2022届高三下学期开学摸底考试数学试卷B（新高考专用）及答案

1、2022届高三下学期开学摸底考试数学试卷B（新高考专用）及答案 绝密考试结束前 2022届高三下学期开学摸底考试卷B新高考专用 数学 (满分150分) 一、选择题本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.设集合，Z为整数集，则集合中元素的个数是 A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】A 【解析】解：集合，Z为整数集， 集合， 集合中元素的个数是3个 应选： 2.复数z满足：为虚数单位，为复数z的共轭复数，则以下说法正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由，得， ， ， 应选： 3.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著

2、的数书九章年该书第二章为“天时类，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨、“圆罂测雨、“峻积验雪和“竹器验雪其中“天池测雨法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量盆中水的体积与盆口面积之比已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸当盆中积水深九寸注：1尺寸时，平地降雨量是 A. 9寸B. 7寸C. 8寸D. 3寸 【答案】D 【解析】解：如图所示，由题意知天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸；由积水深9寸， 所以水面半径为寸， 则盆中水的体积为立方寸 所以平地降雨量等于寸 应选： 4.设函数?的最小正周期为，则以下说法正确的是 A.

3、 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 将函数的图象向右平移个单位，得到的新函数是偶函数 【答案】D 【解析】 解：函数?的最小正周期为， ，解得，则， 关于当时，函数的图象关于点对称，故A不正确； 关于当时，函数的图象关于直线对称，故 B不正确； 关于的单调递减区间满足：， 解得，时不符合，故C不正确； 关于将函数的图象向右平移个单位，得到新函数为， 是偶函数，故D正确. 应选 5.已知点P是椭圆上一点，点、是椭圆C的左、右焦点，假设的内切圆半径的最大值为，则椭圆C的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：由题意，的内切圆半径最

4、大，则的面积最大， 因为，故点P在短轴端点时，P到的距离最大，即高最大，即的面积最大， 此时， 又的内切圆半径的最大值为， 由椭圆定义可知， 即， 所以， 所以，解之得 应选? 6.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4 km的C，D两点，测得，在同一平面内，则两目标A，B间的距离为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：由已知，中，可得， 由正弦定理，得， 所以； 中，可得， 由正弦定理，得， 所以； 中，由余弦定理，得 ， 解得：， 则两目标A，B间的距离为 应选：? 7.老张天天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A

5、，B两条线路可以选择乘坐线路A所必须时间单位：分钟服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所必须时间单位：分钟服从正态分布，下车后步行到家要12分钟以下说法从统计角度认为合理的是 参照数据：，则， A. 假设乘坐线路B，前一定能到家 B. 乘坐线路A和乘坐线路B在前到家的可能性一样 C. 乘坐线路B比乘坐线路A在前到家的可能性更大 D. 假设乘坐线路A，则在前到家的可能性不超过 【答案】C 【解析】 解：由已知，设乘坐线路A所必须时间为单位：分钟，则满足条件：，到家所必须时间为分钟， 乘坐线路B所必须时间为单位：分钟，则满足条件：，到家所必须时间为分钟. 关于A，假设乘坐线路B，则到家

6、所必须时间大于17分钟，“前一定能到家是随机事件，可能发生，也可能不发生，所以A错误； 关于B，由，知，由，知， 因为， ， 可见，所以乘坐线路A在前到家的可能性小于乘坐线路B在前到家的可能性，所以B错误； 关于C，由，知，由，知， 因为， 可见， 所以乘坐线路B比乘坐线路A在前到家的可能性更大，所以C正确； 关于D，由，知：，因为， 所以， 所以假设乘坐线路A，则在前到家的可能性大于，所以D错误. 应选 8.假设关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：令，易得在R上恒成立， 所以在R上单调递增， 不等式， 即在上恒成立， 即在上恒成立

7、，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以所以实数a的取值范围是 二、多项选择题本大题共4小题，每题5分，共20分，在每题所给出的四个选项中，每题有两项或两项以上的正确答案，选对得5分，漏选得2分，不选或错选得0分 9.某中学在学校艺术节举行“三独比赛独唱、独奏、独舞，由于疫情防控原因，比赛现场只有9名教师评委给每位参赛选手评分，全校4000名同学通过在线直播观看并网络评分，比赛评分采用10分制某选手比赛后，现场9名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分如下表对同学网络评分按分成三组，其频率分布直方图如图所示 教师

