专题2.3-以二次函数与直角三角形问题为背景的解答题(原卷版)

1、精品资料欢迎下载第三关以二次函数与直角三角形问题为背景的解答题【总体点评】 二次函数在全国中考数中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数竞赛中也有二次函数 大题，很多生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大中很多数知识都与函数知识或函数的思想 有关，生在初中阶段函数知识和函数思维方法得好否，直接关系到未来数的习。直角三角形的有关知识和 二次函数都是初中代数中的重点内容，这两块内容的综合是初中数最突出的综合内容，因此这类问题就成 为中考命题中比较受关注的热点问题.【解题思路】近几年的中考中，二次函数图形中存在性问题始终是热点和难点。考题内容涉及到分类讨论、数形结合、化 归等数思想，对生思维能

2、力、模型思想等数素养要求很高，所以生的失分现象比较普遍和突出。解这类问题有什么规律可循？所应用的知识点：1.抛物线与直线交点坐标；2.抛物线与直线的解析式；3.勾股定理；4.三角形的 相似的性质和判定；5.两直线垂直的条件；运用的数思想：1.函数与方程；2.数形Z合；3.分类讨论；4.等价转化； 解决二次函数中直角三角形存在性问题采用方法：1.找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直；以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点；2.以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则ki*k2=-1,以

3、已知线段为斜边时，利用 K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示 之后，利用勾股定理求解.【典型例题】【例1】如图，已知抛物线 y=ax2+bx + c (aw。的对称轴为直线 x=- 1,且经过A (1, 0) , C (0, 3)(1)若直线y = mx+n经过B, C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x=- 1上找一点M,使点M到点A的距离与到点 C的距离之和最小，求点 M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴 x= 1上的一个动点，求使 4BPC为直角三角形的点 P的坐标.【答案】(1) y=x22x+3, y=x+3； (2)M(1,2);

4、( 3)满足条件的点P共有四个分别为 P (1, -2) , B (1, 4) , R (1, 3'：17 ) ,P4 (1, 3-：17 ) 22【解析】两点， 的坐标 最小的 M的坐试题分析：(1)已知抛物线y= ax2+bx+c的对称轴为直线 x=1,且经过A (1, 0) , C (0, 3 可得方程组，解方程组可求得a、b、c的值，即可得抛物线的解析式；根据抛物线的对称性和点A(1,0)可求得B点的坐标(3, 0),用待定系数法可求得直线BC的解析式；(2)使MA+MC点M应为直线BC与对称轴x=- 1的交点，把x=-1代入直线BC的解析式求得y的值，即可得点 标；(3)分B

5、为直角顶点，C为直角顶点，P为直角顶点三种情况分别求点 P的坐标.37a 试题解析：(1)依题意，得a+b + c = 0,解之，得b=2, Ic = 3.c= 3.，抛物线解析式为 y = x2 2x + 3 .:对称轴为x=- 1,且抛物线经过 A (1, 0),B ( 3, 0).把 B (-3, 0)、C (0, 3)分别直线 y=mx+n,得工 3m n = 0,n =3.解之，得m =1, n =3.直线BC的解析式为y = x +3 .(2) MA=MB , MA+MC=MB+MC.使MA+MC最小的点M应为直线BC与对称轴x = - 1的交点.设直线BC与对称轴x= 1的交点为

6、M,把x= 1代入直线y =x +3,得y=2.M (1, 2)(3)设 P ( 1, t),结合 B ( 3, 0) , C (0, 3),得 BC2=18,PB2= ( 1 + 3) 2+t2=4+t2,PC2= ( 1) 2+ (t3) 2=t26t+ 10.若 B 为直角顶点，则 BC2+PB2=PC2,即 18 + 4+t2 = t2-6t+ 10.解之，得t= 2.若C为直角顶点，则 bc2+pc2=pb2,即18+t2 6t+10=4+t2.解之，得 t=4.若P为直角顶点，则 PB2+PC2=BC2,即4 + t2 + t2-6t+ 10=18.解之，得 ti= 3 + x 1

