高阶微分方程的 解法及应用

1、高阶微分方程的高阶微分方程的 解法及应用解法及应用二、高阶微分方程的应用二、高阶微分方程的应用 一、两类高阶微分方程的解法一、两类高阶微分方程的解法 第七章第七章(2) 三、练习三、练习 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(dd22xfxy )dd,(dd22xyxfxy 令令xyxpdd)( ),(ddpxfxp )dd,(dd22xyyfxy 令令xyypdd)( ),(ddpyfypp 逐次积分求解逐次积分求解 常系数情形常系数情形齐次齐次非齐次非齐次代数法代数法* 欧拉方程欧拉方程yx 2yxp yq )(xf tDextdd, 令令 qpDDD )1(y)

2、(tef 练习题练习题: P353 题题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8求以求以xxeCeCy221 为通解的微分方程为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为,2,121 rr故特征方程为故特征方程为,0)2)(1( rr0232 rr即即因此微分方程为因此微分方程为023 yyy求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令令, )(ypy 则方程变为则方程变为,01dd2 pyppyyypppd1d2 即即P353 题题2P353 题题3xyyy2sin52

3、)7( ,212,1ir 齐次方程通解齐次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx 令非齐次方程特解为令非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos* 代入方程可得代入方程可得174171, BA思思 考考若若 (7) 中非齐次项改为中非齐次项改为,sin2x提示提示:,sin22cos12xx xBxAy2sin2cos* 故故D 原方程通解为原方程通解为xx2sin2cos174171 )2sin2cos(21xCxCeyx 特解设法有何变化特解设法有何变化 ?02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令令),(xpy 则方程变为则方程变为2ddpaxp 积分得积分得,11Cxa

4、p 利用利用100 xxyp11 C得得再解再解,11ddxaxy 并利用并利用,00 xy定常数定常数.2C思考思考若问题改为求解若问题改为求解0321 yy,00 xy10 xy则求解过程中得则求解过程中得,112xp 问开方时问开方时正负号如何确定正负号如何确定?P354 题题4(2)222, )(zyxrrfu 在在 r 0内内满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程, 0222222 zuyuxu)(rf其中其中二阶可导二阶可导, 且且,1)1()1( ff试将方程化为以试将方程化为以 r 为自变为自变量的常微分方程量的常微分方程 , 并求并求 f (r) .提示提示:rxrfxu)( 22

5、22)(rxrfxu )(rf r132rx 利用对称性利用对称性, 0)(2)( rfrrf即即0)(2)(2 rfrrfr( 欧拉方程欧拉方程 )原方程可化为原方程可化为0)(2)(2 rfrrfr,lnrt 令令1)1()1( ff.12)(rrf ,ddtD 记记则原方程化为则原方程化为 02)1( fDDD02 fDD即即通解通解: teCCrf 21)(rCC121 利用初始条件得特解利用初始条件得特解: 例例1 求解下列方程求解下列方程即即方程的解为方程的解为，1lnlnlnCxp 1. ； 2. 0 yyxyyy 3解解 1. 此方程不含变量此方程不含变量 ，故令变换，故令变换

6、 ，则，则 yyp ，0 ppx，xxppd1d1 方程为方程为即即所以，方程的通解为所以，方程的通解为，xCxy1dd 21lnCxCy 方程变形为方程变形为即有即有0)1dd(2 pypp2. 此方程中不含变量此方程中不含变量 ，作变换，作变换 ，则，则xyp ，yppxydddd22 ，ppypp 3dd由由 ，0 pCy 得方程的解为得方程的解为 解得解得即即分离变量后，再两边积分得分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解从而得方程的通解xCCye)sin(21 ，01dd2 pyp，1arctanCyp ，)tan(1Cyy ，21ln| )sin(|lnCxCy 由由例例2 求解下

7、面的初值问题求解下面的初值问题方程化为方程化为 0101113xxyyyy，解解 令令 ，则，则yp ，yppxydddd22 ，1dd3 yppy分离变量，两边积分，得分离变量，两边积分，得解得解得， yyppd1d3，1221Cyp 由条件得由条件得 ，01 yp，yyxy21dd 11 C解得解得 ，即得即得分离变量，得分离变量，得，xyyydd12 两边积分，得两边积分，得，221Cxy 22xxy 由条件由条件 ，11 xy得得 ，12 C由此得方程的特解为由此得方程的特解为xxCxCy sincos21特征根特征根 :,2, 1ir 2, xxyy,00 xy,00 xy提示提示:

8、,2时时当当 x故通解为故通解为)(sin2 xxxy2,04 xyy满足条件满足条件2 x在在解满足解满足xyy ,00 xy00 xy处连续且可微的解处连续且可微的解.设特解设特解 :,BAxy 代入方程定代入方程定 A, B, 得得xy , 0, 000 xxyy利用利用得得2 x由由处的衔接条件可知处的衔接条件可知,2时时当当 x04 yy,122 xy12 xy解满足解满足故所求解为故所求解为 y,sinxx 2221,2cos)1(2sin xxx2 xxCxCy2cos2sin21 其通解其通解:定解问题的解定解问题的解:2221,2cos)1(2sin xxxy,)(二阶导数连

