n,则另一个多边形的边数是 2n,因而这两个多边形各自的外角是和三二，根据第二个多边形的内角比第一个多边形的n前内角大 15 ,即第一个多边形的外角比第二个多边形的外角大15就可以解得n的值,从而解决问题解:设一个多边形的边数是n,则另一个多边形的边数是2n,因而这两个多边形的外角分别是和.n Zf：因为第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15 ,所以第一个多边形的外角比第二个多边形的外角大15 ,即三二-二一=15 ,解得n=12.TS故这两个多边形的边数分别为12,24.专题七探究问题【专题分析】 本章的探究性问题涉及的主要是平行四边形及特殊的平行四边形板与这个菱形叠合，使三角板的

18、 60角的顶点与点D重合,两边分别与DADB重合.将三角板绕点D逆时针方 向旋转.，先掌握基础知识，再经过练习加强解题思路和方法的掌握.用两个全等的等边三角形例了ABD和三角形BCD成如图所示的菱形ABCD现把一个含 60角的三角(1)当三角板的两边分别与菱形的两边ABCB相交于点E,F时，探求BEBFAD之间的数量关系，并说明理由(2)继续旋转三角板，当两边DHDG分别交ABBC的延长线于点EF时，画出旋转后相应的图形，并直接写出BEBF,AD之间满足的数量关系.解析(1)易证得ADE2ABDF从而证得结论;(2)由题意画出图形，易证得BDEACDF从而证得结论解:(1)BE+BF=AD理由

19、如下：ABDnBCD都是等边三角形，二AD=BDZA=ZADB/DBF60.EDI=60，/ADE/BDE/BD匡/BD=60 ,:丄ADE/BDF.2J1= ZDSF.在ADE和BDF中 /AD二SDt: AD” BDFASA,:AE=BF.:BBBF=A色BEABAD.(2)如图所示.ABDnBCD都是等边三角形，:BD=CD/ ABD/BDC/BCD60，:/DBE/DCF120.J /EDI=60，:/BDE/CDE/CDE/CD=60，:/BDE/CDF.在厶BDEF/ CDF中，ZBDE = ZCDFt“ 3D二 S:BDEACDFASA,ZDBE =/.DCF.:BE=CF：BF BE=BFCF=BCAD.规律方法在解决探究性问题时，需要综合运用所学知识.【针对训练 7】如图所示，已知矩形ABCD中 ,AB=10 cm,BC=20 cm,现有两只蚂蚁P和Q同时分别从A,B出发, 沿ABBGCDDA方向前进，蚂蚁P每秒钟走 1 cm,蚂蚁Q每秒钟走 2 cm.(1) 蚂蚁出发后PBQW一次是等腰三角形需要爬行几秒？(2)P,Q两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ与边AB平行？(3) 若蚂蚁继续不停地爬行下去，直线PQ还可能与边AB平行吗？若可能，请求出PQ与