浙江师范大学微分几何全套模拟卷

1、浙江师范大学微分几何考试模拟卷（A卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、判断题（正确打，错误打×）（每小题2分，共10分）1、等距变换一定是保角变换 ( )2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. ( )3、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线. ( )4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 ( )5、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量( ). 1. × 2. 3. × 4.× 5. 二、填空题（每小题3分，共15分）1. 半径为的圆的曲率为_.2. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_,3. 坐标曲线网成为曲

2、率线网的充要条件是_.4. 在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足_,5. 使法曲率达到最大值和最小值的方向是_方向.1. 2.F=0 3. 4. ， 5、 主方向三、计算题（第1小题各18分，第2、3、4小题各10分，共48分）1. 已知空间正则参数曲线(1) 求基本向量.(2) 求的曲率和挠率.解： 所以，曲率和挠率为 2、 求抛物面在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点.解：令，则， 由于，所以坐标曲线是曲率线，主曲率为, 高斯曲率为，平均曲率为. 3、 设一个曲面的第一基本形式为求它上面两条曲线的交角.解：有题意可知 两曲线的交点为(0,0)，故由得 4.确定螺旋面

3、上的曲率线。解 对于正螺面，曲率线的方程为， 化简得 ，即 。 积分得。所求曲率线为，。 五、 证明题(每小题各9分，共27分)1. 证明挠曲线(的曲线)的主法线曲面是不可展曲面.证：主法线曲面方程为，是直纹面 又因为 有已知，所以，有定义知此直纹面是不可展曲面。 2、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这曲线是直线或平面曲线.证：设所给的常向量为，则。所以，两边对求微商得，即。若，则曲线是直线。若，则，于是，由于，所以有。由可知，从而，所以，即曲线为平面直线3、设在两条曲线、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。 证 设曲

4、线：=与：点s与一一对应，且对应点的切线平行，则=, 两端对s求微商得, 即 ，(这里k0，若k=0，则无定义)，所以，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。浙江师范大学微分几何考试模拟卷（B卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、判断题（正确打，错误打×）（每小题2分，共10分）1、保角变换一定是等距变换 ()2、空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. () 3、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量()4、高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. ()5、测地曲率是内蕴量 ()1. ´2. ´，34. Ö 5. 

5、4;二、填空题（每空3分共30分）1、 已知，则 ， ， ， 2、已知曲面，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率 ，平均曲率 ，点处沿方向的法曲率 ，点处的两个主曲率分别为 . 三、计算题（每小题12分共36分）1、求曲面的渐近曲线.解 设则， 因渐近曲线的微分方程为即或渐近曲线为或 2、 已知曲面的第一基本形式为，求坐标曲线的测地曲率.解 ， u-线的测地曲率 v-线的测地曲率 3、求曲线 的曲率和挠率：解：因为，所以，四、证明题（每小题12分，共24分）1. 设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固定

6、角.证设，则由知，从而，即这表明曲线和在对应点的切线夹固定角. 2. 给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证是一条平面曲线.证设，其中是的自然参数，记，则，两边求导，得， 由为曲率线知，即， 因此 . 若，则为平面曲线； 若，则因为曲面上的一条曲率线， 故. 而，所以，即为常向量. 于是为平面曲线. 浙江师范大学微分几何考试模拟卷（C卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、判断题(正确的在题后括号内打“”，错的打“×”。每小题2分，共10分)1. 曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ()2. 曲面上曲率线网一

7、定存在. ()3.存在第一类基本量E=1，F=-3，G=3的曲面 ()4.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。 ()5.曲面上的直线一定是测地线。 ()1、×，2，3×，4×，5二、填空题(每小题3分，共15分)1.向量函数r=r(t)具有固定长的充要条件是_。2.曲线r=r(t)的挠率是_。3.曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件_。4.直纹曲面的高斯曲率值满足_。5.球面上的测地线是_。1、，2、，3、L=N=0，4、， 5、大圆。三、计算题（每小题10分共50分）1、 求曲线 = t,t,t 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。解 原点

8、对应t=0 , (0)= +t,- t,+t=0,1,1，2+ t,- t,2+t =2,0,2 ， 所以切线方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ；密切平面方程是=0 ，即x+y-z=0 ，主法线的方程是 即 ；从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式2、求曲面z = axy上坐标曲线x = x ,y =的交角.解 曲面的向量表示为=x,y,axy, 坐标曲线x = x的向量表示为= x,y,axy ，其切向量=0，1，ax；坐标曲线y =的向量表示为=x , ,ax，其切向量=1，0，a，设两曲线x = x与y =的夹角为，则有cos = 3、 求曲面的渐近线.解：曲面的向量表示为

9、,.渐近线的微分方程为,即一族为dy=0, 即,为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.4、确定抛物面z=a()在（0，0）点的主曲率.解 曲面方程即， ， 。在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以-4a+4=0 ，两主曲率分别为 = 2 a , = 2 a .5、求曲面上的曲率线的方程.解 M=,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是: .四、 证明题(第1小题5分，2、3小题各10分，共25分)1、证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.证： 由H=0有=0或=-0 .若=0,则沿任意方向,=0 ,即对于任意的du:dv , ,所以有L

