电磁学静电场的电势

1、电磁学 第三讲 静电场的电势_20121001第三讲 静电场的电势01 静电场的保守性1 静电场是保守力场H 试验电荷 q0 在 q 的电场中如图 XCH003_037 所示，点电荷 q 固定在原点O 处，试验电荷 q0 在 q 的电场力作用下从 A 点沿路径 L 到 B 点。q 发生微小位移，静电力做的元功： dA = F × v 17 REVISED TIME: 14-2-19CREATED BY XCH0dA =qq01 vvdrvvv4pe0r2 r0 × dr r0 × dr = dr cosq = drdA =qq04pe01 drr2Aab =qq0

2、4pe0r2 1 dròr1 r2Aabqq0=4pe( 1 - 1 )rr 静电力做的功与路径无关012H 试验电荷 q0 在n 个点电荷的电场中如图 XCH003_037_03 所示，试验电荷 q0 在由n 个点电荷产生的电场中，从 A 点沿路径 L到 B点，静电力做的功：abAF drA = ò B v × vv nvF =åq0 EkBn vv¾¾k =¾1 ¾®nBAab = òvvq0 (å Ek ) × drAk =1 Ek 是第k 个点电荷产生的电场Aab =

3、 å(òA q0 Ek × dr )k =1nAab = å Akk =1 与路径无关，静电场为保守力场2 静电场的环路定理Ñvv如图 XCH003_0示，试验电荷沿任意闭合路径一周，电场力做的功： A = ò q0E × dròòP1qPv0E ×dv rP2vq0 E ×Pdv rP2qPv0E ×dv rP2qPv0E ×dv rA =+12òòA =-11 静电场做功与路径无关vq0 E drA = Ñò×

4、v = 0Ñ vvò E × dr = 0 静电场的环路定理静电场中，电场强度沿任意路径的线积分等于零，电场线不是闭合的，静电场为无旋场。02 电势能如图 XCH003_037_02 所示，试探电荷 q0 在电场中，从 A 点沿路径 L到 B 。静电场是保守力场，静电力做功等于空间位置有两项能量差：BvvòA q0 E × dr = -(WB - WA ) (势能定理)ìW ="0"vví0q 在 A ， B 点的电势能： ï AòA"0"q0 E × d

5、rvvïîWB = òBq0 E × dr q0 在 A 点的电势能是将q0 沿任意路径，从 A 点移动到电势能零参考点"0" ，电场力做的功。03 电势如图 XCH003_037_01 所示， P0 是电势能零参考点， q0 在 P 点的电势能：PPq0 E drW = ò P0v × v 与试探电荷有关正电荷在 P 点的电势能：WP = ò P0 vvq0PE × dr 与试探电荷无关引入描写电场的标量函数：j = WP = ò P0 v ×v 电势q0PE dr引入电势

6、后，电荷 q0 在空间各点的电以表示为：W = q0jH 电势的定义空间 P 点的电势，是将正电荷沿任意路径，从 P 点移动到电势零参考点 P0 ，电场力做的功。也可以表述为 P 点的电势就是正电荷在 P 的电势能，如图 XCH003_037_04 所示。òE drP0vvPPP 点的电势： j =×给定的电荷分布和零电势参考点，函数j = j ( x, y, z) 唯一确定。对于电荷在有限空间分布的情 ，选取无限远为零电势参考点。H 电势差AB 两点的电势差：UAB = jA - jB=P0 vvUP0 vvB vvABòAE × dr - ò

7、;BvE × dr = òA E × drv, 计算电偶极子 p = ql 在均匀外电场中的电势能。* 如图 XCH003_059 所示，电偶极子中的正负电荷的电势能：ìW+ = qjAí= -qjîW-B电偶极子的电势能：W = W+ + W- = q(j A - jB )BjA - jB = òA Edl cos(p - q ) = -El cosqW = - pE cosqp EW = - v × v 电偶极子取向与外场一致时，静电势能最低；取向与外场相反时，静电势能最高。, 计算在原子核(带正电 Ze )势

8、场中的电势能。* 在半径为 r 的轨道绕核，选取无限远为原子核电势零点。如图 XCH003_060 所示。原子核产生的电势：j =的静电势能：1Ze4pe0 rW = (-e)j = -14pe0Ze2 r 的轨道半径越小，静电势能越低，总能量就越低04 电势的计算 已知电荷分布1) 点电荷的电势选取无限远为零电势参考点： r0 =¥ ¥q1 vv点电荷的电势： j = òr4pe0r2 r0 × dr¾¾®j =j = òrqq¥4pe01 drr 24pe0r2) 点电荷系的电势如图 XCH003_0

