工程力学——压杆稳定

1、 压杆稳定的概念压杆稳定的概念压杆的临界应力压杆的临界应力细长压杆的临界力细长压杆的临界力压杆的稳定计算压杆的稳定计算第一节第一节 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 图示一图示一600mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压力，长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压力，其横截面积为其横截面积为32mm1mm。按上面给出的强度条件，求钢板尺。按上面给出的强度条件，求钢板尺能承受的荷载能承受的荷载.Fmm32mm1 AFmax132215N6880N15第一节第一节 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 压杆稳定压杆稳定压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。（

2、指受压杆件其平衡状态的稳定性）定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性） 临界力临界力受压直杆的平衡形式由稳定平衡转变为不受压直杆的平衡形式由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，是压杆在原有的直线状态稳定平衡时所受的轴向压力，是压杆在原有的直线状态下保持平衡的最大荷载，也是压杆在弯曲状态下保持平下保持平衡的最大荷载，也是压杆在弯曲状态下保持平衡的最小压力。衡的最小压力。 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至弯断的现象称为弯断的现象称为稳定失效（失稳或屈曲）稳定失效（失稳或屈曲）。第二节第二节 细长压杆的临界力细长压杆的临界力 一、两

3、端铰支压杆的临界荷载一、两端铰支压杆的临界荷载FcrFcrFxy xM yFxMcr EIxMdxyd22EIyFdxydcr220222ykdxydkxBkxAycossin0 x0y0B2Lx y2sinLkA2sinkLALx 0ykxkLysin2sinkLkLsin2sin002cos2 kLEIFkcr202cos2 kL002cos kL22nkL.5, 3, 1n1n22nkL222)(LnkEIFkcr2EIFLncr22)(22)(LEInFcr2sinkLAAxlysin适用条件：理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）线弹性，小变形两端为铰支座压杆总是绕 抗弯刚

4、度最小的轴抗弯刚度最小的轴 发生失稳破坏。22lEIPcr22)(LEInFcrxlysin2min2?lEIPcr二、其他支承情况下细长压杆的临界力二、其他支承情况下细长压杆的临界力2min2）（lEIPcr 0.5 2.0 0.7 1.0 2.0 1.0 0.7 2.0 1.0 0.5 0.7 2.0 1.0 例例1 1：截面为：截面为200120mm2的轴向受压的轴向受压木柱木柱，l=8m，柱的支承情况是柱的支承情况是: : 在最在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小刚度平面内压弯时为两端）；在最小刚度平面内压弯时为两端固定（图固定（图b）。木材

5、的弹性模量）。木材的弹性模量E=10GPa，试求木柱的临界压力。，试求木柱的临界压力。解：（解：（1 1）计算最大刚度平面内的临界压力）计算最大刚度平面内的临界压力 （即绕（即绕y轴失稳）轴失稳） 中性轴为中性轴为y轴：轴：kNlEIPylj123800011080101014. 3263222 yz200120120zy200（图（图a）（图（图b）木柱两端铰支，木柱两端铰支， ，则得：，则得：463108012200120mmIyyz200120（2 2）计算最小刚度平面内的临界压力）计算最小刚度平面内的临界压力 （即绕（即绕 z z 轴失稳）轴失稳）4646310828108281212

6、0200m.mm.Iz木柱两端固定，木柱两端固定，则得：，则得： KNlEIPzlj17880005 .0108 .28101014.3263222 中性轴为中性轴为z z轴：轴： 120zy200由上可知：木柱的临界压力为由上可知：木柱的临界压力为Pcr=123kN。解： 截面惯性矩临界力269kNN102693 两端铰支细长压杆，横截面直径d=50mm,材料为Q235钢,弹性模量E=200GPa， 试确定其临界力。MPas235一、临界应力与柔度一、临界应力与柔度 临界应力：处于临界状态时横截面上平均应力临界应力：处于临界状态时横截面上平均应力 面的几何性质；截面的惯性半径；为截其中：AI