10、=M=N=0,对应的点为平点.若=-0,则K=<0 ,即LN-M<0,对应的点为双曲点.2、证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。证：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为，则曲线在任意点的切线方程是，由条件切线都过坐标原点，所以，可见，所以具有固定方向，故是直线3、证明曲面=是可展曲面.证： 已知曲面方程可改写为=+v，令=，=，则=+ v，且0，这是直纹面的方程 ，它满足=0 ,所以所给曲面为可展曲面。浙江师范大学微分几何考试模拟卷（D卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、判断题(正确的在题后括号内打“”，错的打“×”。每小题2

11、分，共10分)1.在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( )2.空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( )3.在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。 ( )4.LN-M2不是内蕴量。 ( )5.高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。 ( )1、，2、×，3，4、×，5、二、填空题（每小题3分，共15分）1.曲线r=r(s)的曲率定义是_。2.空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_。3.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是_。4.坐标网是渐近线网的充要条件是 。5.平面上的测地线一定是_。1、，2、与一固定方向成定角，3、M=0，4、L=N=0

12、，5、直线。三、计算题(每小题12分，共48分)1、求双曲面z=axy上的曲率线.解： N=0 . 由=0得,积分得两族曲率线为.2、求第一基本形式为的曲面高斯曲率 。 证： 因为 ，所以=-=4c3、将圆柱螺线=a，a，b化为自然参数表示。解 = -a,a,b，s = ，所以，代入原方程得 =a, a, 4、求曲线x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-的挠率，并求出它所在的平面方程 。证 =3+4t, -+10t,-2t， =4，10，-， ，0，0曲线的挠率是，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任一点的密切平面。对于=0,有 =,，=3, -,0， =4，10，-， ，0，0。

13、所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是即2x+3y+19z 270四、 证明题(每小题各9分，共27分)1、证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.证 若存在曲面满足题设条件，则所给E,F,G,L,M,N 必须满足在正交坐标网下的GCM公式，但，所以不满足高斯公式，故不存在满足题设条件的曲面。2、证明曲面=cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v是可展曲面。证： 曲面的方程可改写为 =+ u，其中=cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v，=-sinv, cosv,1 ，易见0，所以曲面为直纹面，又因为=0，所以所给曲面为可展曲面

14、3、 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证 曲面上的给定点处两主曲率分别为 、，任给一方向及与其正交的方向+，则这两方向的法曲率分别为， ，即为常数。浙江师范大学微分几何考试模拟卷（E卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、判断题(正确的在题后括号内打“”，错的打“×”。每小题2分，共10分)1.曲线=(s)为一般螺线的充要条件为(,)=0 ( )2.主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。 ( )3.不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。( )4.曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。 ( )5.每一个可展曲面或是柱

15、面,或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。 ( )1、，2、，3、×，4×，5、二、填空题(每小题3分，共15分)1、当曲线参数是自然参数时，它的一阶导向量的长度是_。2、螺旋线在点（1,0,0）处的单位切向量是_，法平面方程是_。3、设为曲面上曲线，点P在上，在P点的测地曲率为1，又在P点沿切方向的法曲率为2，则在P点的曲率为 。4、曲面的第一、二、三基本形式的关系是 。1、12、，3、4、三、计算题（每小题12分共48分）1、计算抛物面在原点的第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示为, , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 ,

16、N =2 , I=, II=.2、 求出抛物面在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.解 ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率3、确定抛物面z=a()在（0，0）点的主曲率.解 曲面方程， 。在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以-4a+4=0 ，两主曲率分别为 = 2 a , = 2 a .4、在xoz 平面上去圆周y = 0,并令其绕轴旋转的圆环面,参数方程为 =(b+acos)cos , (b+acos)sin , asin,求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。 解： E =, F= 0 , G=, L

17、 = a, M = 0, N = cos(b+acos), LN -=a cos(b+acos) , 由于b > a > 0 , b+acos > 0,所以LN - 的符号与cos的符号一致,当0<和 <<2时, LN ->0 ,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-<<，曲面上的点为双曲点, 即圆环面内侧的点为双曲点；当=或 时，LN -=0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。四、 证明题(每小题9分，共27分)1、如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。证 ：设一曲线为：，则另一曲线的表达式为： ，为

18、曲线在点s的主法向量，也应为在对应点的副法线的方向向量。与正交，即·，于是，为常数。，k（k）也与正交，即·-=0,而,所以有，曲线为平面曲线。同理曲线为平面曲线。2、证明曲线为一般螺线的充要条件为证：，其中k0.曲线为一般螺线的充要条件为 为常数,即=0,也就是 。3、若曲线的主法线是曲线的副法线，的曲率、挠率分别为，求证，其中是常数。证明：设曲线，曲线。在的主法线与在的副法线重合，则。于是有，。因为，于是，上式两边点乘，可得，从而是常数。设，则。上式两边对求微商，可得。上式两边点乘，可得，即 。浙江师范大学微分几何考试模拟卷（F卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，