9、63 所示，点电荷系在空间产生的电场分布：vvvvn vE = E1 + E2 +L + En = å Ekk =1P0 vvP0n vv电势：j = òP E × dr = òP(å Ek ) × drk =1nj = å(k =1P0 vòP Ek× dr )v 体系每一个电荷在 P 点产生的电势和nj = åjk k =1 电势叠ånq如果选取无限远为零电势参考点：j = kk =1 4pe0 rk3) 电荷连续的带电体在空间产生的电势带电体上任一电荷元dq ，无限远为电势零点，

10、 dq 在空间 P 点产生的电势：dj =dq 1 如图 XCH003_054 所示4pe0 rdq0带电体在空间 P 点的电势： j = òV 4pe ríìldl dq = ïs dSïîrdV 带电体的电荷分布为线分布、面分布和体分布时的电荷元vv, 求电偶极子 p = ql 在空间产生的电势，如图 XCH003_041 所示。* 取 r ®¥ 处为电势零点，由电势叠得到 P 点的电势：j = j + j j =1q +1(-q)0+124pe r4pe0r-j =q4pe0( r- - r+ )r+ r-

11、î + - ìr- - r+ = l cosqr+ and r- >> l ír r » r2=j14pe0j =14pe0ql cosqr2×v vp rr3, 计算带电q ，半径为 R 的均匀圆环轴线上 P 点电势* 如图 XCH003_042 所示，取 r ®¥ 处为电势零点1圆环上任一电荷元dq 在 P 点产生的电势： dj =4pe0dq( x2 + R2 )1/ 2 dq =q2p R dl2p R1q均匀带电圆环在 P 点的电势： j = ò04pe0( x2 + R2 )1/2 2p R

12、 dl0j = 4peq( x2 + R2 )1/ 2圆心处 x = 0 的电势：j =q4pe0Rx >> R 处：j =q4pe0x 与点电荷产生的电势一样，空间电势分布如图 XCH003_042_01 所示, 计算均匀带电为q ，半径为 R 的圆板轴线上任意一点电势。* 如图 XCH003_055 所示。取 r ®¥ 处为电势零点。在圆板上选取半径为 r ，宽度为dr ，电量dq = 2p rdrs 的细圆环为电荷元在 P 点产生的电势：dj = 1s (2p rdr) 4pe0( x2 + r2 )1/ 2均匀带电圆板在轴线上的电势：j = R srdr

13、ò0j = s2e0x2 + R2( x2 + r2 )1/ 2- x)2e0x2 + R2在 x >> R ：2»Rx +L2xj =q4pe0x 与点电荷产生的电势一样05 电势的计算 已知电场分布, 计算均匀带电球面的电势分布。* 电荷分布具有球对称，电场强度的方向沿球的半径方向，如图 XCH003_039_01 所示。已知均匀带电球面的电场分布：ìE1 = 0ïqr < R 选取无穷远处为电势零点，取径向为积分路线。ïE2í=0î4pe r2r > Rò¥ vvr >

14、 R 的空间： j =E2× dr¥j =qr01 v × v = ¥q1 dr0òr 4per2 r0 dròr 4pe r2j =1q 与点电荷产生的电势一样4pe0 rr < R 的空间：E1drE2rRj = ò R v ×v + ò¥ v ×v = ò¥ v × vdrE2drRj =1q 等势空间4pe0 Rr = R 球面上：j =1q 电势分布如图 XCH003_039_02 所示4pe0 R,“无限长”均匀带电圆柱面，半径为 R ，

15、长度带电为+l 。求电势分布。* 空间电场强度的分布：ì0íE = ï lïî 2pe0rr < R r > R 方向垂直轴线向外 取距离圆柱面轴线为 r0 的 P0 为电势零参考点，如图 XCH003_053 所示。r > R 的空间 P 点的电势：PE drj = ò P0 v ×v 积分路线如图 XCH003_053 所示E drE drPP¢j = ò P¢ v ×v + ò P0 v ×v ò P¢ v ×v

16、 = 0PE drP¢E drE drrj = ò P0 v ×v = ò r0 v × vr0j = ò r0 lv ×vr0 l= òdrdrr 2pe0 rr 2pe0rj = - lln r + c2pe0r < R 的空间 P 点的电势：PE drj = ò P0 v ×v 积分路线如图 XCH003_053_01 所示E drE drE drPRP¢j = ò R v ×v + ò P¢ v ×v + ò P

