2019届北京市高三上学期期中考试数学理试卷含解析

1、2019届北京市高三上学期期中考试数学理试卷数学试卷（理工类）第I卷（选择题，共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。1 .已知集合 A =乂，B=fx|O4xW,则AE=（）A. , .：. 厂 B. . 厂 C. ；D.【答案】B【解析】【分析】先把集合A解出来，然后求 A U B即可.【详解】因为集合合 A = x|x（x-2） <0） = A = x|0 < x < 2,所以内 AE= xIOv-xWl）,故选：B.【点睛】本题主要考查

2、集合的交集，属于基础题.2 .执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. -10 B. -2 C. 2 D. 10【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环Z构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案.【详解】模拟程序的运行过程，第一次运行：k=Ls = T一，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时k = 5 > 4 ,推出循环，输出输出 占=2.故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.3 .设平面向量a=(LD, b = c = a十kb, a_Lc,则实数k的值等于()2 S

3、3A. B. C. 0 D.3 22【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值.【详解】向量a = (1-1) , 5 = (1,.：i 1:1-'.：,、，- 2=二. f =3故选A.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题.4.已知则下列不等关系中正确的是()A.'：,、' B. 眺,/C.D.一二【答案】D【解析】【分析】 利用指函数的单调性得出结论.【详解】A. cosx > cosy ,显然不成立;B.错误，因为函数¥ =1隼3乂在(。，十此上为增函数，由x > y >

4、0 ,可得kj&xAkg。；illI I同理C. j叠，因为函数:在(0,十必上为增函数，由xAy。，可得23;xJ <yy = x-x- > yD.,正确，因为函数y =(；)在(0,十上为减函数，由x>y>o,可得&Zg；故选D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，属基础题5. a =-是 sina =-的（）62A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】观察两条件的互推性即可求解.z11元【详解】由6 = -"可得到“ sina = -"，但"sin =-&

5、quot;不一定得到4=-"，6226一“冗” 一 “1 ”，、，一 一一，故口=是 sina =- 的充分而不必要条件.62故庙A.6.已知函数 内)=|"胃，若f(a) = f(b) ("b),则;i+b的取值范围是()A.：二Br二；C. 1 .十D. 1：.十,£【答案】B【解析】【分析】由g0 =僮。2| = |212*5 ,可知 "1 cb,由%)=即力可得 + 2b = 4,|2 2hx> 1根据基本不等式可求 且十b的取值范围.【详解】氏工)=甲-2| =尸2 ”5 '若I <£1”由f(a) =

6、f(b)则展-2 =旷-2".!3 = b与"b矛盾;12 Tx 三 1同理；1.也可导出矛盾，故av Mb, G /=卢2-才I # = 4,而28 + 2b>地a .1=西+ ."+卜<4 =22,故选B【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题 7 .已知函数当时 方程Rx） =x-m的根的个数为（）f（K-2）,x£ 0248A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】画出函数f（K）的图像，由图像可得结论.【详 解】 画 出 函 数 f（x） 的 图 像有图可知方程f（K）= -;x4m的根的个

7、数为3个.故选C.【点睛】本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，是中档题.8 .将正奇数数列134,5,7,9,依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：（1.3）, （579）, 01,13）,。51749）,，称（L3）为第1组，色7,9）为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中（）A.第404组 B. 第405组 C. 第808组 D. 第809组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案 .【详解】正奇数数列134,5,7,9,的通项公式为% = 2n-1，则2019为第1010个奇数，因为

8、按两项、三项分组，故按5个一组分组是有 202组，故原数列中的2019位于分组序列中第 404 组选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题 .第II卷(共110分)二、填空题(每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上)9.已知 a E (,0), sina = 一一,则 cosa =, 1阪3 十 a) =.、一43【答案】(1).(2).-54【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解、.，3I- 4【详解】由题sina =-,则8与ct =、'1-sin% =-255,sina 3 tan(jc a) = tana .cosa 4一 ,43即答案为(1).(2).5

9、4【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题(x-y > 0,10.已知X, 丁满足X十¥-2三0,贝犷=其十%的最大值为 (y+ 2>0【答案】【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的 ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应【详解】的直线进行平移，可得当x=3, y=1时，z=x+2y取得最大值为5./ x - y > 0.作出不等式组x + y-2三0,表示的平面区域,y十2三0得到如图的 ABC及其内部，其中 A (1, 1), B(-2, -2), C (4,-2)设z= x+2y ,将直线l : z=x+2y进行平移，

10、当l经过点A时，目标函数z达到最大值z最大值=3故答案为：3【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题.11 .已知函数y =满足下列条件：定义域为R;函数芋=fg在I。)上单调递增；函数¥ = fg的导函数y 7g有且只有一个零点，写出函数的一个表达式 .【答案】【解析】【分析】利用已知条件，直接推出结果即可.【详解】定义域为R;函数¥ =在 D上单调递增；函数¥ = fg的导函数y = f(x)有且只有一个零点，满足条件一个函数可以为：y = x：.或y=(+2等

11、等.故答案为：y = ( .(答案不唯一)【点睛】本题考查函数的简单性质的应用，函数的解析式的求法，考查判断能力.12 .如图，在平行四边形ABCD中，E, F分别为边，B, BC的中点，连接CE , DF ,交于点G ,-1iT /.一人若CG = ACD + rCB (, rER),则_ =.根据平行线分线段成比例解答即可【详解】一d 2 c 1而CG 22CE 1 1 1 5'+ + 2 2 4255根据平行线分线段成比例可得Hi 小3 1 故N 2 25- I即答案为. 2【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题13 .海水受日月的引力，在一定的时候发生白涨落现象叫潮.

