附录A科斯定理的数学证明

1、附录A：科斯定理的数学证明 李仁君：产权界定与资源配置，载于南开经济研究，1999年第1期科斯第一定理的数学证明：为便于分析，先做如下设定：令，分别表示农夫和养牛者的成本函数，其中分别表示谷物和牛的产量。在农夫的成本函数中包含了养牛者的变量，这说明存在生产的外部性即牛群规模扩大会损害谷物的事实，另外用分别表示两种产出的价格。这样农夫和养牛者的利润函数便可以表示为： 下面分别看养牛者对牛给农夫造成的损失承担和不承担责任时的资源配置情况。（1）养牛者对牛给农夫造成的损失承担责任情况时的情况。在此情况下，虽然牛群可以损害谷物，但养牛者必须向农夫支付赔偿。我们用线性齐次函数表示牛群规模在 ()时相应的

2、损害价值。如果按价赔偿，那么赔偿费就成为养牛者的一部分成本，对农夫则表现为收益。这样，农夫和养牛者新的利润函数就变为： 农夫和养牛者通过市场交易的结果就可表示为求解如下数学模型： (3.1) (3.1)式的一阶条件为： 二阶条件总是满足的，整理以上得到： (3.2) (3.3)由(3.2)式和(3.3)式决定了产值最大化的资源配置结果。（3.2）式反映了农夫耕种谷物的边际收益等于其边际成本，这是下符合利润最大化的原则。（3.3）式也反映了这一原则。（3.3）式等号右边的边际成本包括两部分，其中是养牛者给农夫带来的成本，即养牛者每增加一头牛的给农夫带来的谷物损害价值（边际外部成本）；是养牛者自身

3、的边际（内部）成本。可见，在养牛者对损害负有责任的情况下他只能将牛群规模确定在其边际收益等于边际内外部成本之和的条件下，才能使产值最大化。（2）养牛者对牛给农夫造成的损失不承担责任时的情况。在此情况下，养牛者拥有牛群损害谷物的权力，农夫想要避免损害，就必须向养牛者支付赔偿，我们用线性齐次函数表示养牛者把牛群规模维持在时从农夫那里得到的赔偿，那么农夫和养牛者的利润函数分别是： 农夫和养牛者通过市场交易的结果可表示为： (3.4)(3.4)式的一阶条件为： 二阶条件总是满足的，整理上式得到： (3.5) (3.6)比较(3.5)式和(3.6)式与(3.2)式和(3.1) (3.3)式可知，二者完全

4、相同。这说明了在对损害负有责任的产权办界定下，产量最大化的资源配置结果完全相同：产出。这再次证明了科斯第一定理的结论。科斯第二定理的数理证明：由于下的交易费用的存在，农夫和养牛者的成本状况就会有新的变化。设是交易费用函数，这也是一个线性齐次函数，并且进一步假定交易费用由赔偿者承担。（1）养牛者对牛农夫造成的损失承担责任的情况。在这种情况下，养牛者不仅要赔偿损害，而且还要承担交易费用。所以，农夫和养牛者的利润函数分别为： 这时农夫和养牛者通过市场交易的结果就可以表示为求解如下数学模型： (3.7)(3.7)式的一阶条件为 二阶条件总是满足的，整理以上得到： (3.8) (3.9)（2）养牛者对牛给农夫造成的损失不承担责任的情况。在这种情况下，由农夫进行赔偿并承担交易费用。这时，农夫和养牛者的利润函数变为： 农夫养牛者通过市场交易的结果可表示为求解如下数学模型： (3.10)(3.10)式的一阶条件为： 二阶条件总是满足的，整理上式得到： (3.11) (3.12)现在，我们发现，在交易费用大于零的情况下，两种产权界定方式所产生的资源最优配置的条件已不再相同，主要体现在(3.9)式与(3.12)式的不同上。由于农夫和养牛者之间信息的不对等不完全，他们交易费用的分布情况也是不相同的，由线性齐次假定，所以，两种产权界