17、0 v × vì R vvïòP E × dr = 0v í P vïò 0 E × dr = 0î P¢j = ò P¢ v ×v = ò r0 v × vE drE drRRj = ò r0 1l drR 2pe0 rj =-lln R + c 圆柱面内电势为常数2pe0, 计算电荷q 均匀的球体在空间的电势分布。* 如图 XCH003_043 和 XCH003_043_01 所示, 均匀带电球体在空间电场强度的分布：&#

18、236;r <v1qr v0ïR : E1 = 4peí0R3 r 选取无穷远处为电势零点，取径向为积分路线ïr >v1q v00îïR :E2 = 4pe r2 rr > R :j = ò¥ v ×v = ò¥ v × v2E drrEdrr¥1q球外任意一点 P 的电势： j = òr4pe0r2 drj =1q4pe0 rr < R :j = ò¥ v ×v = ò R v ×v + &

19、#242;¥ v × vE drE1drE2drrrRRj =1qr dr + ¥1q dròr 4pe R3òR 4pe r2000球内任意一点 P 的电势：j =q(3R2 - r2 )8pe R3球心处 r = 0 ：j =3q 8pe0R球面处 r = R ：j =q4pe0RìR1 = 0.03 m, 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为 íR，已知两者的电势差= 0.10 mî 2U12 = 450 V ，求内球面上所带的电荷。* 设内球上所带电荷为Q ，两球间的电场强度的大小：0E =Q

20、R < r < R4pe r212两球之间的电势差：=R2=12UEdrQR2 dr112òR4pe0 òR rU=Q ( 1 - 1 ) 124pe0 R1R2Q = 4pe0 R1R2U12 =2.14 ´10-9 C R2 - R1, 计算两个同心放置，半径分别为 R1 and R2 (R1 < R2 ) ，带电分别为Q1 and Q2 的球面产生的电势分布。* 利用已知球面产生的电势分布结论和电势的叠求解ì 1Q1r > R1球面 1：j=ï 4pe0 rí1ï 1Q£ï1

21、rR1î 4pe0 R1ì 1Q2r > R2球面 2：j=ï 4pe0 rí2ï 1Q£ïî 4pe20 R2ìrR21Q1 + Q2r > Rï0ï 4per2j = j + j j = ï 1Q1 +1Q2R < r £ R12í 4per4pe R12ï002ï 1Q1 +1Q2r £ Rï 4pe R4pe R1î0102, 电荷以相同的面密度s 分布在 r1 = 10 cm a

22、nd r2 = 20 cm 的两个同心球面上，设无限远处的电势为零，球心处的电势为j0 = 300 V 求1) 电荷面密度s ；2) 如果使球心处的电势为零，外球面上应放掉多少电荷？ì 1Qr > RQRj = ï 4pe0 r1Q* 带电为，半径为的球面在空间产生的电势：íïr £ Rïî 4pe0 R带电球面 1 和带电球面 2 在空间产生的电势：ì 1Q1r > rì 1Q2r > r=jï 4pe0 rí1ï 4per2=和jí01

23、9; 1Q£2ï 1Qï1rr1ï2r £ r2î 4pe0 r1î 4pe0 r2应用电势叠：球心处的电势为：jO = j1 + j2j =1s × 4p r2 +1s × 4p r212O4per4per0102s = e0jOr1 + r2 s = 8.85 ´10-9C / m2¢1s × 4p r21s ¢× 4p r2令外球面的电荷面密度为s，球心的电势：jO =4pe01 +2r14pe0r2j =1s × 4p r2 +1s &#

24、162; × 4p r2 =s+ s ¢ =根据题目的要求： O120 r1r20s ¢ = - r1 sr24pe0r1 外球面带负电4pe0r222外球面应放掉电荷： DQ = Q - Q¢ DQ = s × 4p r2 - s ¢ × 4p r22DQ = (1 + r1 )s 4p r2r2将 r = 10 cm and r = 20 cm ， s = 8.85 ´10-9 C / m2 代入上式得到：12DQ = 6.67 ´10-9C-4, 如图 XCH0604_013 所示，一真空二极管，其

