因式分解解题方法与解题技巧例题与练习题

1、因式分解【定义】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫 作分解因式。分解因式与整式乘法互为逆变形。【基本方法】一.提公因式法1 .各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。2 .如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两 个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。3 .提公因式法基本步骤：(1)找出公因式；方法：“一看系数，二看字母，三看指数”当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低 的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。(如果多项式的第

2、一项是负的，提公因式 时一般要同时提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ -”号时，多项式 的各项都要变号。)(2)提公因式并确定另一个因式：注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式； 注意：提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。4 .注意事项：(1) 公因式是否提“全”、提“净”；(2)多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为1,不漏掉(3)提出“-”号时，多项式的各项都要变号。【例】分解因式(1) -am+bm+cm=-m(a-b-c);(2) a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(

3、a-b)。注意：把2a专变成2(a2+：)不叫提公因式 二.公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);完全平方公式：a2±2ab+ b2=(a±b) 2;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式：a3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);立方差公式：a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2);完全立方公式：a3± 3a2b+3ab2± b 3=(a ± b)

4、 3.公式：a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)【例】分解因式(1) a2 -4ab+4b 244 4(2) x -16y三.十字相乘法这种方法有两种情况。x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1;常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).【例】分解因式：(1) x2+3x+2(2) x2-5x+6ax2 +bx+c型的式子的因式分解21C _ C C对于二次三项式ax +bx + c,将a

5、和C分别分解成两个因数的乘积，a - a1 '比，a1 C1c=c1 c2,且满足b = a1c2 + a2cl，往往写成a2'c2的形式，将二次三项式进行分解2则ax +bx+c=(a1x+c1)(a2x+C2)十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中【例】分解因式(1) 2x 2+8x+6 (2) 6x 2+11x-10四.分组分解法能分组分解的多项式一般有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。分组分解法的关键是如何分组，要尝试通过 分组后是否有公因式 可提，并且可继续分解分组后是否可利用公式法继续分解因式.分组时要注意符号的变化.【例】分解因式

6、：(1) ax+ay+bx+by(2) 5ax+5bx+3ay+3by(3) x3-x2+x-1(4) x 2-x-y 2-y五.换元法;例、分解因式：(x 2+x+1)( x 2+x+2)-12六.拆项、添项、配方法；32例、分解因式(1) x 3x +4解法1拆项。| 解法2添项。原式=x3 +1 3x2 +3| 原式=x3 3x2 4x+4x + 4-=(x 1)(x2 -x 1) -3(x 1)(x -1)= x(x2 - 3x -4) (4x 4)【多项式因式分解的-一般步骤】如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；如果用上

7、述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：“ 先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分 组分解要合适。”例1 ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c 2+a2+2ab-2bc=0 ,求证：这个三角形是等腰三角形。【例2】把一a2b2 + 2ab + 4分解因式。提示：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。例3分解因式4x4y2 5x2y2 9y2提示：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废 的意思。在没有说明化到实数时，一般只化到有理

8、数就够了【因式分解的应用】1、应用于多项式除法。2、应用于高次方程的求根。3、应用于分式的运算。试一试一.填空题一 2 一、1 .若x -6x+t是完全平方式，则t=.- 2. 2.22 .因式分解：9a -4b +4bc c =, 一 212 一|x 一2| x - xy y = 03 .若4 ，则 x=, y =4 .若a=99，b=98,则 a22ab+b2 _5a+5b=25 .运用平方差公式分解：a = ( a+ 7) (a)6.完全平方式4x29y2 =()2选择题7 .下列各式从左到右的变形为分解因式的是()A.18x3y2 =3x3y2 6B.2(m2)(m-3)=m - m

9、- 6C.2x 8x - 9 =(x 3)(x -3) 8xD.2m m_6 = (m 2)(m 3)m m8 . (a)+a(a)的值是()A.1B.-1C. 0D.(-俨_ n 2 n - 1_ n9 .把3a +15a-45a分解因式是()A. 3an(a2 +5a -15)C.n 21B. 3an(a2 +5a -15)D. 3an + (a +5-15a)2 210 .若n为任意整数，(n +11) - n的值总可以被k整除，则k等于()A. 11B. 22C.11 或 22D. 11的倍数2 33 22 22 2 11.多项式-8m n +10m n +2m n被-2m n除，所得的商为()A.4n 5m -1C.4n -5m -1三.解答题12.把下列各式分解因式2 ,、2、2(1)m (m -n) -4(n -m)B. 4n -5m 1D. 4n 5m2,2 x - 4 - 4xy 4y(3)(3x2 -4x 3)2 -(2x2 -x -7;321xx - x(4)432(5)x(x 1) x(x 1) x(x 1) x 113.计算299 - 2 8-101(1) 2-100-220043 -2 20042 -2002Z3 Z 2 Z(2) 2004 +2004 -2005232 23 ,14 .已知 m + n = 3, mn=3，求 mnmn +mn 的值