20150102解答12高等代数1期末试卷

1、2012学年第一学期高等代数I (A卷)一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设A,B为n阶方阵，下列运算正确的是(D)1212 12(A) (AB) =A B(B)-A = - A(C) A2 B2 =(A BX A+B)(D) 若 A 可逆，则(12A，A分析：(AB:=AB AB H| AB, A12B12 = AA|ABA|B ,矩阵乘法不满足交换律，故两者不一定相等；同理， A-B A B =A2 AB-BA-B2;A2-B2-A = (-1)n A# A;2、设A是5父6矩阵，其秩为5,则齐次线性方程组AX=0 ( C )(A)基础解系恰有5个解向量(B) 基础解系

2、恰有6个解向量(C)基础解系恰有1个解向量(D) 只有零解分析：基础解系所含向量个数：n(未知数个数)-r (A的秩)0=6-5=13、若矩阵An：5m的秩为r ,则下列结论正确的是(D )(A) A的任何级数不超过r的子式都不等于零(B) A的任何级数不超过r的子式都等于零(C) A的任何级数大于r的子式都不等于零(D) A的任何级数大于r的子式都等于零分析：细读课本134页定理6.4、设巴尸2,川产是n维列向量，则巴产2,1114r线性无关的充要条件是 (D )(A)向量组巴尸2|尸中任意两个向量线性无关(B)存在一组不全为0的数6,«,川，0 ,使得。二1 +c2a2+11卜9

3、r = 0(C)向量组巴尸2,111尸中存在一个向量不能由其余向量线性表示(D)向量组、产2,III产r中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5、设A,B都是n阶正定矩阵，则下列结论正确的是(C(A) A-B是正定矩阵(B)AB是正定矩阵(C) AB是可逆矩阵(D) AB是实对称矩阵分析：A, B 正定二|Aa0, B a0= AB| =|A B=0n AB可逆二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设 f(X) 和 g(x)是两个多项式，若(f (x ) g(x ) = 1 ,则(f (x )g x fx()=_1 ;证明 由于(f(x), g(x)=1,所以存在多项式u(x

4、), v(x)使得u(x) f (x) v(x)g(x) =1于是 u( x) f ( x) v( x) g( x)-v (x ) f (x ) v (x)f xu (x )- v (x ) f (x ) v (x ) f + x ) g=x故(f (x ) , f x ) g (x ).)2、六阶行列式中，a56a12a34a23a41a65这一项该带上 号；分析：该项符号为(-1)21,3,2 ' 4,6)+i6,2,4，3 '=(-1)14 = 13、设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且有A =2,则3 A1A =-' ；*分析:A _ A a=a=T4 1(3

5、A) 4 -A*aa*3 2*A 1 A*A*6 2-3A*4274、设巴=(1A2,)口2 T00,丸14(k )的一个极大线性无关组是a1严3,1 20 0 =0= 84 k1分析：依题意巴产2尸3线性相关，从而115、若二次型 f (x1，x2,x3 ) = 2x12+x；+x；+2 x1x2+tx2x3是正定的，则t满足条件：r/2<t<T2。三、判断题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)(请在你认为对的小题对应的括号内打V,否则打女”)1. A,B均为n阶复对称矩阵，则A,B合同的充要条件是 秩9)=秩代)；( V )2、含有n个未知数的非齐次线性方程组有解的充分必要

6、条件是它的系数矩阵的秩等于n;(父)分析：Ax=b有解:= r(A)=r(A)-3、A,B均为矩阵，若AB =0 ,则A =0或者B =0;(父 )分析：矩阵乘法不满足交换律，消去律，即AB=BA不一定成立； AB=0不一定得到 A=0或B=0; AB=AC不一定有B=C4、如果向量组小42,1”,%线性相关，则每个a i都可以表示为其余向量的线 性组合;(X )分析：向量组 %尸2,用尸线性相关，则至少有一个都可以表示为其余向量的线 性组合；5、若多项式f(x)和g(x)的最大公因式唯一，则f(x) = g(x) = 0。(V )四、简答题(本大题共4小题，每小题8分，共32分),1 0 0

7、、1、设A*= 0 2 1 ，又A c0,求矩阵A以及它的逆矩阵A。<0 11；（2分）解：因为AA* =|AE ,所以有A=|A(A*)而 A*| = A3;且 A <0,二 |A =1,（4 分）1 00、又（A*广= 01-1,（6 分）9 T 2C100 "1所以 A=-（A） =0-11,<01-2>1注意：（A*）的求法（1）利用0为分块对角矩阵(2)（A E昨初等行变换(3)* *(A)A*,此法繁琐，不推荐设A为n阶矩阵，涉及1*的题目充分利用以下公式：A,MLpA, An-12、求n阶行列式HIIH12-n2-n1的值。12-n解：行列式特点