12、港口的水深会随潮的变化而变化某港口水的深度y (单位：米)是时刻单位：小时)的函数，记作 y=F(t).下面是该港口某日水深的数据:036912151821248.011.07.95.08.011.08.05.08.0经长期观察，曲线y = F(0可近似地看成函数y = Asinoit + b (A>0,付>。)的图象，根据以上 数据，函数y=f(t)的近似表达式为 .7C【答案】6【解析】【分析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A;最大值与最小值和的一半为 h;通过周期求出3 ,得到函数解析式.【详解】根据已知数据数据可以得出A=3, b=8, T=12,。=0,23

13、rM7T由T = -=2,得w=.,所以函数 厂限的近似表达式¥=女叶户$ CD6O7T即答案为,D【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题 14 .从标有数字，b, , d (aEbWcWd,且，b, , d的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得 3种不同的结果，那么这4个小球上的不同白数字恰好有 个；试写出满足条件的所有 组，b, , .【答案】(1). 3(2). 1,224;133,924,4,8;4,6,6,9【解析】【分析】由3三bEcEd,且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加， 可得4种不同的结

14、果；将其上的数字相乘，可得 3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，在逐一分析可得满足条件的所有组，b, , d.【详解】由a<b<c<d,且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得 4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，若两个相等的数为1,如1, 1,2, 4,则四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得 3种不同的结果，不符合题意，若若两个相等的数为2,则符合题意的为1,2,2,4;推理可得1,339;2,4,4,8;4,6,6,9符合题

15、意.即答案(1). 3(2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【点睛】本题考查归纳推理，属难题 .三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15 .设储 (nWN")是各项均为正数的等比数列，且 七=3,期知=蹿(I)求的通项公式；(II)若 = %卜1玛打，求比”比t b.【答案】(I) % =卢，nEN*.(ii)j险222 2【解析】【分析】(I)设为首项为力,公比为q 9>口)，则依题意，3 ,y ,解得立=1，q =5 即可得到嘈的通项公式；-电 q* - 18(II)因为说=% + log3ali

16、 = 3“ * 1 + (建11),利用分组求和法即可得到 瓦十%十7，+ %.【详解】(I)设%为首项为由，公比为q (q>0),则依题意，所以凡的通项公式为a-3111 , neN*.(II)因为% "%十 log34k" + 8-l)，所以1 - V n(n- 1) 1-323n- 1 n(n- 1) =+2 2【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题16.已知函数 f(x) = 2v5sinxcosx + sirTx-ss、.(I)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；7C(II)若对任意kE。-,(m为实数)恒成立，求 m的最小值.Z-2

17、n；7tTV【答案】(I)最小正周期为1' = 一 =五,单调递增区间为一4叫-1 E, kEZ. 263(II) m的最小值为2【解析】【分析】(I)根据二倍角公式及辅助角公式求得f (x)的解析式，根据正弦函数的性质即可求得f(x)的最小正周期及其单调递增区间；7EII )由X E 0工.可得= 2.由此可求m的最小值. Z-【详解】(I)由已知可得f(x) = 5sin2x- cos2x由 I=2(sin2x - cos2x)71=2.一二. r ,2jT 所以取小正周期为2, 冗.兀兀一._ _令-+ 2版 < 2x - - < - 21<兀,k G Z.26

18、 2，冗 一 _2 一所以§ +2加02xW乎-卜2k范,兀一兀一一 ，一 r-+ kTU- k7c, k E Z.7T兀所以-7 k五三一加，即单调递增区间为6 一 三一、.3T(II)因为 XE%J.所以6冗5te所以即c)E-ia,兀 兀兀*当2X-不即X = :时，乂X)mx = 2.o L3因为f(x)Wm恒成立，所以m>2 ,所以in的最小值为2【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的单调性及最值，考查转化思想，属于中档题.17.在3ABe'中，角A, E, C的对边分别为，b, , A =/0nB =-3，b = 8.(I)求；(II )求AABC的面积.