7、i 程度。比）；反映压杆的柔软称为压杆的柔度（长细il 影响压杆承载能力的综合指标影响压杆承载能力的综合指标222222222()()()crcrPEIEIEEiAlAlAl欧拉公欧拉公式式第三节第三节 压杆的临界应力压杆的临界应力 P 与比例极限对应的柔度与比例极限对应的柔度PPE2Pil欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围: : p比例极限比例极限欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 p22crE 根据柔度的大小可将压杆分为三类根据柔度的大小可将压杆分为三类Ocr22EcrPPbacrSS?sp?P?s;6 .5975.6157 .96BAljljNkNAP 例例1 图示支架中圆形截面压杆

8、图示支架中圆形截面压杆AB的直径为的直径为28mm,材料为材料为A3钢，钢，P P =123=123，E=200GPaE=200GPa。试求荷载试求荷载P P的最大值。的最大值。 解解：AB压杆压杆l=1000mm,;dI;mm.dA64756154422; 1;74 mmdAIi大柔度杆；;.ilp1239142710001MPaElj7 .969 .1422000002222 由结点由结点B的平衡的平衡：; 0sin, 0maxPNYBA ;7 .47546 .59sinmaxkNNPBA PBaBANCBNP0.6mCBaA0.8m 图中所示之压杆，其直径均为图中所示之压杆，其直径均为d

9、 d，材料都是，材料都是Q235Q235钢，钢，但二者长度和约束条件不相同。试：但二者长度和约束条件不相同。试：1.1.分析那一根杆的临界荷载较大？分析那一根杆的临界荷载较大？2.2.计算计算d d160mm160mm，E E206GPa206GPa时，二杆的临界荷载。时，二杆的临界荷载。m5Fd)(am9Fd)(b46424dd4dAIi iLa451d125495 . 0db5 .11215 . 0ba101Pab4222dEAFcrcr4160125102062232acrFkN102.6341605 .112102062232bcrFkN1021. 33FFhABhbz)(a Q235

10、 Q235钢制成的矩形截面杆钢制成的矩形截面杆, ,两端约束以及所承受两端约束以及所承受的载荷如图示（的载荷如图示（a a）为正视图（）为正视图（b b）为俯视图），在）为俯视图），在ABAB两两处为销钉连接。若已知处为销钉连接。若已知L L2300mm2300mm，b b40mm40mm，h h60mm60mm。材料的弹性模量材料的弹性模量E E205GPa205GPa。试求此杆的临界载荷。试求此杆的临界载荷。FFbl)(b123bhIzbhA 0 . 1AIizz32hzzil32hl0632230018 .132101PkNAF275crcr Q235钢制成的矩形截面杆钢制成的矩形截面杆

11、,两端约束以及所承受的载荷两端约束以及所承受的载荷如图示（如图示（a）为正视图（）为正视图（b）为俯视图），在）为俯视图），在AB两处为两处为销钉连接。若已知销钉连接。若已知L2300mm，b40mm，h60mm。材料的弹性模量材料的弹性模量E205GPa。试求此杆的临界载荷。试求此杆的临界载荷。FFhABhbz)(aFFbl)(b123hbIzbhA 5 . 0AIiyy32byyil32bl6 .99101PkNAAbaAFy9 .461)6 .99*12. 1304()(crcr第四节第四节 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 ?stcrstnAP )()()(stcrstcrstnn一、一、

12、 稳定条件稳定条件?stcrnPPn稳定系数；一般稳定系数；一般st，故，故1。 为已知可查表得稳定系数为已知可查表得稳定系数安全系数法安全系数法（适用于机械、（适用于机械、动力、冶金等荷载情况复杂）动力、冶金等荷载情况复杂）稳定系数法稳定系数法（适用于土建工（适用于土建工程）程）(3) (3) 进行稳定计算或利用稳定条件进行稳定计算或利用稳定条件, ,进行稳定进行稳定校核校核. .稳定校核步骤稳定校核步骤(1) (1) 根据压杆的实际尺寸及支承情况根据压杆的实际尺寸及支承情况, , 分别计分别计算各自平面弯曲的柔度算各自平面弯曲的柔度, ,得出最大柔度得出最大柔度 maxmax. .(2)