9、续二阶导数连续设设xf且满足方程且满足方程 xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求求提示提示: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf则则xxfcos)( )(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx )(xfx 问题化为解初值问题问题化为解初值问题: :xxfxfsin)()( ,0)0( f1)0( f两边再次求导，得两边再次求导，得两边求导，两边求导，对应的齐次方程的对应的齐次方程的通解是通解是设非齐次方程的特解是设非齐次方程的特解是xCxCYsincos21 ，)sincos(*xbxaxy xxxxfsin21cos21)( 代入方程，得代入

10、方程，得 ， 21 a0 bxxxCxCycos21sincos21 由初始条件，得由初始条件，得 ， 01 C212 C从而从而即原方程的通解为即原方程的通解为思考思考: : 设设, 0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x 如何求如何求提示提示: : 对积分换元对积分换元 , ,uxt 令令则有则有 xxttex0d)()( )()(xexx 解初值问题解初值问题: : xexx )()( ,0)0( 1)0( 答案答案: :xxexex 41)12(41)( 二阶线性二阶线性非齐次非齐次的解的解. 设函数设函数),()( 在在xyy,)()(, 0的的函函数数是是xyyyxxy

11、内具有连续二阶导内具有连续二阶导(1) 试将试将 xx( y) 所满足的微分方程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x) 所满足的微分方程所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322 yxxyyx, 0)0( y数数, 且且23)0( y解解: ,1ddyyx , 1dd yxy即即上式两端对上式两端对 x 求导求导, 得得: (1) 由反函数的导数公式知由反函数的导数公式知03考研考研0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得代入原微分方程得 xyysin (2)

12、 方程方程的对应齐次方程的通解为的对应齐次方程的通解为 xxeCeCY 21设设的特解为的特解为 ,sincosxBxAy 代入代入得得 A0,21 B,sin21xy 故故从而得从而得的通解的通解: xeCeCyxxsin2121 由初始条件由初始条件 ,23)0(, 0)0( yy得得1,121 CC故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为 xeeyxxsin21 解解xxCCCy2321ee ，0223 rrr例例6 求解方程求解方程 )4(e2 xxyyy方程的解为方程的解为, 01 r, 12 r. 23 r对方程对方程 ，设方程有解，设方程有解xxyyye2 ，xbaxxye)(*

13、1 代入方程，得代入方程，得，xxxbaaxee)386( 方程对应的特征方程为方程对应的特征方程为所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为xxxye)9461(2*1 最后考虑方程最后考虑方程,42xyyy ，)(*2dcxxy 比较系数，得比较系数，得 ,61 a,94 b代入方程，得代入方程，得, 1 dc. 2*2xxy 即即从而方程的通解为从而方程的通解为xxxxCxCCyxx 222321e)9461(e 即即假设方程有解假设方程有解1 . 建立数学模型建立数学模型 列微分方程问题列微分方程问题建立微分方程建立微分方程 ( 共性共性 )利用物理规律利用物理规律利用几何关系利用几何关

14、系确定定解条件确定定解条件 ( 个性个性 )初始条件初始条件边界条件边界条件可能还要衔接条件可能还要衔接条件2 . 解微分方程问题解微分方程问题3 . 分析解所包含的实际意义分析解所包含的实际意义 解解 欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球为使其摆脱地球 引力引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度试计算此速度.设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为地球质量为 M , 卫星卫星的质心到地心的距离为的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得: 222ddhmMGthm 00dd,vth

15、Rht ,0v为为(G 为引力系数为引力系数)则有初值问题则有初值问题: 222ddhMGth 又设卫星的初速度又设卫星的初速度，51063 R已知地球半径已知地球半径),(ddhvth 设设,dddd22hvvth 则则代入原方程代入原方程, 得得2ddhMGhvv hhMGvvdd2 两边积分得两边积分得ChMGv 221利用初始条件利用初始条件, 得得RMGvC 2021因此因此 RhMGvv112121202 221limvhRMGv12120 注意到注意到 为使为使,0 v应满足应满足0vRMGv20 因为当因为当h = R (在地面上在地面上) 时时, 引力引力 = 重力重力, )

16、sm81. 9(22 ggmhmMG即即,2gRMG 故故代入代入即得即得81. 910632250 gRv) s(m102 .113 这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 skm2 .11求质点的运动规求质点的运动规上的力上的力 F 所作的功与经过的时间所作的功与经过的时间 t 成正比成正比 ( 比例系数比例系数,00vs初初始始速速度度为为初初始始位位移移为为).(tss 律提示提示:,d0tksFss 由题设由题设两边对两边对 s 求导得求导得:stkFdd 牛顿第二定律牛顿第二定律stktsmdddd22 mktsts 22ddddtdd 2ddtsmk2 2ddts12 Ctmk