7、7 , t2= 3 -2 1722综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为P (1,-2) ,P2( 1, 4) ,P3(-1, 3"17 ),P4(21,3 - .172考点：二次函数综合题.【名师点睛】 本题是二次函数的综合题，考查的知识点有平面直角坐标系上点的特征、直角三角形的知识，题目综合性较强，有一定的难度；解题时要注意应用数形结合思想、分类讨论思想及方程思想，会 综合运用所的知识灵活的解题 .【例2】如图甲，ABXBD, CDXBD, APXPC,垂足分别为 B、P、D,且三个垂足在同一直线上，我们把 这样的图形叫 土垂图”.(1)证明：AB?CD = PBPD.(2)如

8、图乙，也是一个 土垂图”，上述结论成立吗？请说明理由.(3)已知抛物线与x轴交于点A (-1, 0) , B (3, 0),与y轴交于点(0, -3),顶点为P,如图丙所示, 若Q是抛物线上异于 A、B、P的点，使得/ QAP=90°,求Q点坐标.79【答案】（1） （2）见解析；（3）（，-）24【解析】试题分析：（1）根据同角的余角相等求出/ A= /CPD,然后求出 那BP和4PCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；（2）与（1）的证明思路相同；（3）利用待定系数法求出二次函数解析式， 根据抛物线解析式求出点 P的坐标，再过点P作PC，x轴于C, 设AQ与y轴

9、相交于D,然后求出PC、AC的长，再根据（2）的结论求出OD的长，从而得到点D的坐标， 利用待定系数法求出直线 AD的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点 Q的坐标.试题解析：（1）证明： ABXBD, CDXBD,.B=/ D=90°,.A+Z APB=90° , . API PC, ./ APB+Z CPD=90° , ./ A=ZCPD,ABPAPCD,AB PB 二 ,PD CDAB?CD = PBPD ;(2) AB?CD=PB?PD 仍然成立.理由如下：: ABXBD, CDXBD,.B=/CDP=90° ,. A+Z APB=90

10、76; , . API PC,APB+/CPD=90° ,A=/CPD, . ABPsFCD,AB PB =PD CDAB?CD = PBPD ;(3)设抛物线解析式为 y=a(x+x K x -x2 ) (aw。,.抛物线与x轴交于点A （-1, 0） , B （3, 0）,与y轴交于点（0, -3）,y =a(x+1 X x3 ),把(0,-3)带入得 y=x2-2x-3,y=x2-2x-3= （x-1） 2-4,，顶点P的坐标为（1, -4）,过点P作PCx轴于C,过点Q向x轴作垂线，垂足为 E.设QE=m ,由第（2）题结论得 AE=2m ,则Q点坐标为（2m -1, m）带

11、入y=x2-2x-3, 解得m=9或m=0 （舍去），把y= 9带入y=x2-2x-3,解得x=7或x=_3 （舍去）.点Q的坐标为（7 ,-）24【名师点睛】 本题是二次函数综合题型，主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，综合题，但难度不大，根据同角的余角相等求出两个角相等得到两三角形相似是解题的关键.【例3】如图，已知点 A的坐标为（-2, 0）,直线丫=-3+3与*轴，y轴分别交于点B和点C,连接AC,4顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A, B, C三点.（1）请直接写出B, C两点的坐标，抛物线的解析

12、式及顶点D的坐标;（2）设抛物线的对称轴 DE交线段BC于点E, P为第一象限内抛物线上一点，过点 P作x轴的垂线，交线段BC于点F若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；(3)设点M是线段BC上的一动点，过点 M作MN /AB,交AC于点N点.Q从点B出发，以每秒l个单 位长度的速度沿线段 BA向点A运动，运动时间为t (秒).当t (秒)为何值时，存在 ？QMN为等腰直角 三角形？【答案】(1)(1)B(4,O),C (0,3),抛物线的解析式为y =0x2+3X+3.顶点D的坐标为(1,27);848(2)当点P坐标为(3, 15)时，四边形 DEFP为平行四边形；(3)当t为8或1

13、4或Z时，存在AQMN8332为等腰直角三角形.试题分析：(1)由直线y=-3+3的解析式即可得 B, C两点的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解 43 c 3析式，根据抛物线的解析式即可得抛物线的解析式；(2)设点P坐标为(m,-x2+±x + 3)，则点f的坐84标为(m, -3m+3),根据四边形 DEFP为平行四边形，则 PF=DE,由此列方程求得 m的值，即可得点 P 4的坐标；(3)分别以点 M、N、Q为直角顶点讨论解决即可.试题解析：(1) B (4, O) , C (0, 3).3 23抛物线的解析式为 y = 3 x2 3x 3.8427顶点D的坐标为(1,-)

