高考数学(文数)二轮专题突破训练10《三角变换与解三角形》 (教师版)

1、专题能力训练10三角变换与解三角形一、能力突破训练1.若sin =,则cos 2=()A.B.C.-D.-2.已知cos(-2)sin-4=-22,则sin +cos 等于()A.-72B.72C.D.-3.ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=()A.34B.3C.4D.64.在ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.255.若2,3cos 2=sin4-,则sin 2的值为()A.118B.-118C.1718D.-17186.若tan-4=16,则tan =. 7.ABC

2、的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.8.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=3bsin A.(1)求B;(2)若cos A=,求sin C的值.9.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sin x·cos x(xR).(1)求f23的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.10.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=2;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设f(x)=sin xcos x-cos2x+4.

3、(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面积的最大值.二、思维提升训练12.若0<<2,-2<<0,cos4+=13,cos4-2=33,则cos+2等于()A.33B.-33C.539D.-6913.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则C=()A.12B.6C.4D.314.已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2=,则|a-b|=()A.B

4、.55C.255D.115.已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=. 16.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=513,a=1,则b=. 17.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为. 18.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应

5、的x的值.专题能力训练10三角变换与解三角形一、能力突破训练1.B解析 cos 2=1-2sin2=1-2×132=79.2.D解析 cos(-2)sin-4=-cos2sin-4=sin2-2sin-4=2cos-4=2cos +2sin =-22,sin +cos =-12,故选D.3.C解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,又因为b=c,所以a2=b2+b2-2b×bcos A=2b2(1-cos A).由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,因为A(0,),所以A=4.4.A解析 cos C=2cos2C2-1=-,AB2

6、=BC2+AC2-2BC·ACcos C=1+25+2×1×5×=32.AB=42.5.D解析 3cos 2=sin4-,3cos2-3sin2=22(sin -cos ),又2,sin -cos 0,3(sin +cos )=-22.平方求得sin 2=-1718.6.解析 方法一:tan =tan-4+4=tan-4+tan41-tan-4·tan4=16+11-16×1=75.方法二:因为tan-4=tan-tan41+tan·tan4=tan-11+tan=16,所以tan =75,答案为75.7.3解析 由题意和正

7、弦定理,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,即cos B=12.又因为B(0,),所以B=3.8.解 (1)在ABC中,由asinA=bsinB,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=3bsin A,得2asin Bcos B=3b·sin A=3asin B,所以cos B=32,得B=6.(2)由cos A=13,可得sin A=223,则sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinA+6=32sin A+12cos A=26+16.9.解 (1)由sin23=32,cos23=-,f23

8、=322-122-23×32×-12,得f23=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin2x+6.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得2+2k2x+632+2k,kZ,解得6+kx23+k,kZ,所以,f(x)的单调递增区间是6+k,23+k(kZ).10.(1)证明 由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sin B=cos A,即sin B=sin2+A.又B为钝角,因此2+A2,故B=2+A,即B-A=2.(2)解 由(1

9、)知,C=-(A+B)=-2A+2=2-2A>0,所以A0,4,于是sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98.因为0<A<4,所以0<sin A<22,因此22<-2sinA-142+9898.由此可知sin A+sin C的取值范围是22,98.11.解 (1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin 2x-.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+k

10、x34+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是-4+k,4+k(kZ);单调递减区间是4+k,34+k(kZ).(2)由fA2=sin A-12=0,得sin A=12,由题意知A为锐角,所以cos A=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsin A2+34.所以ABC面积的最大值为2+34.二、思维提升训练12.C解析 cos4+=13,0<<2,sin4+=223.又cos4-2=33,-2<<0,sin4-2=63,cos+2=cos4+-4-2=cos4+cos4-

11、2+sin4+sin4-2=13×33+223×63=539.13.B解析 由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A(0,),所以A=34.由正弦定理asinA=csinC,得2sin34=2sinC,即sin C=12,所以C=6,故选B.14.B解析 因为cos 2=2cos2-1=,所以cos2=

12、,sin2=.所以tan2=,tan =±55.由于a,b的正负性相同,不妨设tan >0,即tan =55,由三角函数定义得a=55,b=255,故|a-b|=55.15.152104解析 如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AEBC,BFCD.在RtABE中,cosABE=BEAB=14,cosDBC=-14,sinDBC=1-116=154.SBCD=12×BD×BC×sinDBC=152.cosDBC=1-2sin2DBF=-14,且DBF为锐角,sinDBF=104.在RtBDF中,cosBDF=sinDBF=104.综上可得,BCD

13、的面积是152,cosBDC=104.16.2113解析 因为cos A=,cos C=513,且A,C为ABC的内角,所以sin A=35,sin C=1213,sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=6365.又因为asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=2113.17.233解析 由正弦定理及条件,得bc+cb=4absin C,所以csinC=2a,设ABC的外接圆半径为R,则csinC=2R,所以a=R.因为b2+c2-a2=8>0,所以cos A>0,0<A<2,因为asinA=2R,所以sin A=12,A=30°,所以cos A=b2+c2-a22bc=32,所以bc=833,所以SABC=12bcsin A=233.18.解 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab,所以-3cos x=3sin x.若c