19、【答案】证明见解析(II ) S&ABC = 6下【解析】【分析】(I )利用同角三角函数基本关系式求得smB= .,利用正弦定理可求；7 1 一.(II)在AABC中，由LinB亡0知B为钝角，所以msB = -1.利用sinC = sin(A + B) = sinAcosB 十 cosAsinB ,可求 smC,由此可求求二ABC 的面积.一_, j sinB 【详解】证明：(I)因为gnB=-4有，即=4点,cosB4J3又比1七十匕。四七二1 , B为钝角，所以sinB = .由 一7 =，即 45,解得 3 = 7 sinA smB -(II)在AABC中，由出示式。知B为钝

20、角，所以cosB = -7sinC = sin(A 十 B) = sinAcosB 十 cosAs inB ,所以27 2714.一 I 一 3十一匚所以-【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌 握定理是解本题的关键.18 .已知函数 f(x) =2mx*3x? 1 (m ER)(I)当m = 1时，求f(x)在区间T,2上的最大值和最小值；(II )求证：" m ： ”的“函数有唯一零点”的充分而不必要条件.【答案】(I)-；财rnin.T.(II )缶 A 】”是“有唯一零点”的充分不必要条件【解析】【分析】(I)先求导，再由导函数为 0

21、,求出极值，列表解得即可；(n)根据(I)分类讨论，分别利用导数和函数的零点的关系以及充分不必要条件的定义 即可证明.【详解】 (I) f(x) = 6mx' - 6x = 6x(mx - I)，当m = 1 时，F(x) = 6虱x - 1),当工在卜1,2内变化时，P(x), f(x)的变化如下表：第17页共16页W-1匕1.0岷x)|+0网-4/极大值11二|2-0+极小值0/5当xE-L2时，6)e=5；耳x)而=-4.1(II )若m > 1 , F(x) = 6rnx(x -).当x变化时，F(k) , f(x)的变化如下表:k匕叫砌01一） m国1L +皿） m|r

22、(x)+0-0+/极大值极小值/,I111LKT = 2in - 1 = - -r+1,因为 m > 1 ,所以 0 u.即（_）> °.m m m- m-mni且R.m) = m*(=2m13)+1 VO,所以f(x)有唯一"零点所以“ m % 1 ”是“ f(x)有唯一零点”的充分条件.又m=-2时，当x变化时，蹑k), f(x)的变化如下表：k11 -1 r 一0h +|r(x)-0+0-极小值/极大值又1 >0, f(0)>0, f(3)<0.2 2 4所以此时f(x)也有唯一零点.从而“ m A 1”是“ f(x)有唯一零点”的充分不

23、必要条件【点睛】本题考查了导数和函数的极值和零点的关系，考查了学生的运算能力和转化能力， 属于难题.19 .已知函数 f(x) =(x2-ax)lnx-V ax (：>。).(I)求曲线y = F(x)在点(LKl)i处的切线方程；(II)试判断函数Rx)的单调性并证明；(III )若函数Rx)在K = 1处取得极大值，记函数f(X)的极小值为驱)，试求目的最大值. 1【答案】(I) y =a-.(II)函数f(x)在。口和白 上单调递增，在(岛上单调递减.(III )函数g(a)的最大值为gQu)=上.【解析】【分析】函数f(x)的定义域为(0,十co),且- 0)lnx.(I)易知口

24、)=。，代入点斜式即可得到曲线 y =f(x)在点处的切线方程;(II)=(2x-a')lnx=0,得x=l, x = -,分类讨论可得函数f(x)的单调性，Z(III )由(II )可知，要使X= 1是函数f(x)的极大值点，需满足a>2 .2 胃此时，函数f(x)的极小值为g(a)=f(3= 一上111r十:2.,利用导数可求g(a)的最大值.24 2 8【详解】函数Rx)的定义域为色十，I C，一，一,，1".且x、 1(I)易知 RD=,f(i)=o所以曲线。)=。在点(LR1)处的切线方程为y-(a- = 0(x- 1). 一即 (II)令式 x) = (2x

25、 - a)lnx = 0,得 x=l, x =-当 二时，|<1 .当工变化时，F(k) , f(x)变化情况如下表：ka£且 卧)1|r(x)+0-0+|f(x)/极大值极小值/所以函数 的在(0$和门，十间上单调递增，在(11)上单调递减当a = 1时，F(x) = 2(x - l)lnx30恒成立.所以函数f(x)在(0,十刈上单调递增.当:a时，-> 1 .2当X变化时，P(X), f(K)变化情况如下表:kIM1aa- £a|f(x)+0-0+收)/极大值极小值/所以函数f(x)在iOJ)和1A上与上单调递增，在上单调递减.(III )由(II )可知

26、，要使x = 1是函数f(x)的极大值点，需满足3>1 .23此时，函数f(x)的极小值为 虱口=屋)=- -In- I勺.24 2 8,1 . a 一所以2.1人，、1 a ，-令g (a)=-门§ 一 D =。得a = 2匕.当变化时，式日)，期G变化情况如下表:此为)12d区+3+0-/极大值所以函数鼠日)的最大值为g(2e)=1-【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力.20.设%n为正整数，一个正整数数列 七 %,，满足m =电2 m2、兰I,对i =定义集合可=j £ 12一加|丐三.1,数列瓦，b2,，中的瓦(i = L2r,m)是集合用中元素的个数.(I)若数列札,，为533,2,1,1,写出数列>，与，；(II)若仃=严,m>3, b1 , b2,，%为公比为'的等比数列，求 力十加2(III)对j = l,2,ji,定义集合J = 1 &#