17、 为为 k), 开方如何定开方如何定 + ?已知一质量为已知一质量为 m 的质点作直线运动的质点作直线运动, 作用在质点作用在质点另一端离钉子另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦如不计钉子对链条所产生的摩擦 力力, 求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间 .解解 建立坐标系如图建立坐标系如图. 设在时刻设在时刻 t , 链条较长一段链条较长一段xox下垂下垂 x m ,又设链条线密度为常数又设链条线密度为常数,此时链条受力此时链条受力 Fgx gx )20( gx )10(2 由牛顿第二定律由牛顿第二定律, 得得22dd20tx gx )10(2 ,120 tx0dd

18、0 ttxgxgtx 10dd22101 . 021 . 01 tgtgeCeCx由初始条件得由初始条件得,121 CC故定解问题的解为故定解问题的解为解得解得24)10(1021 . 0 xxetg),1(舍舍去去另另一一根根左左端端 当当 x = 20 m 时时,(s)625ln(10 gt微分方程通解微分方程通解: 101 . 01 . 0 tgtgeex思考思考: 若摩擦力为链条若摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 , 定解问题的定解问题的数学模型是什么数学模型是什么 ?xox不考虑摩擦力时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为g 1(s)322419ln10 gt22dd20tx

19、 gx )10(2 ,120 tx0dd0 ttx22dd20tx gx )10(2 ,120 tx0dd0 ttx此时链条滑下来此时链条滑下来所需时间为所需时间为yoy从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测按探测要求要求, 需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函之间的函数关系数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为设仪器质量为 m,体积为体积为B , 海水比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下

20、沉速度成正仪器所受阻力与下沉速度成正 比比 , 比例系数为比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立试建立 y 与与 v 所满足的微分所满足的微分方程方程, 并求出函数关系式并求出函数关系式 y = y (v) . 提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.质量质量 m体积体积 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律 B 22ddtymvk 重力重力浮力浮力 阻力阻力mg tvtydddd22 tyyvdddd yvvdd 注意注意: 95考研考研 BgmvkBgmkBgmmvkmy ln)(2vkBgmyvvm dd初始条件为初始条件为00 yv用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题

21、得yoy质量质量 m体积体积 B得得课内练习题：课内练习题：解解 1. 特征方程为特征方程为xxCCy2521e)( 解得解得 ，由此得到方程的通解，由此得到方程的通解2521 rr，0252042 rr1. ； 025204 yyy3. xxyycos4 xxyy2e2 2. ；则则xCCy221e 2. 特征方程为特征方程为 ，022 rr由于由于 为单根，故可设方程的特解为为单根，故可设方程的特解为2 ，xbaxxy2*e)( ，xbxbaaxy22*e)22(2 ，xbaxbaaxy22*e42)48(4 因而齐次方程的通解为因而齐次方程的通解为代入方程后，比较系数得代入方程后，比较系

22、数得所以所以因而方程的通解为因而方程的通解为，2141 baxxy2*e)2(41 xxxCCy2221e)2(41e 代入到原方程，得代入到原方程，得，xdcxxbaxysin)(cos)(* 3. 特征方程为特征方程为 ，解得，解得 ，所以齐，所以齐042 ri22, 1 r次方次方程的通解为程的通解为xCxCy2sin2cos21 注意到注意到 不是特征方程的根，故方程的特不是特征方程的根，故方程的特ii 解可解可设为设为，xxxadcxxcbaxcossin)233(cos)223( 比较系数，得比较系数，得故原方程的通解为故原方程的通解为xxxxCxCysin92cos312sin2

23、cos21 920031 dcba，1求解下列微分方程：求解下列微分方程：1) ；xyyxln 2) 22yyy 3求解下列微分方程：求解下列微分方程：2求下面初值问题的解：求下面初值问题的解： ，211e|2|0lnlnxxyyxyyyyx1) ；023 yyy4) ；xxyyy2sin32 2) ；04 yy3) ；043)4( yyy5) xxyyyx22sine44 4设设 为连续函数为连续函数, 且满足方程且满足方程)(xf，xxttftxxf02d)()(e)(求求 )(xf5已知光滑曲线已知光滑曲线 过原点和点过原点和点 ，任取曲线上的点，任取曲线上的点l)3 , 2( ，过，过 作两坐标轴的平行线作两坐标轴的平行线 和和 与与 轴及轴及),(yxPPPAPB PAx曲线所围成的面积等于曲线所围成的面积等于 与与 轴及曲线围成的面积的轴及曲线围成的面积的2倍倍, 求求PBy曲线的方程曲线的方程6一长度为一长度为 的均匀链条放置在一个水平面无摩擦力的的均匀链条放置在一个水平面无摩擦力的a桌面上桌面上, 滑动开始时滑动开始时, 链条在桌边挂下来的长度为链条在桌边挂下来的长度为 问链问链条条b全部滑离桌面需要多少时间全部滑离桌面需要多少时间?)()(xfyxy 有特有特,1xy 解解而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解,2xy 及及求求)(, )(xfx 微分方程的通解微