相似三角形辅助线(教师版).

1、相似三角形（辅助线的做法）在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：1 作平行线例 1：如图， D 是 ABC的 BC边上的点， BD：DC=2： 1， E 是 AD的中点，求： BE： EF的值 .解法一：过点 D 作 CA的平行线交 BF于点 P，则PEDE1，BPBDFEAEPF2 ,DC PE=EF BP=2PF=4EF所以 BE=5EF BE：EF=5：1.解法二：过点 D 作 BF 的平行线交 AC于点 Q， 则 DQDA2，BFBCBEBFEFEFE

2、ADQDC3,DQEF6EFEF5EF ，3BE： EF=5：1.解法三：过点 E 作 BC的平行线交 AC于点 S，解法四：过点 E 作 AC的平行线交 BC于点 T， 则 DT CT1 DC，BEBT ； BD=2DC BT5DC， BE：EF=5：1.2EFTC2练习：如图， D 是 ABC的 BC边上的点， BD：DC=2：1，E 是 AD的中点 ,连结 BE并延长交 AC于 F,求 AF：CF的值 .（答案 2：3）解法一：过点 D 作 CA的平行线交 BF于点 P，解法二：过点 D 作 BF 的平行线交 AC于点 Q，解法三：过点 E 作 BC的平行线交 AC于点 S，解法四：过点

3、 E 作 AC的平行线交 BC于点 T，例 2：如图，在 ABC的 AB边和 AC边上各取一点 D和 E，且使 ADAE，DE延长线与 BC延长线相交于 F，求证： BF BD（证明：过点 C 作 CG/FD 交 AB于 G）CFCE（该题关键在于 ADAE 这个条件怎样使用 . 由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例 . ）例 3：如图， ABC中， AB<AC，在 AB、AC上分别截取 BD=CE，DE，BC的延长线相交于点 F，证明： AB· DF=AC·EF.分析： 证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而

4、要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。 .方法一：过 E 作 EM/AB，交 BC于点 M，则 EMC ABC（两角对应相等， 两三角形相似） .方法二：过 D 作 DN/EC 交 BC于 N.例 4：在 ABC中， D为 AC上的一点， E 为 CB延长线上的一点，BE=AD，DE交 AB于 F。求证： EF×BC=AC×DF证明：过 D 作 DGBC交 AB于 G，则 DFG和 EFB相似， DG DF BEAD, DG DFBE EFAD EFDGBCDGAD由 DGBC可得 ADG和 ACB相似，即EF× BCAC

5、15; DF.BCACADAC例 5：已知点 D是 BC的中点，过 D点的直线交 AC于 E, 交 BA的延长线于 F, 求证：AFAEBFEC分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论.（或利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线分别构成两个三角形 . ）段例 6：已知：在等腰三角形 ABC 中， AB=AC，BD 是高，求证：BC2=2AC·CD分析： 本题的重点在于如何解决“2”倍的问题；让它归属一条段，找到这一线段2 倍是哪一线段 .线例 7: 已知：从直角三角形 ABC的 直角顶点 A 向斜边 BC引垂线，垂足为 D，边 AC的中点为 E, 直线 ED与边

6、AB 的延长线交于 F，求证： AB:AC=DF:AF分析：利用前两题的思想方法，借助中点构造中位线，利用平行与 2 倍关系的 结论，证明所得结论 . 找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似 .例 8：如图， ABC中，AD是 BC边上中线， E 是 AC上一点，连接 ED且交 AB的延长线于 F 点. 求证： AE：EC=AF：BF.分析： 注意观察图形的 特殊性，有些像全等中，旋转的基本图形，因此可以没有相互关系的 成比例的四条线段转化为成比例的四条线段（通过全等找相等的线段）关键是要把成比例线段放在两个三角形中.例 9：如图，平行四边形 ABCD中， E 为 AB边中点，点 F 在AD

7、边上，且 AF：FD=1：2，EF 交 AC于 G，求 AG：GC的值（构造线段相等转化比例式）例 10：在 ?ABC中， AB=AC,AD是中线， P 是 AD上一点，过 C作 CFAB, 延长 BP交 AC于 E，交 CF于 F, 求证： BP2=PE·PF分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，也可以通过线段相等， 把共线的线段转化为两个三角形中的线段， 通过相似证明. 另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系， 有利于证明 .例 11：如图，梯形 ABCD中， ADBC， AC、BD交于 O点， BA、CD的延长线交于 E 点，连结 EO并延长分别交 A

8、D、BC于 N、M求证： BM=CMANAOADEAANMCOCBCEBBM（证明线段相等的又一方法）2 作垂线例 12：如图从 ABCD 顶点 C 向 AB和 AD的延长线引垂线 CE和 CF，垂足分别为 E、F，求证：ABAEADAFAC2证明：过 B 作 BMAC于 M，过 D 作 DN AC于 N AM：AE=AB： ACABAEACAM（ 1）（ 1）+（2） 得AB AEADAFAC AMACANAC ( AMAN )ADNBCM例 13：?ABC中， AC=BC，P 是 AB上一点， Q是 PC上一点（不是中点）， MN过 Q且 MNCP，交 AC、BC于 M、N，求证：PA :

9、 PB CM :CN证明：过 P 作 PEAC于 E， PFCB于 F，则 CEPF为矩形 PF /EC A B=45° RtAEP=Rt PFBAP :PBPE : PF EC=PF PA PE PE （1）在 ECP和 CNM中 CP MN于 Q QCN+QNC=90°又 QCN+QCM=90° MCQ= CNQRt PECRtMCN EPEC即 EPCM（ 2）由（1）（ 2） 得 PACMCMCNECCNPBCN3 作延长线例 14. 如图，在梯形 ABCD中，AD BC，若 BCD的平分线 CHAB于点 H，BH=3AH，且四边形 AHCD的面积为 21

10、，求 HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形 AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长 BA、CD交于点 P CHAB，CD平分 BCD CB=CP，且 BH=PH BH=3AHPA： AB=1：2PA：PB=1：3 ADBC PAD PBC ： ：SPADS PBC1 9 S PCH1 S PBC S PADS四边形 AHCD2：7 S四边形 AHCD21254 S1 S27 PBCHBCPBCS PAD6 S2例 15. 如图， RtABC中， CD为斜边 AB上的高， E 为 CD的中点， AE的延长线交 BC于 F，FGAB于 G，求证： FG

11、=CF· BF分析：欲证式即 FGCF由“三点定形”，BFG与CFG会相似吗？显然不可能。BFFG（因为 BFG为 Rt），但由 E 为 CD的中点，可设法构造一个与BFG相似的三角形来求解。不妨延长 GF与 AC的延长线交于 H，则 AFFGFHFGFH又 ED=EC FG=FH又易证 RtAEEDECEDECCFHRt GFBCFFH FG· FH=CF·BFFG=FH FG2=CF·BFFGBF4 作中线例 16：如图，中，ABAC，AEBC于 E，D 在 AC边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC.解：取 BC的中点 M，连 AM ABAC AM=CM 1= C又 BD=DC DBC