14、,、3 一 927 99(2)把 x=1 代入 y = 3x+3得，y =-. DE =279 = 9,448483 c 3因点P为第一象限内抛物线上一点，所以可设点 P坐标为(m,-3x2 +-x + 3),84点F的坐标为(m, -3m+3).若四边形 DEFP为平行四边形，则 PF=DE4即-3m2+3m+3-(-3m+3)=9 8448解之，得m1二3,m2=1 (不合题意，舍去).，当点P坐标为(3, 15)时，四边形 DEFP为平行四边形.83 一(3)设点M的坐标为(n, m+3) , MN交y轴于点G.4丁 MN / AB,二四MNC s?bac，MN CGAB COMN 3-

15、MN MN=2 .当/ QiMN=90 , MN=MQ 2=OG 时，=，解之,63344448，二一n +3 = 2,解之，n = , M ( ,2)二二 Qi (.0)，即 t1 = 4 = 12Q2 (- ,0) 3433333当ZQ2NM =90：MN =NQ2 =OG时，容易求出t21当/ MQ3N=90 , Q3M=Q3N 时，NM=Q3K=OG13 MN，解之，得MN=3 .MN 23OG = 23 333二 一一x+3= ,解之，得 n=2,即 M (2,-), N(-1.-).4 22213._ 1 一 - 17MN 的中点 K 的坐标为(一) Q3 ( ,0).即 t3 =

16、 4 =.2 22228147当t为8或14或7时，存在 4MN为等腰直角三角形.332【名师点睛】 本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式、平面图形的面积的计算、二次函数与一元二次方程、直角三角形的知识等多个知识点，难度比较大.解题时要注意应用数 形结合思想、分类讨论思想及方程思想，会综合运用所的知识灵活的解题【方法归却3 解决二次函数中直角三角形存在性 问题采用方法：1.找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直；以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点；2.以两定

17、点为直角顶点时，两直线互相垂直，则 k1*k2=-1 ,以已知线段为斜边时，利用 K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或 者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解.【针对练习】1 .如图，抛物线 y =ax2 +bx +c与x轴交于两点A (- 4, 0)和B (1, 0),与y轴交于点C (0, 2),动点D沿"BC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点 A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交至BC 的另一边于点 E,将9DE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)是否存在某一时刻t,使得4EFC为直角三角形？若存在，求出 t

18、的值；若不存在，请说明理由;22 .如图，抛物线 y=x +bx+c与x轴交于A, B两点，B点坐标为(3, 0).与y轴交于点C (0, 3).(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点 P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点.当ABCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点 D的坐标；若ABCD是锐角三角形，求点 D的纵坐标的取值范围.23 .如图，抛物线 y=x +bx+c经过B (- 1, 0) , D ( - 2, 5)两点，与x轴另一交点为 A,点H是线段AB上一动点，过点 H的直线PQx轴，分别交

19、直线 AD、抛物线于点 Q, P.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P,使/ APB=90° ,若存在，求出点 P的横坐标，若不存在，说明理由；(3)连接BQ, 一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到 Q,再沿线段QD以每秒J2个单位的速度运动到 D后停止，当点 Q的坐标是多少时，点 M在整个运动过程中用时 t最少？4 .如图1,抛物线y =ax2+bx+c经过平行四边形 ABCD的顶点A(0,3)、B(1,0)、D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为 E.经过点E的直线l将平行四边形 ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一 点P .点P为直线l上方

20、抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；(2)当t何值时，APFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使APAE为直角三角形 *存在，求出t的值；若不存在，说明理由./图1'' 备用图 '25 .抛物线 y=ax +bx + c(a#02x轴交于 a(4, 0), b(6, 0)两点，与y轴交于点 0(0, 3).(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点 B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单 位长度的速度向点 C运动，设点P的运动时间为t秒(0<t<3).过点E作x轴的平行线，与 BC

