定积分的概念

1、第九第九章章 定积分定积分1 1 定积分的概念定积分的概念 2 2 牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式 3 3 可积条件可积条件 4 4 定积分的性质定积分的性质 5 (5 (一一) ) 微积分学基本定理微积分学基本定理 5 (5 (二二) ) 定积分的计算定积分的计算 1 1 定积分的概念定积分的概念一、问题提出一、问题提出 二、定积分的定义二、定积分的定义 现在先从两个例子来看定积分概念是怎样现在先从两个例子来看定积分概念是怎样提出来的提出来的. . 但也有紧但也有紧密的联系密的联系. . 不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题. . 定积分则

2、是某种特定积分则是某种特殊和式的极限，殊和式的极限，一、问题提出一、问题提出求不定积分是求导数的逆运算，求不定积分是求导数的逆运算， 它们之间既有本质的区别，它们之间既有本质的区别， 设设f为闭区间为闭区间 a,b 上的连续函数，上的连续函数， 直线直线x=a,x=b以及以及x轴所围成的轴所围成的平面图形（图平面图形（图9-19-1），）， 下面讨论曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图下面讨论曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形面积的基础）形面积的基础）. . 1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积 1) 1) 曲边梯形定义曲边梯形定义 且且f(x)00. . 由曲线由曲线y=f(x)， 称为

3、称为曲边梯形曲边梯形. . 圆面积是用一系列边数无限增多的圆面积是用一系列边数无限增多的内接（或外切）正多边形面积的极限来定义的内接（或外切）正多边形面积的极限来定义的. .2 2）曲边梯形面积计算）曲边梯形面积计算 在初等数学里，在初等数学里， 现在现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积. . 把曲边梯形分割成把曲边梯形分割成n个个小曲边梯形（图小曲边梯形（图9-29-2）. . 10121,nna xxxxxb 1,iixx ixx 其具体步骤如下：其具体步骤如下： 分割分割 在区间在区间 a,b 内任取内任取n-1个分点，个分点， 它们依次为它们

4、依次为 这些点把这些点把 a,b 分割成分割成n个小区间个小区间 , ,i=1,2,n. . , , i=1,2,，n-1 再用直线再用直线 把曲边梯形分割成把曲边梯形分割成n个小曲边梯形个小曲边梯形 它在每个小区间它在每个小区间上的值变化不大上的值变化不大, , 用小矩形的面积替代相应用小矩形的面积替代相应小曲边梯形的面积，小曲边梯形的面积， 这这n个小矩形面积之和就可个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积作为该曲边梯形面积S的近似值的近似值, ,即即 从而可用这些小矩形的面积近似从而可用这些小矩形的面积近似替代替代相相应小曲边梯形的面积应小曲边梯形的面积. . 当分割当分割 a,b 的分点

5、较多的分点较多, , 在每个小区间在每个小区间 xi-1,xi 上任取一点上任取一点 (1) (1) 2niii 1Sf() x ).(1iiixxxi if () 近似代替并求和近似代替并求和 并且求并且求n个小矩形面积之和个小矩形面积之和. .，作以，作以 为高，为高， xi-1,xi 为底的小矩形为底的小矩形. . 又分割得较细密时又分割得较细密时, , 由于由于f为连续函数为连续函数, , 于是于是, , 注意到注意到(1)(1)式右边的和式既依赖于对区间式右边的和式既依赖于对区间 a, ,b 的分的分割，割， 可以可以想象，想象， 的选的选取无关，取无关， 则就把此常数定义为曲边梯形

6、的面积则就把此常数定义为曲边梯形的面积S. （i=1,2,，n）的取法有关）的取法有关. . 如果此和如果此和式与某一常数无限接近，式与某一常数无限接近，又与所有中间点又与所有中间点 而且与分点而且与分点xi和中间点和中间点 且对且对 a,b 无限细分时，无限细分时，3 i i 取极限取极限由近似值过渡到精确值由近似值过渡到精确值当分点无限增多，当分点无限增多， 它连它连续依赖于质点所在位置的坐标续依赖于质点所在位置的坐标x, , xa,b为一连续函数为一连续函数, , 并设并设F F处处平行于处处平行于x轴轴( (如图如图9-3). 9-3). 则它对质点则它对质点所作的功为所作的功为W=F