8、评委 A B C D E F G 有效评分 则以下说法正确的是 A. 现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同 B. 估计全校有1200名同学的网络评分在区间内 C. 在去掉最高分和最低分之前，9名教师评委原始评分的极差一定大于 D. 从同学观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X表示评分不小于9分的人数，则 【答案】ABD 【解析】 解：去掉9个原始评分中的一个最高分和一个最低分，不会改变该组数据的中位数， A正确； 因为同学网络评分在区间内的频率为，同学总人数为4000，则网络评分在区间内的同学估计有人， B正确； 假设去掉的一个最高分为，去掉的一个最低分为，则9名教师原始评分的

9、极差等于， C错误； 同学网络评分在区间内的频率为，则，所以， D正确； 选 10.如图，点A是单位圆O与x轴正半轴的交点，点P是圆O上第一象限内的动点，将点P绕原点O逆时针旋转至点Q，则的值可能为 A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 解：由题可知，设， 将点P绕原点O逆时针旋转至点Q，故， ， 则， 由，可知，故， 结合选项可知的值可能为， 应选? 11.已知双曲线C：，假设圆与双曲线C的渐近线相切，则 A. 双曲线C的实轴长为6 B. 双曲线C的离心率 C. 点P为双曲线C上任意一点，假设点P到C的两条渐近线的距离分别为，则 D. 直线与C交于A，B两点，点D为弦AB的中点，

10、假设为坐标原点的斜率为，则 【答案】BCD 【解析】 解：由题意知C的渐近线方程为， 所以，解得：，所以半焦距，所以，故A错误，B正确； 设，由知：，所以， 所以故C正确； 设， 则，相减得：， 则， 则，则，故D正确. 应选? 12.在矩形ABCD中，沿对角线AC将矩形折成一个大小为的二面角，假设，则 A. 四面体ABCD外接球的表面积为 B. 点B与点D之间的距离为 C. 四面体ABCD的体积为 D. 异面直线AC与BD所成的角为 【答案】ACD 【解析】 解：如图，因为和都是以AC为斜边的直角三角形， 则AC为四面体ABCD外接球的直径 因为，则， 所以四面体ABCD外接球的表面积为，A

11、正确； 分别作，垂足为E，F，则， 由已知可得， 因为， 则 ，所以，B错误； 因为，则 同理， 又，BD、平面ABD，则平面ABD， 所以，C正确； 由已知可得， 则 ， 则，得， 所以异面直线AC与BD所成的角为，D正确， 应选? 三、填空题本大题共4小题，共20.0分 13.的展开式中的系数为_用数字填写答案 【答案】20 【解析】 解：二项式中， 当中取x时，这一项为，所以， 当中取y时，这一项为，所以， 所以展开式中的系数为 故答案为? 14.已知函数为奇函数，则函数在区间上的最大值为_. 【答案】 【解析】 解：函数的定义域为R， 且函数为奇函数， 故， 解得，经检验，满足题意，

12、所以， 又函数在区间上是增函数， 所以函数在区间上的最大值为， 故答案为? 15.点P为抛物线上的动点，过点P作圆M：的一条切线，切点为A，则的最小值为_. 【答案】 【解析】 解：解：由已知易得， 设点，则， 当时，取得最小值 故答案为? 16.复印纸幅面规格采纳A系列，其幅面规格为：所有规格的纸张的幅宽以x表示和长度以y表示的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；如此对开至规格，现有纸各一张，假设纸的幅宽为，则纸的面积为_，这9张纸的面积之和等于_ 【答案】 【解析】 解：依据题意，的长、宽分别为是；的长、宽分别为； 的长、宽分别为