19、否则作无效处理一、判断题(正确的在题后括号内打“”，错的打“×”。每小题2分，共10分)1. 椭圆的曲率和挠率特征为k=1,=0。 ( )2.若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线. ()3.球面曲线的主法线必过球心 ()4.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ()5. 曲面上的渐进网一定存在. ()二、填空题(每小题3分，共15分)1.向量函数平行于固定平面的充要条件是_.2._是空间曲线的切向量对于弧长的旋转速度.3.以杜邦(Dupin)指标线为分类标准,曲面上的点分为椭圆点,双曲点,_,平点.4.曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的_的最大值和最小值

20、.5.曲面的第三基本形式是它的_的第一基本形式.三、计算题（每小题10分，共50分）1、求三次曲线在点的切线和法平面。解 ，切线为，法平面为 。2、求球面=上任意点的切平面和法线方程。解： ，=任意点的切平面方程为即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ；法线方程为 。3、设曲面的第一基本形式为I = ，求它上面两条曲线u + v = 0 ,uv = 0的交角。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量，曲线u + v = 0与u v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为，。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u v =

21、 0的方向为u=v , 设两曲线的夹角为，则有cos= 。4、求正交网的坐标曲线的测地曲率。解： 因为坐标网是正交的，所以F=0，故，而对u-曲线来说，=0，故，对v-曲线来说，= ，所以。5、求双曲面z=axy上的曲率线.解： N=0 . 由得,积分得两族曲率线为四、证明题（第1小题5分，2、3小题各10分，共25分）1、求证：如果测地线同时为渐近线，则它是直线；证 因为所给曲线是测地线，所以； 又因为所给曲线是渐近线，所以，而 ，所以k=0，故所给曲线是直线。2证明正螺面=vcosu,vsinu,au+b(a0)不是可展曲面。证：原曲面的方程可改写为 =+ v，其中=0,0,au+b,=c

22、osu,sinu,0.易见0, 所以曲面为直纹面, 又因为=a0.故正螺面不是可展曲面。3、 如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。证： 设一曲线为：，则另一曲线的表达式为： ，为曲线在点s的主法向量，也应为在对应点的副法线的方向向量。与正交，即·，于是，为常数。，k（k）也与正交，即·-=0,而,所以有，曲线为平面曲线。同理曲线为平面曲线浙江师范大学微分几何考试模拟卷（G卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、判断题(正确的在题后括号内打“”，错的打“×”。每小题2分，共10分) 1.在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。 (

23、) 2.圆的曲率、挠率特征是：k=常数，=0。 () 3.在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 () 4.高斯曲率 与第二基本形式有关，不是内蕴量。 () 5.曲面上连接两点的最短线一定是测地线。 ()1,2×,3,4×,5×.二、填空题(每小题3分，共15分)1.曲面上曲线的弧长是_不变量。2.球极投影给出（除北极外）到平面的一个变换是_变换。3. 圆的曲率和挠率特征为_。4. 曲率恒等于0的曲线是_。5. 在曲面上的任意点，主方向的数目总为_。1等距，2保角，3 k=大于零的常数，=0，4直线，5。2三、计算题(每小题12分，共48分)1、求曲线在平面与y

24、= 9a之间的弧长。解：曲线的向量表示为，曲面与两平面与y = 9a的交点分别为x=a 与x=3a , ，所求弧长为。2、在曲线x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。解： = -cossint, coscost, sin , = -coscost,- cossint , 0 sinsint ,- sincost , cos 新曲线的方程为= coscost + sinsint ，cossint- sincost ，tsin + cos 对于新曲线=-cossint+ sincost ，coscost+ si

25、nsint，sin =sin(-t), cos(-t), sin , = -cos(-t), sin(-t),0 ,其密切平面的方程是3求正螺面=ucosv,usin,av上的测地线。解：易计算出E=1，F=0，G=，所以测地线的微分方程化为，对第一式积分得（常数）。于是，将此式代入第二式并积分，则得所求测地线为 。4、求曲面上的曲率线的方程.解 可算得M=,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是: .四、证明题(每小题9分，共27分)1. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么曲线是直线或平面曲线。证 ：根据已知，若是常向量，则k=0 ，这时曲线是直线。否则在两边微分得

26、83;=，即 k·=,所以·=，又因，所以，而为单位向量，所以可知为常向量，于是，即，此曲线为平面曲线。2、证明过原点平行于圆柱螺线=a，a，b的副法线的直线轨迹是锥面.证 = -a,a, , =-a,- a,0 ，×=为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是 ，消去参数t得。3、 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。证 设曲线与在对应点有公共的切线，且的表达式为： ，则：，其切向量为k应与平行，所以k，从而曲线为直线。同理曲线为直线，而且是与重合的直线。所以作为非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。浙江师范大学微分几何考试模拟卷（H卷）说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、判断题(判断下列各小题，正确的在题后括号内打“”，错的打“”。每小题2分，共10分)1、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( )2、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( )3、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 ( )