21、相交于点D (如图所示)，当t为何值时，APDE的面积最大，并求出这 个最大值；当t=2时，抛物线的对称轴上是否存在点F,使4EFP为直角三角形？若存在，请你求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.6 .如图所示，矩形 A' BC'底矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边 OC在y轴正半轴上)绕点B逆时针旋转得到的.点 。'在x轴的正半轴上，点 B的坐标为(1, 3).M(1)如果二次函数 y= ax2+bx+c (aw0)图象经过 O, O两点，且图象顶点 M的纵坐标为1,求这个二次函 数的解析式；(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右侧，是否存在点P,使得 HO

22、M为直角三角形？若存在，求出点 P的坐标和APOM的面积；若不存在，请说明理由；求边C'新在直线的解析式.7 .如图，直线y=x+2与抛物线y = ax2+bx + 6相交于A(-,勺)和B(4 , m),点P是线段AB上异于A、22B的动点，过点P作PCx轴，交抛物线于点 C.(1)求抛物线的表达式；(2)是否存在这样的点 P,使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由；当APAC为直角三角形时，求点 P的坐标.8 .如图，已知抛物线 y=x2-4x+3与x轴交于A, B两点，其顶点为 C.(1)对于任意实数 m,点M (m, - 2)是否在该抛物线上？请说

23、明理由；(2)求证： 9BC是等腰直角三角形；(3)若点D在x轴上，则在抛物线上是否存在点P,使得PD / BC,且PD=BC?若存在，求点 P的坐标;若不存在，请说明理由.0XC9 .已知二次函数 y=ax2+bx2的图象与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为(4, 0),且 当x= 2和x= 5时二次函数的函数值 y相等.图芾用图(1)求实数a, b的值；(2)如图，动点E, F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿 AB边向终点B运动，点F 以每秒J5个单位长度的速度沿射线 AC方向运动.当点 E停止运动时，点F随之停止运动.设运动时间为t秒.连接EF,将那EF

24、沿EF翻折，使点A落在点D处，得到4DEF.是否存在某一时刻t,使得ADCF为直角三角形？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由；设ADEF与祥BC重叠部分的面积为 S,求S关于t的函数关系式.210 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax +bx+c与x轴父于B ( 3, 0)、C (1, 0)两点，与y 轴交于点A (0, 2),抛物线的顶点为 D.连接AB,点E是第二象限内的抛物线上的一动点，过点 E作EP LBC于点P,交线段AB于点F.(1)求此抛物线的解析式；(2)过点E作EGLAB于点G, Q为线段AC的中点，当4EGF周长最大时，在 x轴上找一点 R,使得|RERQ|

25、值最大，请求出 R点的坐标及|RE RQ|的最大值；(3)在(2)的条件下，将 APED绕E点旋转得EDP',当 "PP是以AP为直角边的直角三角形时，求点P的坐标.1 211 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数y = x +bx + c的图象与坐标轴交于 A, B, C二点，3其中点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC, BC .动点P从点A出发，在线段 AC上以每秒1个单位长度的速度向点 C作匀速运动；同时，动点 Q从点O出发，在线段 OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时， 另一点随之停止运动， 设运动时间为t秒.连接

26、PQ.(1)填空： b=, c=.(2)在点P , Q运动过程中，LIAPQ可能是直角三角形吗？请说明理由.(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M ,使UpQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 t;若不存在，请说明理由.(4)如图，点 N的坐标为i-3,0 j,线段PQ的中点为H ,连接NH ,当点Q关于直线NH的对称 ,212 .如图，抛物线与y轴交于点A(0,4 ),与x轴交于B、C两点，其中OB、OC是方程的x210x + 16 = 0 两根，且OB<OC .(1)求抛物线的解析式；(2)直线AC上是否存在点D ,使LBCD为直角三角形.若存在，

27、求所有 D点坐标；反之说理；(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点( A点除外)，连PA、PC,若设L PAC的面积为S . P 点横坐标为t,则S在何范围内时，相应的点 P有且只有1个.13 .如图，已知抛物线 y=-x2+2x+3与x轴交于A, B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C,连 接BC. 0(1)求A, B, C三点的坐标;(2)若点P为线段BC上一点(不与 B, C重合)，PM /y轴，且PM交抛物线于点 M,交x轴于点N,当4BCM的面积最大时，求点 P的坐标；(3)在(2)的条件下，当 ABCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q,使得4CNQ为直角三角形，求点Q的坐标.14 .如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点 B, C,经过B, C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的 另一交点为A ,顶点为P,且对称轴是直线 x=2