13、；的长、宽分别为；的长、宽分别为 纸的面积为； ，纸张的面积构成以为首项，以为公比的等比数列， 则这9张纸的面积和为 故答案为：；? 四、解答题本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤 17. 已知在各项均为正数的等差数列中，且，构成等比数列的前三项. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列_，求数列的前项和.请在；这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答. 【解析】(1)依据题意，因为数列为各项均为正数的等差数列， 所以，即得， 设公差为，则有， 又因为，构成等比数列的前三项， 所以，即， 解之可得，或舍去， 所以，即得数列是以

14、3为首项，2为公差的等差数列， 故可得， 且由题可得， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故可得， (2)假设选，则， 则， 在上式两边同时乘以2可得， 可得， 即得； 假设选，则， 则； 假设选，则， 则 所以当为偶数时，； 由上可得当为奇数时， 综上可得， 18. 20xx年初，新型冠状病毒肆虐，全民开启防疫防控.冠状肺炎的感染主要是人与人之间进行传播，可以通过飞沫以及粪便进行传染，冠状肺炎感染人群年龄大多数是40岁以上的人群.该病毒进入人体后有埋伏期，埋伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.埋伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的埋伏期单位：天进行调查

15、，统计发现埋伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06.如果认为超过8天的埋伏期属于“长埋伏期，按照年龄统计样本，得到下面的列联表： 长埋伏期 非长埋伏期 40岁以上 30 110 40岁及40岁以下 20 40 1能否有95%的把握认为“长埋伏期与年龄有关； 2假设埋伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性； 3以题目中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有个属于“长埋伏期的概率是，当为何值时，取得最大值？ 附：. 0.1 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 假设随机变量服从正态

16、分布，则，. 【解析】 1， 由于，故没有95%的把握认为“长埋伏期与年龄有关； 2假设埋伏期， 由， 得知埋伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的； 3由于200个病例中有50个属于长埋伏期， 假设以样本频率估计概率，一个患者属于“长埋伏期的概率是， 于是. 则 . 当时，； 当时，； ，. 故当时，取得最大值. 19.已知在平面四边形ABCD中，DB为的角平分线 假设，求的面积; 假设，求CD长. 【解析】解：在三角形ABD中，由得， 由正弦定理可得，即 所以 因为DB为的角平分线，所以， 故 在三角形BCD中由余弦定理得 所以，解得或舍? 所以?； 设则 在三角形ABD中由余弦

17、定理可得 在三角形CDB中由余弦定理可得， 因为 所以，解得或舍 综上所述CD的长为 20.如图，在三棱锥中，O为BD的中点， 证实：平面平面 假设是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，三棱锥的体积为，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值. 【解析】解：因为，O为BD的中点， 所以，又且，且BD、平面BCD， 所以平面BCD，又平面ABD，所以平面平面BCD?，? ? ? ? ? ? ? ? 又，所以，由平面BCD 故所以 取OD的中点F，因为为正三角形，所以， 过O作与BC交于点M，则，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐

18、标系如图所示， 则， 因为平面BCD，故平面BCD的一个法向量为， 设平面BCE的法向量为，又， 所以由，得，令，则，故， 所以，所以平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值为 21.在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C的右焦点为，且离心率，过点且斜率为的直线l交椭圆C于点A，B两点，D为AB的中点，过作直线l的垂线，直线OD与直线m相交于点 求椭圆C的标准方程； 证实：点P在一条定直线上； 当最大时，求的面积 【解析】解：椭圆C的右焦点为， 又， 椭圆C的标准方程为 设，A，B中点为，直线l：， 联立方程组化简得， 可得，代入直线l的方程，得点D的坐标为， 所以直线OD的方程为 因为直线过椭圆的右焦点且与直线l垂直， 所以直线m的方程为 解方程组解得 所以点P在定直线上 设直线的倾斜角为，直线OP的倾斜角为 由可知， 所以 注：也可用向量夹角公式， 当且仅当，即时取最大值 此时直线l方程为，点P为 由可得， 所以， 弦长， P到直线l的距离为， 所以， 22.已知函数 求函数的单调区间； 假设函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数a的取值范围； 假设，且，证实： 【解析】解：函数定义域为， ， 当时，在上恒成立，即函数的单调递减区间为 当