8、：每一2-n1IIIIIIIIIHI12-n行的和相等为2-n11”列的和相等为IH“ 1”12-nri(i 2,3,111 ,n)IIIIII2-n1IHIH，i =2,3川，nn(n 4.)=-1 21-nn -1IHIH(4分)1 -n0IHIH(8分)3、讨论人取何值时，线性方程组(1 ')为 X2 % =0X1 (1)X2 X3 二，为 X2 (1)X3 = -（1）有唯一解；（2）无解;（3）有无穷多个解，并求出此方程组的通解。解：方程组的系数行列式为(3 )(1分)(1) 当九。3且九#0时，R(A)= R(A)=3 = n，方程组有唯一解；(2分)-2110、11-2

9、-9、1-21-35 71-21-32工1327J 1-2 -9,2110 ,阶梯型A 二(2)九=-3 时,112-9、11-2-90 4 363能 >0-3 360 3-3 -18 ,<Z、0 00-12R(A) =3 #R(A) =2 ,此时,方程组无解;(4分)(3)九=0时,R(A) =R(A)0；(00；< n = 3 ,此时方程组有 无穷多解，(6分)由最简型的一般解为X =X2 -X3X X2 =X2( X2,X3为自由未知量)，所以所求通解为(8分)4、设有二次型 f X1,X2,X3 = X2 2X2 X2 2X1X2 2X1X3 4x2x3(1)写出二次

10、型f的矩阵A ;(2)解:(1)二次型的矩阵为A =(2分)把二次型f(X1,X2,X3)经过非退化线性替换化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。分6z(11J o O-1O 4 1 0 1010 1 o O 1 o O£ 3J i - -17 0 1 4 = 0 1 0 1010 100100二, J 0 1001 0 11 4 101 o O 1 o O9 &0 Q11OOO1 1 1 1 O 1 O1 o O 1 o O今4凡12 10 0 1 1 2 2 0 1 0 1 1 1 1 o O-A E1 -10、令C = 0 1 -1 ,则非退化线性变换 X = CY（

11、7分）©01222把二次型化为标傕形 f（x1,x2,% ）= y1+y2 y3。（8分）说明：a作行变换而e不变，接着“a和E”同时作和行变换相同的列变换, 当A化为对角元为“1, -1”的对角阵时，E化为“C”五、证明题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）fA 0、1、证明：如果A,B均是正定矩阵，则也是正定矩阵0 B）证：因为A和B都是正定矩阵，所以A和B都是实对称矩阵，又(2分)（3分）（4分）（6分）（7分）:A0 ；i,AT0 *:A0_=T = !_(0B jl10BT J已B因此“0 证实对称矩阵。0 BC1C2使得由A和B都是正定矩阵知 A和B者B和E合同，即存

12、在可逆阵CTAC1 =E,CTBC2 =E ； C0 *.构造分块阵C =iC1，则C可逆，且00 C2)© 。泠 0 yc1 0=件20 1仅 0(0 C2 J V B 人0 C2 J I 0 cT BC2)(0 E I即'A 0后单位阵合同，结合知'A 0建正定矩阵。I。B；I。8)2、设A和B是两个同型矩阵，证明：秩（A-B）W秩（A）+秩（B）证明方法1：设矩阵A的列向量组为A, A2,，An,其极大无关组为A1,Ai2,，Ar ,（1分）（2分）（3分）矩阵B的列向量组为B, B2,，Bn ,其极大无关组为Bii, Bi2 ,., Bis则 A =kiA1

13、+k2Ai2 +k.Air , i =1,2，nBi =1e1 +盟2 +.+*5, i =1,2,，n（4 分）故 A -Bi =kiA1 +k2A2 +krAr liBi1 小2IsBis, i =1,2,，n即AB的列向量组可由Ai1, A2,Ar,Bi1,1,Bi2 ,Bis线性表示（6分）则秩（A B） Mrank（Ai1,Ai2,人1方22,Bis）M十5=秩（勺+秩（B）（7分）注意：A组可由B组表示=rank （A） < rank （B ）,证明方法二：由课本 166页结论，秩（A B尸秩（A+ （-B）三秩（A）+秩（七）=秩）+秩（B）负号不会改变行列式是否为零的性质

14、，因此不会改变矩阵的秩，故秩（七）二秩（8）3、用 f 代表 f（x） , g代表 g（x）,设（f i g） = 1,（i ,j =1,2）,证明：（皿1g2）= f/ g1,g2证明：因为（f1,f2）f（f1,f2）f（gg） g”（gg） g?，所以（f，£2）（99） fg,（f1，f2）（g1,g2） f2g2,这表明（f, f2）（g1, §2）是fM与f2g2的一个公因式；又（f1, fz）=U1 f1 +V1 f2（g1,92）=391 "292而（fi9）=1,（i,j =1,2）,由课本习题一题13结论可知,（刀）一，即1 =uf1 f2+vgg式左右两边相乘知是（f，f2）（g1，g2）是f1gl与f2g2的组合，故由课本习题一题8结论可知（f1，f2）（g1，g2）是fM与f2g2的最大公因式。因此，(flgl, f2g2)=(fl,f2 J(gl,g2 )。4、向量组叫 "2,111，%线性相关的充要条件是至少有一个向量a i (1 < i E r)可以被它前面的、,a 2,1 H，%线性表示。证：“必要性”因为向量组0Ci,0t2，口线性相关，所以存在不全为零的数 ki,k2,，kr,使得kiC(i +卜2口2 +krr =0( 1 分