数列求和汇总例题与答案)

1、数列求和汇总例题与答案）数列求和汇总答案一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本置重要的方法.】、等差数列求和公式斗葺亠叫+咛例 仁 已知los. x =求x + x2 +x3 +- + xw +的前n项和.由等比数列求和公式得S” =x + x2+x3+疋（利用常用公式丿 Lh_L丿（1一*）二（一刃）1171-12练习：求一I2 + 22-32 +42-52 +62-.-992 +1002的和。解：-12 + 22-324-42-524-62992+1002=(22-12) +(42 -32) +(62-52) + . + (1002-992)=(2-1)(2+1

2、) + (4-3)(4+3)+(6 - 5)(6+5)+(100 -99)(100 +99) = 3 + 7 + 11 +199由等差数列的求和公式得二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bj的 前n项和，其中a、b.分别是等差数列和等比数列.例 2 求和：=l + 3x + 5x2+7x3 + + (2n 1)疋解：由題可知，的通项是等差数列2n-1的通项与等比数列*"的通项之积（设制错位）'殳 Xn = 1兀 + 5x3 + 7x4 + + (2h 一 )xn一得(l-x)S =l + 2x + 2x2 +2x3

3、 + 2x4 + + 20" (2一l)x"(错位相沁(2/Z- 1)#小 一(2 + )xn + (1 + x)(If2 46练习：求数列二,一w，2 22 23解：由題可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积TT2 462n7殳 S “ =-+ + + + 一n 2 22 232“1.2462n芦=去+戸+尹+科一得今+ # + * +寻+ #_磊(错位相阈 =2-丄-竺2"+ic 4 料 + 2s” =4-三、反序相加法求和这是推字等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是舟一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加.就可以得到n个(q+qj

4、例 3求 sin2 f +sin2 2° 4-sin2 3* + +sin2 88° +sin2 89° 的值解：设 S=sin21° +sin2 T +sin2 3° + sin2 88° +sin2 89°将式右边反序得5 = sin2 89° +sin2 88°+- + sin2 3s+sin2 2° +sin2l°又因为 sinx = cos(90" -x),sin2 x + cos2 x = 1+得(反序相加)2S = (sin21° + cos21

5、76;) + (sin2 2° + cos2 2°) + + (sin2 89° + cos2 89°) =89 S=44 5 2.* l2223292永和： sr + r + + sr + ?102 +1292 +2282 +3222 +9212 + 10前n项的和. T+ +102（设制错位）.(反序)四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列然后分别求和，再舟其合并即可.T卜X+ y丿例4.求和:_(% H 0, x H 1, y H 1)解:原式* +十+X” + /&quo

6、t;) + Jyx-xH+,1-x +/+，-/练习：求数列的前n项和:解:设S,r =(1 + 1) + (丄 + 4) + (丄 + 7) + + (丄 + 3一2) acrW将其每一项拆开再重新组合得Sn = (1 + - + r + + -) + (1 + 4 + 7 + + 3/2-2)(分纟圧)当a=1时，S” =« +出也=小)(分组求和)n 2 2当归时，S”十+也如3+凹也I-a练习:求数列耳,2 £3 £+帶)，的前*项和。 解:Sx =1+2+3-+(/!+)=(1 + 2+3+/!)+(+ + )2 2: 2? r=71（/1 +1） +

7、1 2 21五.裂项法求和这是分解与纽合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的毎项（通项）分解，然后 重新组合，使之能消去一些项，置终达到求和的目的.通项分解（裂坯丿如：例5求数列111 + V2'V2 + V3y/n + Jn + 1，的前n项和.解：设=一 =、后1_循(裂项)yjn +J/2 + 1則S” =+ j厂+ + L (裂项求和)1 + yj2 yj2 + y/3yjH + yj H + =(V - Vi") + (*/3 - >/2) + + (J” + 1 - yn )=y/n + -1练习：求V>i；6之和。解:卜1 1 1 _

8、 1 1 1 115 + 35 + 63=173 + 375 + 577 + 779一（1 一一）+ （一一一）+ （一一一）+ （一 一一）232 3 52 5 72 7 9 （一 _） + （ 丄 （丄一丄）233 55 77 9六-合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一是就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这 些项放在一是先求和，然后再求S°例 6、数列a）: af =l.a2 = 39a3 = 2, an2 = % 一 5 ,求 S2002.解：设 S2002= G + + 2002由 ax = 1, a2 = 3, a3 = 2, anJpl = % a

9、n 可得你2=1，%“2=3, «6,+3 = 2,化文胡二一匕 八5=一3，"“+6=一2“6如 1 +%+2 +%+3 +“6如4 +%+5 +%+6 = °(找特殊性质项)S2CO2= rtj + “2 + + “2002 (合并朮和)-(6 + a2 + “3 + 么6)+ (d? + “8 + 识12)+ ° +(“6如 1 +，" + “6如6 )d F ("993 + "1994h “1998)+ "】999 + 6/2(XX) + “2001 + “2(X)2_ "1999 + “2000

10、 + “2001 + “2002"6 却 + %+2 + %+3 + %+4=5练习:在各项均为正数的等比数列中，若&§&6 =9,求log3 al +log3iJ2 + - + log3 alQ的值. 解：3殳S“ = log3 ax +log3 a2 + + log3I0由等比数列的性质m + n = p + q=> aman = apaq (找特殊性质项)和对数的运算性质logn M + logn N = log& M N得Sn =(log3。 +108360)+ (10032 + log3 9) + + (log3 a5 + log3 tz6)(合并求和)=(log3 «)-I0) + (log3 a2ii)+ - + (log3 a5 )=logs 9 + log? 9 + + Iog3 9=10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律 来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例人求5, 5 5 , 555,-,的祈n项和。解:Van=59da-1) S亡(1 0- 1 )+；( 1 (fT)代(10H+； ( 1 (T 1)4 / 5=旳(10+ 1 (f+1(f +-F101) n=(iaH