7、(b-a). F为变力为变力, , 如果如果F为常力为常力, , 设质点受力设质点受力F的作用沿的作用沿x轴由点轴由点a移动到点移动到点b, 2 2变力所作的功变力所作的功 现在的问题是现在的问题是, , 即即F=F(x), 此时此时F对对质点所作的功质点所作的功W W又该如何算又该如何算? ?力力F所作的功就近似等于所作的功就近似等于 F(x)F( ), xxi-1,xi，i=1,2,，n. 类似于求曲边梯形面积那样类似于求曲边梯形面积那样, , 故在很小的一段位移区间上故在很小的一段位移区间上F(x)可以近似地看作一常量可以近似地看作一常量. . 若（若（2 2）式右边的和式与）式右边的和

8、式与某一常数无限接近，某一常数无限接近， 则就把此常数定义作为变力所作的功则就把此常数定义作为变力所作的功W. .i iiF() x ,1( )niiiWFx由假设由假设F(x)为一连续函数为一连续函数, , 把把 a,b 细分为细分为n个小区间个小区间 xi-1,xi,xi= xi-xi-1,i=1,2,n； 并在每个小区间上任取一点，并在每个小区间上任取一点，就有就有 于是于是, ,质点从质点从xi-1位移到位移到xi时时, ,从而从而 (2)(2)同样地，同样地， 对对 a,b 作无限细分时，作无限细分时， 上面两个例子，一个是计算曲边梯形面上面两个例子，一个是计算曲边梯形面积的几何问题

9、，积的几何问题， 它们最它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近终都归结为一个特定形式的和式逼近. .总结总结 另一个是求变力作功的力学问题，另一个是求变力作功的力学问题， 在科学技术中还有在科学技术中还有许多同样类型的数学问题，许多同样类型的数学问题， 解决这类问题的思想方法概解决这类问题的思想方法概括说来就是括说来就是“分割，近似求和，取极限分割，近似求和，取极限”. . 这就是产生这就是产生定积分概念的背景定积分概念的背景. . 就随之而确就随之而确定；定； 可用来反映可用来反映 a,b 被分割的细密程度被分割的细密程度. .具有同一细度具有同一细度 分割分割T T一旦给出，一旦给出， 因

10、此因此 的分割的分割T却有无限多个却有无限多个. . 012n 1naxxxxxb, 0112,.nnTxxx或或 1,maxii nTx ,1,2, ,ixT in TTT二、定积分的定义二、定积分的定义 定义定义1 1 设闭区间设闭区间 a,b 内有内有n-1个点，个点， 依次为依次为 它们把它们把 a,b 分成分成n个小区间个小区间i=xi-1-1, , xi, , i=1,2,，n. . 这些分点或这些闭子区间构成对这些分点或这些闭子区间构成对 a,b 的一个的一个分割分割， 记为记为 小区间小区间xi的长度为的长度为xi=xi-xi-1, , 并记并记 称为分割称为分割T的的模模.

11、. 注注 由于由于 另外，另外， 但是，但是， 对于对于 a,b 的一个分割的一个分割 又与所选取又与所选取的点集的点集 任取点任取点 有关有关. . 12nT,. ii, 1().niiifx i定义定义2 2 设设f是定义在是定义在 a,b 上的一个函数上的一个函数. . i=1,2,n,并作和式并作和式 称此和式为函数称此和式为函数f在在 a,b 上的一个上的一个积分和积分和， 也称也称黎曼和黎曼和. . 注注 显然，显然， 积分和既与分割积分和既与分割T有关，有关， J是一个确定是一个确定的实数的实数. 使得对使得对 a,b 的任何分割的任何分割T， ，只，只要要 以及在其上任意选取的

12、点集以及在其上任意选取的点集 ，总存在某一正数，总存在某一正数 若对任给的正数若对任给的正数 数数J称为称为f在在 a,b 上的上的定积分定积分或或黎曼积分黎曼积分，a,b分别称为这个定积分的分别称为这个定积分的下限下限和和上限上限. ., i|T | 1(),niiifxJ baJf ( x )dx. 定义定义3 3 设设f是定义在是定义在 a,b 的一个函数，的一个函数， ，就有，就有 则称函数则称函数f在区间在区间 a,b 上上可积可积或或黎曼可积黎曼可积； 记作记作 （3） 其中，其中， f 称为称为被积函数被积函数， x称为称为积分变量积分变量， a,b称为称为积分区间积分区间， n

