求曲线轨迹方程的五种方法

1、百度文库-让每个人平等地提升自我求曲线轨迹方程的五种方法一、直接法如果题目中的条件有明显的等量尖系，或者可以利用平面几何知 识推出等量矢系，求方程时可用直接法。例1长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB 中点P的轨迹方程。解：设点P的坐标为（x, y），则 A （ 2x，0），B （ 0，2y），由 |AB|=2a 得（2x 0） 2 （02y） 2=2a化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。二、定义法如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。例2动点P到直线x+4=0

2、的距离减去它到M （2, 0）的距离之 差等于2,则点P的轨迹是（）A、 直线B、椭圆C、双曲线 D、抛物线解法一：由题意，动点P到点M （2，0）的距离等于这点到直 线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。解法二：设P点坐标为（x，y），则/|x+4|- （x2） 2y2=2百度文库让每个人平等地提升自我当 x> -4 时，X+4-（X 2） 2 y2 =2 化简得百度文库-让每个人平等地提升自我当时,y2=8x 当 xV -4 时，-X-4-. (x 2) 2 y2 =2 无解所以P点轨迹是抛物线y2=8x点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显，解法 一

3、优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先 采用定义法，它能大量地简化计算。三、代入法如果轨迹点P ( x，y)依赖于另一动点Q (a, b)，而Q ( a, b)又 在某已知曲线上，则可先列出尖于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示 出a、b，把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程，此法称为代 入法。223 P例 在以F1、丘为焦点的双曲线16七上运动，则厶F1F2P' k2 (x2 y2) . x2 y2 =12k(x2+y2) =12,又点M在已知圆上, 13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0由上述两式消去乂彳+严得5x+12y-52=0

4、点评：用参数法求轨迹，设参尽量要少，消参较易。五、交轨法若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点 方程,百度文库让每个人平等地提升自我的重心G的轨迹方程是"X4 X。)1 (0“3X,代入Oyo)Vo 3vX16即吱16 y由于G不在F1F2上,四、参数法此法称为交轨法。解：设 P(X。，y。)，G (x, y),则有百度文库-让每个人平等地提升自我如果轨迹动点p (X, y)的坐标之间的尖系不易找到，也没有相 尖的点 可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参 数得轨迹方 程，此法称为参数法。例4已知点M在圆13x 2+13y2-15x-36y=0上，点

5、N在射线0M上， 且满足|0M|ON|=12,求动点N的轨迹方程。分析：点N在射线0M上，而同一条以坐标原点为端点的射线上两点坐标 的尖系为(x, y)与(kx, ky)(k> 0),故采用参数法求轨迹方程。解：设 N (x, y),则 M (kx, ky), k>0由 |OM| |ON|=12 得22例5已知AiA是椭圆令与1 (a>b>0)的长轴，CD是垂 a b直于AiA的椭圆的弦，求直线AiC与AD的交点P的轨迹方程。解：设 P(X, y), C (X。，y。)，D (x。，y。)，付0)百度文库让每个人平等地提升自我/Ai 2,0),力yoy(a, 0),由A、C、P共线及/、D、P共线得 x°a xay。 y(y工Xo a x a2222两式相乘