25、主要构件是一个半径 R1 = 5 ´10m 的圆柱形阴极 A-3和一个套在阴极外的半径 R2 = 4.5 ´10m 的同轴圆筒形阳极 B 。阳极电势比阴极高300 V ，忽略边缘效应。求阴极射出时所受的电场力。(基本电荷e = 1.6 ´10-19 C )* 设圆柱型阴极 A 的电荷线密度-l （ A 带负电），忽略边缘效应，将阴极 A 和阳极 B 看长A 和 B 之间的电场方向垂直于阴极表面。选取长度为l ，半径为 r (R1 < r < R2 ) 的圆柱面为面，应用定理得到：vv11eÑòS E × dS =0(-ll

26、)¾¾®E × 2p r × l =e0(-ll)E = -l 电场方向指向轴线E dr2pe0rABA 和 B 之间的电势差：U - U= ò B v × vAUA - UB = -R2 ldr = - l ln R2òR1 2pe0 r2pe0R1U - U= l ln R2BA2pe0R1将l =2pe0U代入 E = -lln(R / R )BA2pe r21A 和 B 之间的电场： E = - 0UBA1ln(R2 / R1) r阴极射出时所受的电场力： F = -eE(R ) =eUBA11ln(R /

27、 R ) R211F = 4.37 ´10-14 N* 两个电量分别为+q 和-3q 点电荷，相距为d ，试求：1) 在它们连线上电场强度为零的点与点电荷+q 相距多远？2) 若选取无穷远为电势零点，两点电荷之间电势为零的点与点电荷+q 相距多远？* 选取如图 XCH003_056_01 所示的坐标，点电荷+q 在原点。1) 设两个电荷连线上电场强度为零的 P 点的坐标 xP 点的场强： E =1q -13q= 04pe x24pe( x - d )2002x2 + 2dx - d 2 = 0 方程的解ì x =- 1 (1+3)dï 12í13

28、9;xï=(î 22- 1)d3x = 1 (22- 1)d 不合题意舍去两个电荷连线上电场强度为零的点的坐标：x = - 1 (1 +123)d2) 两个电荷连线之间电势为零的 P 点的坐标 x ，如图 XCH003_056_02 所示P 点的电势： j =1q -13q= 0d - 4x = 04pe0 x4pe0 (d - x)¾¾®x = 1 d4, 一半径为 R 的均匀带电细圆环，其电荷密度为l ，水平放置。今有一质量为m 、带电量为q 的粒子沿圆环轴线自上而下向圆环的中心 。已知该粒子在通过距环心 h 的一点时的速率为 v1 ， 试

29、求该粒子到达环心时的速率。* 选取无穷远处为电势能零点， O 点为重力势能零点，带电细圆环在轴线上一点的电势：Q4peh2 + R20j =带电粒子在h 高度的位置时：ql R2eh2 + R20电势能：We1 =重力势能：Wg1 = mgh动能：W = 1 mv2k121带电粒子到达圆心O 时：ql静电势能：We2 = 2e0重力势能：Wg 2 = 0动能：W= 1 mv2k 222应用机械能守恒定律：qlR2eh2 + R2001 mv2 + mgh = 1 mv2 + ql + 021222e粒子到达环心时的速率：v = v + 2gh -2qlR 121meR(-1)1/2h2 + R

30、2006 等势面 电场强度和电势梯度的1 等势面电场中电势相同的点的面 等势面规定任意两个相邻的等势面之间的电势差相等，在空间做出一系列的曲面。图 XCH003_045 和图 XCH003_044 分别是正点电荷和电偶极子的等势面 蓝色标记的面。等势面特点：1) 静电场中电场线与等势面处处正交如图 XCH003_046 所示, 试验电荷在等势面上移动dlvv电场力做功： dA = q0E × dl dA = q0Edl cosq等势面上处处：j = constantvvìE ¹ 0î有dA = j1 - j2 = E × dlp= 0 

31、7;dl ¹ 0因此有：q = 电场线与等势面处处正交22) 等势面密集处电场强度大，反之亦然两个等势面的电势差：Dj = constant EDl = constantDl = DjE 电场强度越强，相邻两个等势面的间距越小2 电场强度与电势梯度的 n电场中相邻的两个等势面：j1 and j2 如图 XCH003_047 所示假设：j2 = j1+ djdj > 0 ，两等势面的垂直距离OP = dn ，方向沿法线 v 。Q 为等势面j2 上与 P 邻近的一点， OQ = dl ，方向沿方向l则有：j - j = v × v12E dl1) -dj = Edl cosq -dj = EldlE =- djldlv场强在l 方向投影大小为电势沿该方向的空间变化率，方向相反，如图 XCH003_047 所示。2) -dj = Edl cosq -dj = EdnE = - djdn电场强度的大小