13、(2) 根据根据 max max , ,选择相应的临界应力公式选择相应的临界应力公式, , 计算临界应力或临界力计算临界应力或临界力. .(1) (1) 根据压杆的实际尺寸及支承情况根据压杆的实际尺寸及支承情况, , 分别计分别计算各自平面弯曲的柔度算各自平面弯曲的柔度, ,得出最大柔度得出最大柔度 maxmax. .(2) (2) 根据根据 max max , ,选择相应的临界应力公式选择相应的临界应力公式, , 计算临界应力或临界力计算临界应力或临界力. .(3) (3) 进行稳定计算或利用稳定条件进行稳定计算或利用稳定条件, ,进行稳定进行稳定校核。校核。(1) (1) 根据压杆的实际尺

14、寸及支承情况根据压杆的实际尺寸及支承情况, , 分别计分别计算算各自平面各自平面弯曲的柔度弯曲的柔度, ,得出最大柔度得出最大柔度 maxmax。(2) (2) 根据根据 max max , ,选择相应的临界应力公式选择相应的临界应力公式, , 计算临界应力或临界力。计算临界应力或临界力。例例1 1 校核木柱稳定性。已知校核木柱稳定性。已知l6m,6m,圆截面圆截面d2020cm, ,两端铰接，两端铰接，轴向压力轴向压力P50kN，木材许用应力木材许用应力 =10MPa。 解：解：;12056001; 1;54204ilcmdAIi ;08. 210208. 0,208. 0 查表，木柱稳定。

15、;59. 12004500002 MPaAP查表：查表： 木杆稳定。木杆稳定。; 12056001; 1; 54204 ilcmdAIi ;12056001; 1;54204ilcmdAIi 试确定直径为试确定直径为d60mm长度长度L2m的圆截面木杆的的圆截面木杆的承载力。已知木材的抗压强度承载力。已知木材的抗压强度 10MPa，立柱两端，立柱两端均按铰接考虑。均按铰接考虑。AFAIi 46424dd4dmm15iL1510213303.13328002kNF47.446010158.021001602 梁梁AF由直杆连接支撑在墙上，并受均布荷载由直杆连接支撑在墙上

16、，并受均布荷载q=4kN/m作用，若各杆直径均为作用，若各杆直径均为40mm(不计杆重不计杆重)，材，材料为料为A3钢钢,其弹性模量其弹性模量E=206MPa, 稳稳定安全系数定安全系数nst=5，试求，试求：（：（1）支座处反力；（）支座处反力；（2）校）校核各杆稳定性。核各杆稳定性。ABCDEFm5.0m1m11mAXAYBXkNXXBA5 .12kNYA10kNSBD5 .12kNSED67.17kNSCD5 .12杆EDmmdi10411141iLEDEDkNLEIFEDEDcr12422stEDcrnSFFn7124杆BD250iLBDBD 5 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措

17、施欧拉公式欧拉公式22)( lEIFcr越大越稳定越大越稳定crF减小压杆长度减小压杆长度 L L减小长度系数减小长度系数（增强约束）（增强约束）增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）增大弹性模量增大弹性模量 E E（合理选择材料）（合理选择材料）减小压杆长度 l减小长度系数（增强约束）增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） 压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，（ ）和（ ）对临界压力的综合影响。 两根细长压杆a与b的长度、横截面面积、约束状态及材料均相同，若其横截面形状分别为正方形和圆形，则二压杆的临界压力Facr和Fbcr的关系为（ ）。A.Facr

18、=Fbcr；B.FacrFbcr；C.FacrFbcr；D.不确定 材料和柔度都相同的两根压杆（ ）。A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；C. 临界应力和压力都一定相等；D. 临界应力和压力都不一定相等。 图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（ ）。A.临界压力Fcr2EIy/L2，挠曲线位于xy面内；B.临界压力Fcr2EIy/L2，挠曲线位于xz面内；C.临界压力Fcr2EIz/L2，挠曲线位于xy面内；D.临界压力Fcr2EIz/L2，挠曲线位于xz面内。LFyzxhbzy 图示三根压杆，横截面面积及材料各不相同，但它们的（ ）相同。A.长度因数；B.相当长度；C.柔度；D.临界压力。l 5 . 0Fl43. 1Fl 2F 在下列有关压杆临界