13、biiaT0 i 1Jfxf x dx ()( ).lim 以上定义以上定义1 1至定义至定义3 3是定积分抽象概念的完整叙述是定积分抽象概念的完整叙述. .下面是与定积分概念有关的几点补充注释下面是与定积分概念有关的几点补充注释. .注注1 1 把定积分定义的把定积分定义的 说法和函数极限的说法和函数极限的 说法相对照，说法相对照， 便会发现两者有相似的陈述方式，便会发现两者有相似的陈述方式， 因此我们也常用极限符号来表达定积分，因此我们也常用极限符号来表达定积分， 即把它写作即把它写作 (4)(4)每一个每一个 这使得积这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多分和的极限要比通常的函数极

14、限复杂得多. 积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的区别：区别： 时必定同时有时必定同时有()limxafxTT0,n n T0,T0.n 然而，然而， 在函数极限在函数极限 中，对每一个变量中，对每一个变量x来说，来说， f(x)的值是唯一确定的；的值是唯一确定的； 而对于积分和的极限而言，而对于积分和的极限而言， 并不唯一对应积分和的一个值并不唯一对应积分和的一个值. . 注注2 一般不能用一般不能用 因为因为 来代替来代替 时未必有时未必有 但但 则该函数在所论区间上是不可积则该函数在所论区间上是不可积的的.唯一重要的是分割的细度唯一重要的是

15、分割的细度 i T ,T注注3 3 极限极限(3)(3)的存在，的存在， 与分割与分割T的形式无关，的形式无关， 与与 的选择也无关；的选择也无关； 当当 足够小时，足够小时， 总能使积分和与某一确定的数总能使积分和与某一确定的数J无限接近无限接近. 注注4 4 由注由注3， 若能构造出两个不同方式的积分和，若能构造出两个不同方式的积分和， 使它们的极限不相同，使它们的极限不相同， 即即D(x)在在0,10,1上不可积上不可积. . 由有理数和无理数在由有理数和无理数在实数中的稠密性，实数中的稠密性，当取当取 取法不同取法不同(全取有理数或全取无理数全取有理数或全取无理数).1( )xD xx

16、 ，为为 0 0，1 1 中中有有理理数数，0 0，为为 0 0，1 1 中中无无理理数数. . i nniiii1i1D ()xx1 ; nniiii1i1D ()xx0. T i 例例 狄利克雷函数狄利克雷函数 它在它在0,1上不可积，上不可积，因为对任意因为对任意T, 全为有理数时，全为有理数时， 得得 当取全为无理数时，当取全为无理数时， 得得 所以不论所以不论 多么小多么小, 只要点集只要点集 积分和有不同极限积分和有不同极限. 则对每个特殊分割则对每个特殊分割T以及点集以及点集 00, 0, ni1, mi1, T, T, iijj0TTf ()xf ()x. ni1 T0baf

17、( x )dx 一般地，一般地， f在在a,b上不可积：上不可积： 以及以及 虽然虽然 但但 注注5 5 反之，反之， 若若f在在a,b上可积，上可积， 的特殊选择，的特殊选择， 所得的积分和当所得的积分和当 时，时， 必以必以 为极限为极限. 在在a,b上形成的曲边梯形上形成的曲边梯形面积为面积为 稍后（定理稍后（定理9.3）就会知道连续函数是可积的，就会知道连续函数是可积的， 质点从质点从a位移到位移到b所作的所作的功为功为 yf ( x )0 baSf ( x )dx; baWF( x )dx. 注注6 6 可积性是函数的又一分析性质可积性是函数的又一分析性质. 于是本节开头两个实例都可

18、于是本节开头两个实例都可用定积分记号表示：用定积分记号表示：1）连续曲线）连续曲线 2）在连续变力）在连续变力F（x）作用下，作用下， 是位于是位于x轴下方的曲边梯形面轴下方的曲边梯形面积的相反数，积的相反数， 对于一般非定号的对于一般非定号的f(x)而言，而言， 对于对于a,b上上的连续函数的连续函数f， 定积分（定积分（3）的几）的几何意义就是该曲边梯形的面积；何意义就是该曲边梯形的面积； baJf ( x ) dx 注注7 7 （定积分的几何意义）（定积分的几何意义） 由上述由上述1）看到，）看到， 当当f(x)0， xa,b时，时， 当当f(x)0， xa,b时，时， 这时这时 不妨称之为不妨称之为“负面积负面积”； 定积分定积分J的值则是曲线的值则是曲线y=f(x)在在x轴上方部分所轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和的代数和. 而与积分变量所用的符号而与积分变量所用的符号无关，无关， 为曲为曲边的曲边三角形的面积（图边的曲边三角形的面积（图9